Subgroups — #356553

Order 512.

974 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 307 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×#427	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1772	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20368	C₂	1	2	yes	maximal
4	#10864	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#10859	C₂	1	2	yes	maximal
6	#10809	C₂	1	4	yes	maximal
7	#10808	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₈×#95	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#405	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₄×#117	C₂²	1	2	yes	—
16	C₄×#107	C₄	1	2	yes	complemented
17	C₄×#107	C₄	1	2	yes	complemented
18	C₄×#106	C₄	1	4	yes	complemented
19	#1772	C₄	1	16	yes	complemented
20	#1746	—	2	4	no	—
21	#1745	—	2	2	no	—
22	#1744	—	2	2	no	—
23	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
24	#1735	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
27	#1729	C₂²	1	4	yes	—
28	#1728	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₄×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
33	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
34	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#108	—	2	4	no	—
41	C₂×#108	—	2	4	no	—
42	C₂×#108	C₂×C₄	1	8	yes	—
43	#427	—	2	2	no	—
44	#427	—	2	2	no	—
45	#427	C₂×C₄	1	8	yes	—
46	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂×#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂×#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	#405	—	2	8	no	—
52	#405	C₂×C₄	1	16	yes	—
53	C₂×#97	—	2	4	no	—
54	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
55	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
56	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
57	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
58	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
59	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
63	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
64	#376	—	2	2	no	—
65	C₂×#95	—	2	2	no	—
66	C₄³	—	2	2	no	—
67	#341	—	4	2	no	—
68	#340	C₂×C₄	1	4	yes	—
69	#340	C₂×C₄	1	4	yes	—
70	#339	—	4	4	no	—
71	#339	C₂×C₄	1	16	yes	—
72	#336	—	2	4	no	—
73	#336	—	2	4	no	—
74	#336	—	2	4	no	—
75	#336	—	2	2	no	—
76	#336	—	2	2	no	—
77	#336	D₄	1	1	yes	characteristic
78	#336	D₄	1	1	yes	characteristic
79	#336	D₄	1	2	yes	—
80	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
81	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
82	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
83	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
84	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
85	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
86	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
87	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
88	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
89	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
90	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
91	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
92	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
93	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
94	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
95	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
96	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
97	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
98	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
99	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
100	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
103	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
104	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
105	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
106	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
107	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
108	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
109	#117	—	2	4	no	—
110	#117	—	2	2	no	—
111	#117	—	2	2	no	—
112	#117	—	2	2	no	—
113	#117	—	2	2	no	—
114	#117	C₂²×C₄	1	8	yes	—
115	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
116	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
117	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
124	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
125	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
131	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
132	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
135	#108	—	2	16	no	—
136	#107	—	2	4	no	—
137	#107	C₄²	1	4	yes	—
138	#107	C₄²	1	4	yes	—
139	#106	—	2	4	no	—
140	#106	C₄²	1	8	yes	—
141	#97	—	2	16	no	—
142	C₄×C₈	—	2	4	no	—
143	C₄×C₈	—	2	4	no	—
144	C₄×C₈	—	2	16	no	—
145	C₄×C₈	—	2	16	no	—
146	#95	—	2	8	no	—
147	#95	—	2	4	no	—
148	#95	—	2	4	no	—
149	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
150	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
157	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
158	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
159	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
160	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
161	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
162	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
163	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
164	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
168	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
170	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
172	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
173	M₁₆	—	2	8	no	—
174	M₁₆	—	2	8	no	—
175	M₁₆	—	4	4	no	—
176	M₁₆	—	4	4	no	—
177	C₂×C₈	—	2	4	no	—
178	C₂×C₈	—	2	4	no	—
179	C₂×C₈	—	2	2	no	—
180	C₂×C₈	—	2	2	no	—
181	C₂×C₈	—	2	2	no	—
182	C₂×C₈	—	2	2	no	—
183	C₂×C₈	—	2	4	no	—
184	C₂×C₈	—	2	4	no	—
185	C₂×C₈	—	2	2	no	—
186	C₂×C₈	—	2	8	no	—
187	C₂×C₈	—	2	2	no	—
188	C₂×C₈	—	2	2	no	—
189	C₂×C₈	—	4	4	no	—
190	C₂×C₈	—	4	4	no	—
191	C₂×C₈	—	4	2	no	—
192	C₂×C₈	—	4	2	no	—
193	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
194	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
195	C₂×C₈	#117	1	8	yes	—
196	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
197	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
198	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
199	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
200	C₂×C₈	#117	1	8	yes	—
201	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
202	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
203	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
204	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
205	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
206	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
207	C₄⋊C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
208	C₄⋊C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
209	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
210	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
211	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
212	C₄²	—	2	2	no	—
213	C₄²	—	2	8	no	—
214	C₄²	—	2	2	no	—
215	C₄²	—	2	2	no	—
216	C₄²	—	2	2	no	—
217	C₄²	—	2	4	no	—
218	C₄²	—	2	4	no	—
219	C₄²	—	4	2	no	—
220	C₄²	—	4	2	no	—
221	C₄²	—	4	2	no	—
222	C₄²	—	4	2	no	—
223	C₄²	—	4	8	no	—
224	C₄²	—	8	4	no	—
225	C₂³	—	2	2	no	—
226	C₂³	—	2	2	no	—
227	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂³	C₄×#41	1	2	yes	—
229	C₂³	#552	1	2	yes	—
230	C₂³	#555	1	1	yes	characteristic
231	C₂³	#556	1	1	yes	characteristic
232	C₂×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂×C₄	—	2	8	no	—
235	C₂×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂×C₄	—	4	8	no	—
241	C₂×C₄	—	4	8	no	—
242	C₂×C₄	—	4	4	no	—
243	C₂×C₄	—	4	8	no	—
244	C₂×C₄	—	4	4	no	—
245	C₂×C₄	—	4	4	no	—
246	C₂×C₄	—	4	4	no	—
247	C₂×C₄	—	4	4	no	—
248	C₂×C₄	—	4	4	no	—
249	C₂×C₄	—	4	4	no	—
250	C₂×C₄	#443	1	4	yes	—
251	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
252	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
253	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
254	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
255	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
256	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
257	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
258	C₂×C₄	#519	1	2	yes	—
259	C₂×C₄	#519	1	1	yes	characteristic
260	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
261	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
262	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
263	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
264	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
266	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
267	C₂×C₄	#555	1	2	yes	—
268	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
269	C₈	—	2	4	no	—
270	C₈	—	2	4	no	—
271	C₈	—	4	2	no	—
272	C₈	—	4	8	no	—
273	C₈	#376	1	4	yes	—
274	C₈	#376	1	4	yes	—
275	C₂²	—	2	2	no	—
276	C₂²	—	2	2	no	—
277	C₂²	—	2	2	no	—
278	C₂²	—	2	2	no	—
279	C₂²	—	2	4	no	—
280	C₂²	C₄²×D₄	1	1	yes	characteristic
281	C₂²	#2344	1	1	yes	characteristic
282	C₂²	#2346	1	2	yes	—
283	C₂²	#2354	1	1	yes	characteristic
284	C₂²	#2356	1	2	yes	—
285	C₂²	C₂×#443	1	2	yes	—
286	C₂²	#2957	1	2	yes	—
287	C₄	—	2	4	no	—
288	C₄	—	4	8	no	—
289	C₄	—	4	4	no	—
290	C₄	—	4	4	no	—
291	C₄	—	4	2	no	—
292	C₄	—	8	4	no	—
293	C₄	C₂×#376	1	1	yes	characteristic
294	C₄	#2276	1	1	yes	characteristic
295	C₄	#2344	1	2	yes	—
296	C₄	#2346	1	1	yes	characteristic
297	C₄	#2354	1	2	yes	—
298	C₄	#2356	1	1	yes	characteristic
299	C₂	—	2	2	no	—
300	C₂	—	2	2	no	—
301	C₂	#13810	1	1	yes	characteristic
302	C₂	C₄×#443	1	1	yes	characteristic
303	C₂	#20514	1	1	yes	characteristic
304	C₂	#22606	1	2	yes	—
305	C₂	#22802	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂⁴	C₂×#41
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×#336 ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
16. C₄×#107	C₄	semidirect
17. C₄×#107	C₄	semidirect
18. C₄×#106	C₄	semidirect
19. #1772	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×#427	2
C₂×#1772	2
#20368	2
#10864	2
#10859	2
#10809	2
#10808	2
C₈×#95	2