Subgroups — #35660

Order 256.

2507 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 394 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×2₋¹⁺⁴	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#537	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#536	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#532	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2436	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2434	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2432	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2431	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2430	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
10	#2409	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#2407	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	#2311	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#2297	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₂×#391	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	8	no	—
16	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	8	no	—
17	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	8	no	—
18	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×#41	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂³×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂³×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#537	—	2	8	no	—
28	#536	—	2	8	no	—
29	#532	—	2	8	no	—
30	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	—
37	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
38	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	—
42	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	—
43	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
45	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	#395	C₂²	1	8	yes	—
49	#394	C₂²	1	8	yes	—
50	#393	C₂²	1	8	yes	—
51	#392	C₂²	1	8	yes	—
52	#391	C₂²	1	2	yes	—
53	#391	C₂²	1	4	yes	—
54	#391	C₂²	1	2	yes	—
55	#391	C₂²	1	2	yes	—
56	#391	C₂²	1	2	yes	—
57	#390	C₂²	1	2	yes	—
58	#390	C₂²	1	2	yes	—
59	#386	C₂²	1	4	yes	—
60	#386	C₂²	1	8	yes	—
61	#386	C₂²	1	8	yes	—
62	#386	C₂²	1	4	yes	—
63	#385	C₂²	1	8	yes	—
64	#385	C₂²	1	8	yes	—
65	#380	C₂²	1	4	yes	—
66	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
67	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
68	C₂×#95	C₂²	1	4	yes	—
69	2₋¹⁺⁴	—	2	128	no	—
70	C₂×#41	—	2	8	no	—
71	C₂×#41	—	2	8	no	—
72	C₂×#41	—	2	8	no	—
73	C₂×#41	—	2	16	no	—
74	C₂×#41	—	2	16	no	—
75	C₂×#41	—	2	8	no	—
76	C₂×#41	—	2	8	no	—
77	C₂×#41	—	2	8	no	—
78	C₂×#41	—	2	16	no	—
79	C₂×#41	—	2	4	no	—
80	C₂×#41	—	2	4	no	—
81	C₂×#41	—	2	4	no	—
82	C₂×#41	—	2	4	no	—
83	C₂×#41	—	2	4	no	—
84	C₂×#41	—	2	4	no	—
85	C₂×#41	—	2	4	no	—
86	C₂×#41	D₄	1	8	yes	complemented
87	C₂×#41	D₄	1	8	yes	complemented
88	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
89	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
90	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
91	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
92	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
93	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
94	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
95	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
96	C₂²×Q₈	D₄	1	8	yes	complemented
97	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
107	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
112	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
114	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
115	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
116	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
118	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
119	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
120	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
121	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
122	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
123	#127	—	2	4	no	—
124	#124	—	2	4	no	—
125	#124	—	2	8	no	—
126	#124	—	2	4	no	—
127	#123	—	2	16	no	—
128	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
129	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
130	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
131	#121	—	2	16	no	—
132	#121	—	2	8	no	—
133	#121	—	2	16	no	—
134	#121	—	2	8	no	—
135	C₄×D₄	—	2	16	no	—
136	#117	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
139	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
140	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
142	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
143	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
153	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
158	#95	C₂³	1	8	yes	—
159	#95	C₂³	1	8	yes	—
160	#95	C₂³	1	4	yes	—
161	#95	C₂³	1	4	yes	—
162	#95	C₂³	1	8	yes	—
163	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
164	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
165	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
166	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
167	#41	—	2	128	no	—
168	#41	—	2	64	no	—
169	#41	—	2	64	no	—
170	#41	—	2	32	no	—
171	#41	—	2	32	no	—
172	#41	—	4	16	no	—
173	C₂×Q₈	—	2	64	no	—
174	C₂×Q₈	—	2	64	no	—
175	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
176	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
177	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
178	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
179	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
180	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
181	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
182	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
183	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
184	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
185	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
186	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
187	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
188	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
189	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
190	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
191	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
192	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
193	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
194	C₂×D₄	—	2	8	no	—
195	C₂×D₄	—	2	8	no	—
196	C₂×D₄	—	2	4	no	—
197	C₂×D₄	—	2	4	no	—
198	C₂×D₄	—	2	4	no	—
199	C₂×D₄	—	2	4	no	—
200	C₂×D₄	—	2	8	no	—
201	C₂×D₄	—	2	4	no	—
202	C₂×D₄	—	2	4	no	—
203	C₂×D₄	—	2	4	no	—
204	C₂×D₄	—	2	8	no	—
205	C₂×D₄	—	2	8	no	—
206	C₂×D₄	—	2	2	no	—
207	C₂×D₄	—	2	2	no	—
208	C₂×D₄	—	2	2	no	—
209	C₂×D₄	—	2	2	no	—
210	C₂×D₄	—	2	2	no	—
211	C₂×D₄	—	2	2	no	—
212	C₂×D₄	—	2	2	no	—
213	C₂×D₄	—	2	8	no	—
214	C₂×D₄	—	4	4	no	—
215	C₂×D₄	—	4	8	no	—
216	C₂×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
217	C₂×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
218	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
219	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
220	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
240	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
256	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
257	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
271	C₄²	—	2	4	no	—
272	C₄²	—	2	2	no	—
273	C₄²	—	2	2	no	—
274	C₄²	—	2	4	no	—
275	C₂³	—	2	2	no	—
276	C₂³	—	2	2	no	—
277	C₂³	—	2	2	no	—
278	C₂³	—	2	2	no	—
279	C₂³	—	2	2	no	—
280	C₂³	—	2	2	no	—
281	C₂³	—	2	4	no	—
282	C₂³	—	2	4	no	—
283	C₂³	—	2	4	no	—
284	C₂³	—	2	4	no	—
285	C₂³	—	2	2	no	—
286	C₂³	—	2	2	no	—
287	C₂³	—	2	2	no	—
288	C₂³	—	2	4	no	—
289	C₂³	—	2	4	no	—
290	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
291	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
292	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
293	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
294	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
295	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
296	Q₈	—	2	32	no	—
297	Q₈	—	2	8	no	—
298	Q₈	—	2	16	no	—
299	Q₈	—	2	8	no	—
300	Q₈	—	2	16	no	—
301	Q₈	—	4	4	no	—
302	D₄	—	2	32	no	—
303	D₄	—	2	16	no	—
304	D₄	—	2	16	no	—
305	D₄	—	2	8	no	—
306	D₄	—	2	8	no	—
307	D₄	—	4	16	no	—
308	D₄	—	4	8	no	—
309	D₄	—	4	4	no	—
310	D₄	—	8	8	no	—
311	C₂×C₄	—	2	32	no	—
312	C₂×C₄	—	2	32	no	—
313	C₂×C₄	—	2	16	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	2	2	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	16	no	—
323	C₂×C₄	—	2	16	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	4	no	—
326	C₂×C₄	—	2	4	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	2	4	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	2	4	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	8	no	—
335	C₂×C₄	—	4	8	no	—
336	C₂×C₄	—	4	8	no	—
337	C₂×C₄	—	8	4	no	—
338	C₂×C₄	#120	1	16	yes	—
339	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
340	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
341	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
342	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	complemented
349	C₂²	—	2	4	no	—
350	C₂²	—	2	4	no	—
351	C₂²	—	2	2	no	—
352	C₂²	—	2	2	no	—
353	C₂²	—	2	4	no	—
354	C₂²	—	2	4	no	—
355	C₂²	—	2	8	no	—
356	C₂²	—	2	4	no	—
357	C₂²	—	2	4	no	—
358	C₂²	—	4	4	no	—
359	C₂²	—	4	4	no	—
360	C₂²	—	4	4	no	—
361	C₂²	—	4	2	no	—
362	C₂²	—	4	2	no	—
363	C₂²	—	4	2	no	—
364	C₂²	—	4	4	no	—
365	C₂²	—	4	4	no	—
366	C₂²	—	4	2	no	—
367	C₂²	—	4	2	no	—
368	C₂²	C₂×#120	1	4	yes	—
369	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
371	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
372	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
373	C₂²	#585	1	2	yes	—
374	C₄	—	2	8	no	—
375	C₄	—	2	4	no	—
376	C₄	—	2	4	no	—
377	C₄	—	2	4	no	—
378	C₄	—	4	2	no	—
379	C₄	—	4	2	no	—
380	C₄	—	4	4	no	—
381	C₄	—	4	4	no	—
382	C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
383	C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
384	C₂	—	2	4	no	—
385	C₂	—	4	4	no	—
386	C₂	—	4	4	no	—
387	C₂	—	8	2	no	—
388	C₂	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
389	C₂	#3489	1	2	yes	—
390	C₂	#3497	1	2	yes	—
391	C₂	#3499	1	1	yes	characteristic
392	C₂	#3500	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×2₋¹⁺⁴	C₂	semidirect
2. C₂×#537	C₂	semidirect
3. C₂×#536	C₂	semidirect
4. C₂×#532	C₂	semidirect
5. #2436	C₂	semidirect
6. #2434	C₂	semidirect
7. #2432	C₂	semidirect
8. #2431	C₂	semidirect
9. #2430	C₂	semidirect
10. #2409	C₂	semidirect
11. #2407	C₂	semidirect
12. #2311	C₂	semidirect
13. #2297	C₂	semidirect
14. C₂×#391	C₂	semidirect
86. C₂×#41	D₄	semidirect
87. C₂×#41	D₄	semidirect
96. C₂²×Q₈	D₄	semidirect
348. C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×2₋¹⁺⁴	2
C₂×#537	2
C₂×#536	2
C₂×#532	2
#2436	2
#2434	2
#2432	2
#2431	2
#2430	2
#2409	2
#2407	2
#2311	2
#2297	2
C₂×#391	2