Subgroups — #356575

Order 512.

1914 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 385 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#446	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×C₄²×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#10835	C₂	1	4	yes	maximal
4	#10834	C₂	1	2	yes	maximal
5	#10832	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#10832	C₂	1	2	yes	maximal
7	#10693	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₄×#336	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂²×C₄×Q₈	C₄	1	2	yes	—
10	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#446	—	2	8	no	—
12	C₂×#446	—	2	8	no	—
13	C₂×#446	C₄	1	16	yes	complemented
14	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂²×#97	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
18	C₄²×Q₈	—	2	8	no	—
19	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	4	yes	—
20	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
21	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₄³	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#336	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#336	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
33	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
34	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
35	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
37	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
38	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
39	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
40	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	8	yes	—
41	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	4	yes	—
42	C₂×C₄×Q₈	Q₈	1	4	yes	—
43	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
56	#446	—	2	64	no	—
57	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
58	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
59	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
60	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
61	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
62	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
63	C₂×#97	—	2	8	no	—
64	C₂×#97	—	2	8	no	—
65	C₂×#97	C₂×C₄	1	16	yes	—
66	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
67	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
68	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
69	C₄×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
70	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
71	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
72	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
73	C₂×#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	C₂×#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
75	C₄³	—	2	4	no	—
76	C₄³	—	2	8	no	—
77	#336	—	2	8	no	—
78	#336	—	2	4	no	—
79	#336	—	2	2	no	—
80	#336	—	2	4	no	—
81	#336	—	4	4	no	—
82	#336	—	4	2	no	—
83	#336	Q₈	1	4	yes	complemented
84	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
85	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
86	C₂²×Q₈	C₄²	1	4	yes	—
87	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
88	C₂²×Q₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
98	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
99	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
100	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
101	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
102	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
103	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
113	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
114	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
115	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
116	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
117	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
118	C₄×Q₈	—	2	64	no	—
119	C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
120	C₄×Q₈	C₄⋊C₄	1	32	yes	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₄²	1	8	yes	—
127	C₂×C₄⋊C₄	C₄²	1	4	yes	—
128	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
130	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
131	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
132	C₂×C₄⋊C₄	M₁₆	1	8	yes	—
133	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
134	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
136	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
137	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
141	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
142	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
153	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
154	C₂×C₄²	M₁₆	1	8	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	8	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
164	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
165	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
166	C₄⋊C₈	—	2	32	no	—
167	#97	—	2	32	no	—
168	C₄×C₈	—	2	16	no	—
169	#95	—	2	4	no	—
170	#95	—	2	8	no	—
171	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
173	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
174	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
175	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
176	C₂×Q₈	#95	1	16	yes	—
177	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	#131	1	4	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
228	C₂×C₈	—	2	4	no	—
229	C₂×C₈	—	2	4	no	—
230	C₂×C₈	—	2	4	no	—
231	C₂×C₈	—	2	4	no	—
232	C₂×C₈	—	2	4	no	—
233	C₂×C₈	—	2	4	no	—
234	C₂×C₈	—	2	4	no	—
235	C₂×C₈	—	2	8	no	—
236	C₂×C₈	—	2	4	no	—
237	C₂×C₈	—	2	8	no	—
238	C₂×C₈	—	2	4	no	—
239	C₂×C₈	—	2	8	no	—
240	C₂×C₈	—	4	2	no	—
241	C₂×C₈	—	4	4	no	—
242	C₂×C₈	—	4	2	no	—
243	C₂×C₈	—	4	4	no	—
244	C₂×C₈	—	4	2	no	—
245	C₂×C₈	—	4	4	no	—
246	C₂×C₈	—	4	2	no	—
247	C₂×C₈	—	4	4	no	—
248	C₂×C₈	C₄×Q₈	1	8	yes	complemented
249	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
251	C₄⋊C₄	#95	1	32	yes	—
252	C₄⋊C₄	#95	1	16	yes	—
253	C₄²	—	2	32	no	—
254	C₄²	—	2	4	no	—
255	C₄²	—	2	4	no	—
256	C₄²	—	2	16	no	—
257	C₄²	—	4	8	no	—
258	C₄²	—	4	16	no	—
259	C₄²	—	4	2	no	—
260	C₄²	—	4	4	no	—
261	C₄²	—	4	2	no	—
262	C₄²	—	4	4	no	—
263	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
264	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
265	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
266	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
267	C₂³	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
268	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
271	C₂³	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
272	C₂³	#519	1	1	yes	characteristic
273	C₂³	#520	1	1	yes	characteristic
274	C₂³	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
275	C₂³	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
276	C₂³	C₂×#131	1	2	yes	—
277	C₂³	#568	1	2	yes	—
278	Q₈	—	2	32	no	—
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂×C₄	—	2	4	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	8	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	8	no	—
291	C₂×C₄	—	2	8	no	—
292	C₂×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂×C₄	—	2	8	no	—
294	C₂×C₄	—	2	4	no	—
295	C₂×C₄	—	2	4	no	—
296	C₂×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂×C₄	—	2	8	no	—
298	C₂×C₄	—	2	4	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	8	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	8	no	—
303	C₂×C₄	—	4	2	no	—
304	C₂×C₄	—	4	4	no	—
305	C₂×C₄	—	4	2	no	—
306	C₂×C₄	—	4	4	no	—
307	C₂×C₄	—	4	4	no	—
308	C₂×C₄	—	4	2	no	—
309	C₂×C₄	—	4	4	no	—
310	C₂×C₄	—	4	2	no	—
311	C₂×C₄	C₂×#95	1	4	yes	—
312	C₂×C₄	C₂×#95	1	8	yes	—
313	C₂×C₄	C₂×#95	1	8	yes	—
314	C₂×C₄	C₂×#95	1	4	yes	—
315	C₂×C₄	C₄×M₁₆	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	C₄×M₁₆	1	4	yes	—
317	C₂×C₄	#407	1	8	yes	—
318	C₂×C₄	#423	1	8	yes	—
319	C₂×C₄	#446	1	8	yes	complemented
320	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	#519	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	#557	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	#557	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	Q₈²	1	1	yes	characteristic
336	C₈	—	2	8	no	—
337	C₈	—	4	4	no	—
338	C₈	—	4	8	no	—
339	C₂²	C₂²×#95	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	C₄²×Q₈	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	#2276	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	Q₈×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	#2341	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	Q₈×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	#2351	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	C₂×C₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	C₂×C₄×M₁₆	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	C₄×#131	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	#2875	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	C₂×#407	1	2	yes	—
351	C₂²	#2880	1	2	yes	—
352	C₂²	C₂×#423	1	2	yes	—
353	C₂²	#2906	1	2	yes	—
354	C₂²	C₂×#446	1	2	yes	—
355	C₂²	Q₈×M₁₆	1	2	yes	—
356	C₂²	#2965	1	2	yes	—
357	C₂²	#2970	1	2	yes	—
358	C₂²	#2983	1	2	yes	—
359	C₂²	#2984	1	2	yes	—
360	C₂²	#2989	1	2	yes	—
361	C₂²	#2990	1	2	yes	—
362	C₄	—	2	8	no	—
363	C₄	—	2	4	no	—
364	C₄	—	2	8	no	—
365	C₄	—	2	8	no	—
366	C₄	—	4	4	no	—
367	C₄	—	4	8	no	—
368	C₄	#1728	1	8	yes	—
369	C₄	Q₈×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
370	C₄	#2341	1	2	yes	—
371	C₄	Q₈×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
372	C₄	#2351	1	2	yes	—
373	C₂	Q₈×#95	1	1	yes	characteristic
374	C₂	C₂×#1728	1	1	yes	characteristic
375	C₂	#20336	1	1	yes	characteristic
376	C₂	C₄×#446	1	1	yes	characteristic
377	C₂	#20520	1	1	yes	characteristic
378	C₂	#20570	1	1	yes	characteristic
379	C₂	#20573	1	1	yes	characteristic
380	C₂	#22510	1	2	yes	—
381	C₂	#22532	1	2	yes	—
382	C₂	#22722	1	2	yes	—
383	C₂	#22736	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
commutator	C₂³	C₂²×C₄²
socle, prime radical	C₂⁴	C₂³×C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
13. C₂×#446	C₄	semidirect
83. #336	Q₈	semidirect
248. C₂×C₈	C₄×Q₈	semidirect
319. C₂×C₄	#446	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#446	2
C₂×C₄²×Q₈	2
#10835	2
#10834	2
#10832	2
#10693	2
C₄×#336	2