Subgroups — #356502

Order 512.

1860 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 380 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2957	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂²×#443	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20351	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#10873	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#10864	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#10780	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10773	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#568	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂²×#131	C₂²	1	2	yes	—
12	#2957	—	2	8	no	—
13	#2957	C₄	1	16	yes	complemented
14	C₂×#444	—	2	4	no	—
15	C₂×#443	—	2	8	no	—
16	C₂×#443	—	2	4	no	—
17	C₂×#443	C₄	1	4	yes	complemented
18	C₂×#443	C₄	1	4	yes	complemented
19	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#421	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂²×#104	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
26	#1738	—	2	4	no	—
27	#1738	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#341	—	2	4	no	—
29	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#341	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1735	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
33	#1728	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂×#135	C₂×C₄	1	2	yes	—
36	C₂×#135	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂×#135	C₂×C₄	1	8	yes	—
38	C₂×#135	D₄	1	2	yes	—
39	C₂×#135	D₄	1	8	yes	—
40	C₂×#135	D₄	1	2	yes	—
41	C₂²×Q₁₆	Q₈	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×SD₁₆	Q₈	1	2	yes	—
43	C₂²×D₈	Q₈	1	1	yes	characteristic
44	#568	—	2	8	no	—
45	#568	—	2	8	no	—
46	#568	—	4	4	no	—
47	#568	C₂×C₄	1	16	yes	—
48	C₂×#131	—	2	4	no	—
49	C₂×#131	—	2	8	no	—
50	C₂×#131	—	2	8	no	—
51	C₂×#131	—	4	4	no	—
52	C₂×#131	—	4	4	no	—
53	C₂×#131	C₂×C₄	1	8	yes	—
54	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
55	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
56	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
60	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	#444	—	2	32	no	—
65	#443	—	2	16	no	—
66	#443	—	2	16	no	—
67	#443	—	2	32	no	—
68	C₂×#108	—	2	2	no	—
69	C₂×#108	—	2	4	no	—
70	C₂×#108	—	2	2	no	—
71	C₂×#108	—	2	4	no	—
72	C₂×#108	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₂×#108	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	C₂×#108	C₂×C₄	1	8	yes	—
75	#421	—	2	8	no	—
76	#421	C₂×C₄	1	16	yes	—
77	C₂×#104	—	2	8	no	—
78	C₂×#104	—	2	8	no	—
79	C₂×#104	C₂×C₄	1	8	yes	—
80	#405	—	2	4	no	—
81	#405	C₂×C₄	1	8	yes	—
82	C₂×#97	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
84	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
85	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	#344	—	4	4	no	—
88	#341	—	2	8	no	—
89	#341	—	2	2	no	—
90	#341	—	2	2	no	—
91	#341	D₄	1	2	yes	—
92	#341	D₄	1	2	yes	—
93	#340	—	2	2	no	—
94	#339	—	2	4	no	—
95	#336	—	4	2	no	—
96	C₂×#41	—	2	2	no	—
97	C₂×#41	—	2	4	no	—
98	C₂×#41	—	2	2	no	—
99	C₂×#41	—	2	4	no	—
100	C₂×#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
101	C₂×#41	C₂²×C₄	1	8	yes	—
102	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
103	C₂×#41	C₂×D₄	1	8	yes	—
104	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
105	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
106	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
107	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
108	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
109	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
110	#135	C₄²	1	8	yes	—
111	#135	C₄²	1	8	yes	—
112	#135	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
113	#135	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
114	#135	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
115	#135	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
116	C₂×Q₁₆	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
117	C₂×Q₁₆	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
118	C₂×Q₁₆	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
119	C₂×SD₁₆	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
120	C₂×SD₁₆	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
121	C₂×SD₁₆	C₄⋊C₄	1	16	yes	—
122	C₂×D₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
123	C₂×D₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
124	C₂×D₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
125	#131	—	2	16	no	—
126	#131	—	2	32	no	—
127	#131	—	4	8	no	—
128	#131	—	4	16	no	—
129	#131	—	4	16	no	—
130	#131	—	4	16	no	—
131	#131	—	4	16	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
145	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
146	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
147	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
148	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
149	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
150	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
151	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
152	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
153	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
154	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
158	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
159	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
160	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
161	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
162	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
165	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
169	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
172	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
173	#117	—	2	2	no	—
174	#117	—	2	2	no	—
175	#117	—	2	2	no	—
176	#117	C₂²×C₄	1	4	yes	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
183	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
184	#108	—	2	4	no	—
185	#108	—	2	4	no	—
186	#108	—	2	8	no	—
187	#108	—	2	8	no	—
188	#104	—	2	16	no	—
189	#104	—	2	32	no	—
190	#97	—	2	8	no	—
191	C₄×C₈	—	2	4	no	—
192	C₄×C₈	—	2	4	no	—
193	C₄×C₈	—	2	8	no	—
194	C₂⁴	—	2	2	no	—
195	C₂⁴	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
196	#41	—	2	4	no	—
197	#41	—	2	8	no	—
198	#41	—	2	8	no	—
199	#41	—	2	4	no	—
200	#41	—	2	8	no	—
201	#41	—	2	8	no	—
202	#41	—	2	8	no	—
203	#41	C₂×C₄²	1	8	yes	—
204	#41	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
205	#41	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
206	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
208	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
209	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
210	C₂×D₄	—	2	4	no	—
211	C₂×D₄	—	2	8	no	—
212	C₂×D₄	—	2	4	no	—
213	C₂×D₄	—	2	8	no	—
214	C₂×D₄	—	2	2	no	—
215	C₂×D₄	—	2	4	no	—
216	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
217	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
227	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
237	Q₁₆	#95	1	8	yes	—
238	Q₁₆	#95	1	8	yes	—
239	SD₁₆	#95	1	16	yes	—
240	SD₁₆	#95	1	16	yes	—
241	D₈	#95	1	8	yes	—
242	D₈	#95	1	8	yes	—
243	M₁₆	—	2	4	no	—
244	M₁₆	—	2	4	no	—
245	M₁₆	—	2	4	no	—
246	M₁₆	—	2	4	no	—
247	M₁₆	—	2	8	no	—
248	M₁₆	—	2	8	no	—
249	M₁₆	—	2	4	no	—
250	M₁₆	—	4	16	no	—
251	M₁₆	—	4	32	no	—
252	M₁₆	—	4	4	no	—
253	M₁₆	—	4	4	no	—
254	M₁₆	—	4	4	no	—
255	M₁₆	C₄×D₄	1	8	yes	—
256	C₂×C₈	—	2	2	no	—
257	C₂×C₈	—	2	4	no	—
258	C₂×C₈	—	2	2	no	—
259	C₂×C₈	—	2	2	no	—
260	C₂×C₈	—	2	2	no	—
261	C₂×C₈	—	2	4	no	—
262	C₂×C₈	—	2	4	no	—
263	C₂×C₈	—	2	4	no	—
264	C₂×C₈	—	2	4	no	—
265	C₂×C₈	—	2	8	no	—
266	C₂×C₈	—	4	16	no	—
267	C₂×C₈	—	4	32	no	—
268	C₂×C₈	—	4	4	no	—
269	C₂×C₈	—	4	4	no	—
270	C₂×C₈	—	4	4	no	—
271	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
272	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
273	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
274	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
275	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
276	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
277	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
279	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
280	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
283	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
284	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
285	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
289	C₄²	—	2	2	no	—
290	C₄²	—	2	4	no	—
291	C₄²	—	2	2	no	—
292	C₄²	—	4	2	no	—
293	C₄²	—	4	2	no	—
294	C₂³	—	2	4	no	—
295	C₂³	—	2	8	no	—
296	C₂³	—	4	2	no	—
297	C₂³	—	8	4	no	—
298	C₂³	#520	1	1	yes	characteristic
299	C₂³	#520	1	2	yes	—
300	C₂³	#547	1	1	yes	characteristic
301	C₂³	#547	1	2	yes	—
302	C₂³	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
303	Q₈	—	2	4	no	—
304	Q₈	—	2	8	no	—
305	Q₈	C₂×#95	1	8	yes	—
306	D₄	—	2	8	no	—
307	D₄	—	2	16	no	—
308	D₄	—	2	8	no	—
309	D₄	—	2	4	no	—
310	D₄	—	2	8	no	—
311	D₄	C₂×#95	1	8	yes	—
312	C₂×C₄	—	2	8	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	8	no	—
315	C₂×C₄	—	2	16	no	—
316	C₂×C₄	—	2	8	no	—
317	C₂×C₄	—	2	4	no	—
318	C₂×C₄	—	4	2	no	—
319	C₂×C₄	—	4	8	no	—
320	C₂×C₄	—	4	2	no	—
321	C₂×C₄	—	4	4	no	—
322	C₂×C₄	—	8	4	no	—
323	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
341	C₈	—	2	2	no	—
342	C₈	—	2	2	no	—
343	C₈	—	2	8	no	—
344	C₈	—	4	4	no	—
345	C₈	—	4	8	no	—
346	C₈	C₂×#95	1	2	yes	—
347	C₈	C₂×#95	1	2	yes	—
348	C₈	C₂×#95	1	2	yes	—
349	C₈	C₂×#95	1	2	yes	—
350	C₂²	—	2	2	no	—
351	C₂²	—	2	2	no	—
352	C₂²	—	2	2	no	—
353	C₂²	—	2	8	no	—
354	C₂²	—	4	2	no	—
355	C₂²	—	4	2	no	—
356	C₂²	—	4	8	no	—
357	C₂²	—	8	8	no	—
358	C₂²	#2275	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	#2339	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	#2339	1	2	yes	—
361	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
362	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
363	C₄	—	2	8	no	—
364	C₄	—	4	4	no	—
365	C₄	—	8	4	no	—
366	C₄	C₂²×#95	1	1	yes	characteristic
367	C₄	C₄²×D₄	1	1	yes	characteristic
368	C₄	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
369	C₄	D₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
370	C₄	#2349	1	1	yes	characteristic
371	C₄	#2349	1	2	yes	—
372	C₂	—	2	1	no	—
373	C₂	—	2	2	no	—
374	C₂	—	2	2	no	—
375	C₂	—	2	1	no	—
376	C₂	—	4	8	no	—
377	C₂	D₄×#95	1	1	yes	characteristic
378	C₂	#22694	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	D₄²
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	D₄×C₄⋊C₄
prime radical	C₂²×#135	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20351	C₂	semidirect
4. #10873	C₂	semidirect
5. #10864	C₂	semidirect
6. #10780	C₂	semidirect
7. #10773	C₂	semidirect
8. #10706	C₂	semidirect
13. #2957	C₄	semidirect
17. C₂×#443	C₄	semidirect
18. C₂×#443	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2957	2
C₂²×#443	2
#20351	2
#10873	2
#10864	2
#10780	2
#10773	2
#10706	2