Subgroups — #356499

Order 512.

1956 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 408 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#443	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2951	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20348	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#10870	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#10862	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#10781	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10774	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#131	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#520	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×#443	—	2	8	no	—
13	C₂×#443	C₄	1	8	yes	complemented
14	#2951	—	2	8	no	—
15	#2951	C₄	1	16	yes	complemented
16	C₂×#440	—	2	4	no	—
17	C₂×C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
18	C₂×C₄×D₈	—	2	2	no	—
19	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×#104	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#417	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#341	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1736	—	2	4	no	—
28	#1736	C₂²	1	4	yes	—
29	#1735	—	2	2	no	—
30	#1735	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#340	—	2	2	no	—
32	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
34	C₄⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂×#135	C₂×C₄	1	8	yes	—
37	C₂×#135	C₂×C₄	1	4	yes	—
38	C₂×#135	D₄	1	8	yes	—
39	C₂×#135	Q₈	1	4	yes	—
40	C₂²×Q₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×SD₁₆	D₄	1	2	yes	—
42	C₂²×D₈	D₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#131	—	2	4	no	—
44	C₂×#131	—	2	8	no	—
45	C₂×#131	—	4	4	no	—
46	C₂×#131	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
47	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
48	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
51	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	#520	—	2	8	no	—
54	#520	—	2	8	no	—
55	#520	—	4	4	no	—
56	#520	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
57	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
58	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
59	C₂×C₄×D₄	—	4	4	no	—
60	C₂×#117	—	2	4	no	—
61	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	#443	—	2	32	no	—
66	#440	—	2	32	no	—
67	C₄×Q₁₆	—	2	16	no	—
68	C₄×D₈	—	2	16	no	—
69	C₂×#108	—	2	4	no	—
70	C₂×#108	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
71	C₂×#107	—	2	2	no	—
72	C₂×#107	—	2	2	no	—
73	C₂×#107	—	2	4	no	—
74	C₂×#107	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
75	C₂×#104	—	2	8	no	—
76	C₂×#104	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
77	#417	—	2	8	no	—
78	#417	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
79	C₂×#103	—	2	4	no	—
80	C₂×#102	—	2	4	no	—
81	#405	—	2	4	no	—
82	#405	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
83	C₂×#97	—	2	2	no	—
84	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
85	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
86	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
87	C₂×#95	—	4	2	no	—
88	#343	—	4	4	no	—
89	#341	—	2	2	no	—
90	#340	—	2	2	no	—
91	#340	—	2	2	no	—
92	#340	—	2	4	no	—
93	#340	—	2	4	no	—
94	#340	D₄	1	1	yes	characteristic
95	#340	D₄	1	1	yes	characteristic
96	#340	D₄	1	2	yes	—
97	#339	—	2	4	no	—
98	C₂×#41	—	2	4	no	—
99	C₂×#41	—	2	2	no	—
100	C₂×#41	—	2	4	no	—
101	C₂×#41	—	2	2	no	—
102	C₂×#41	C₂²×C₄	1	8	yes	—
103	C₂×#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
104	C₂×#41	C₂×D₄	1	8	yes	—
105	C₂×#41	C₂×Q₈	1	4	yes	—
106	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
107	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
108	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
109	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
110	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
111	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
112	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
113	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
114	#135	C₄²	1	16	yes	—
115	#135	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
116	#135	C₄⋊C₄	1	32	yes	—
117	C₂×Q₁₆	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
118	C₂×Q₁₆	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
119	C₂×SD₁₆	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
120	C₂×SD₁₆	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
121	C₂×D₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
122	C₂×D₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
123	#131	—	2	16	no	—
124	#131	—	4	8	no	—
125	#131	—	4	16	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
136	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
137	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
138	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
143	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
144	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
145	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
146	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
147	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
152	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
153	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
154	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
155	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
156	C₄×D₄	—	2	16	no	—
157	C₄×D₄	—	4	8	no	—
158	C₄×D₄	—	4	16	no	—
159	C₄×D₄	—	4	16	no	—
160	#117	—	2	2	no	—
161	#117	—	2	2	no	—
162	#117	—	2	16	no	—
163	#117	—	4	8	no	—
164	#117	C₂²×C₄	1	4	yes	—
165	#117	#41	1	4	yes	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
175	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
183	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
184	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
185	#108	—	2	8	no	—
186	#107	—	2	8	no	—
187	#107	—	2	8	no	—
188	#104	—	2	16	no	—
189	#103	—	2	16	no	—
190	#102	—	2	16	no	—
191	#97	—	2	8	no	—
192	C₄×C₈	—	2	8	no	—
193	C₄×C₈	—	2	8	no	—
194	#95	—	8	4	no	—
195	C₂⁴	—	2	2	no	—
196	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
197	#41	—	2	8	no	—
198	#41	—	2	4	no	—
199	#41	—	2	4	no	—
200	#41	—	2	8	no	—
201	#41	—	2	8	no	—
202	#41	—	2	8	no	—
203	#41	—	2	8	no	—
204	#41	C₂×C₄²	1	8	yes	—
205	#41	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
206	#41	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
207	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
208	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
209	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
210	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
211	C₂×D₄	—	2	8	no	—
212	C₂×D₄	—	2	4	no	—
213	C₂×D₄	—	2	8	no	—
214	C₂×D₄	—	2	4	no	—
215	C₂×D₄	—	2	4	no	—
216	C₂×D₄	—	2	2	no	—
217	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
218	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
219	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	16	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	16	4	no	—
239	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
249	Q₁₆	#95	1	16	yes	complemented
250	SD₁₆	#95	1	32	yes	complemented
251	D₈	#95	1	16	yes	complemented
252	M₁₆	—	2	4	no	—
253	M₁₆	—	2	4	no	—
254	M₁₆	—	2	4	no	—
255	M₁₆	—	2	4	no	—
256	M₁₆	—	4	16	no	—
257	M₁₆	—	4	2	no	—
258	M₁₆	—	4	4	no	—
259	M₁₆	—	4	2	no	—
260	C₂×C₈	—	2	2	no	—
261	C₂×C₈	—	2	2	no	—
262	C₂×C₈	—	2	2	no	—
263	C₂×C₈	—	2	2	no	—
264	C₂×C₈	—	2	4	no	—
265	C₂×C₈	—	2	4	no	—
266	C₂×C₈	—	2	4	no	—
267	C₂×C₈	—	4	16	no	—
268	C₂×C₈	—	4	4	no	—
269	C₂×C₈	—	4	2	no	—
270	C₂×C₈	—	4	2	no	—
271	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
272	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
273	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
274	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
275	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
276	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
277	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
278	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
279	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
280	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
282	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
283	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
284	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
285	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
287	C₄⋊C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
288	C₄⋊C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
289	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
292	C₄²	—	2	4	no	—
293	C₄²	—	2	4	no	—
294	C₄²	—	2	2	no	—
295	C₄²	—	2	2	no	—
296	C₄²	—	4	16	no	—
297	C₄²	—	4	2	no	—
298	C₂³	—	2	2	no	—
299	C₂³	—	2	1	no	—
300	C₂³	—	2	1	no	—
301	C₂³	—	2	8	no	—
302	C₂³	—	2	4	no	—
303	C₂³	—	4	4	no	—
304	C₂³	—	4	2	no	—
305	C₂³	—	4	2	no	—
306	C₂³	#518	1	2	yes	—
307	C₂³	#520	1	1	yes	characteristic
308	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
309	C₂³	#546	1	2	yes	—
310	C₂³	#554	1	1	yes	characteristic
311	Q₈	—	2	8	no	—
312	Q₈	—	2	4	no	—
313	Q₈	C₂×#95	1	8	yes	—
314	D₄	—	2	8	no	—
315	D₄	—	2	16	no	—
316	D₄	—	2	8	no	—
317	D₄	—	2	8	no	—
318	D₄	—	2	4	no	—
319	D₄	C₂×#95	1	8	yes	—
320	C₂×C₄	—	2	8	no	—
321	C₂×C₄	—	2	4	no	—
322	C₂×C₄	—	2	8	no	—
323	C₂×C₄	—	2	16	no	—
324	C₂×C₄	—	2	8	no	—
325	C₂×C₄	—	2	4	no	—
326	C₂×C₄	—	2	4	no	—
327	C₂×C₄	—	2	4	no	—
328	C₂×C₄	—	4	2	no	—
329	C₂×C₄	—	4	4	no	—
330	C₂×C₄	—	4	4	no	—
331	C₂×C₄	—	4	2	no	—
332	C₂×C₄	—	4	2	no	—
333	C₂×C₄	—	4	2	no	—
334	C₂×C₄	—	4	2	no	—
335	C₂×C₄	—	4	2	no	—
336	C₂×C₄	—	4	8	no	—
337	C₂×C₄	—	8	4	no	—
338	C₂×C₄	—	8	4	no	—
339	C₂×C₄	—	8	8	no	—
340	C₂×C₄	—	16	16	no	—
341	C₂×C₄	—	16	4	no	—
342	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
360	C₈	—	2	2	no	—
361	C₈	—	2	2	no	—
362	C₈	—	4	4	no	—
363	C₈	—	4	4	no	—
364	C₈	C₂×#95	1	4	yes	—
365	C₈	C₂×#95	1	4	yes	—
366	C₂²	—	2	1	no	—
367	C₂²	—	2	1	no	—
368	C₂²	—	2	1	no	—
369	C₂²	—	2	1	no	—
370	C₂²	—	2	2	no	—
371	C₂²	—	2	2	no	—
372	C₂²	—	2	2	no	—
373	C₂²	—	2	2	no	—
374	C₂²	—	2	8	no	—
375	C₂²	—	4	4	no	—
376	C₂²	—	4	4	no	—
377	C₂²	—	4	8	no	—
378	C₂²	—	4	8	no	—
379	C₂²	#2275	1	1	yes	characteristic
380	C₂²	D₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
381	C₂²	#2339	1	1	yes	characteristic
382	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
383	C₂²	#2349	1	2	yes	—
384	C₂²	#3290	1	2	yes	—
385	C₂²	#3292	1	1	yes	characteristic
386	C₂²	#3293	1	1	yes	characteristic
387	C₄	—	2	8	no	—
388	C₄	—	4	4	no	—
389	C₄	—	4	4	no	—
390	C₄	—	4	4	no	—
391	C₄	—	8	8	no	—
392	C₄	C₂²×#95	1	1	yes	characteristic
393	C₄	C₄²×D₄	1	1	yes	characteristic
394	C₄	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
395	C₄	#2339	1	2	yes	—
396	C₄	D₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
397	C₄	#2349	1	1	yes	characteristic
398	C₂	—	2	1	no	—
399	C₂	—	2	2	no	—
400	C₂	—	2	1	no	—
401	C₂	—	4	8	no	—
402	C₂	D₄×#95	1	1	yes	characteristic
403	C₂	#22466	1	2	yes	—
404	C₂	#22468	1	2	yes	—
405	C₂	#22690	1	1	yes	characteristic
406	C₂	#22692	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#135	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20348	C₂	semidirect
4. #10870	C₂	semidirect
5. #10862	C₂	semidirect
6. #10781	C₂	semidirect
7. #10774	C₂	semidirect
8. #10706	C₂	semidirect
13. C₂×#443	C₄	semidirect
15. #2951	C₄	semidirect
46. C₂×#131	C₂×C₄	semidirect
56. #520	C₂×C₄	semidirect
70. C₂×#108	C₂×C₄	semidirect
74. C₂×#107	C₂×C₄	semidirect
76. C₂×#104	C₂×C₄	semidirect
78. #417	C₂×C₄	semidirect
82. #405	C₂×C₄	semidirect
86. C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	semidirect
249. Q₁₆	#95	semidirect
250. SD₁₆	#95	semidirect
251. D₈	#95	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#443	2
C₂×#2951	2
#20348	2
#10870	2
#10862	2
#10781	2
#10774	2
#10706	2