Subgroups — #35667

Order 256.

1433 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 255 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#536	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#536	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#519	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2546	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2545	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#2429	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
8	#2413	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
9	#2310	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#2297	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	#2296	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#536	—	2	8	no	—
16	#536	—	2	8	no	—
17	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
18	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
28	#519	—	2	8	no	—
29	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×#117	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
36	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#398	C₂²	1	16	yes	—
38	#396	C₂²	1	16	yes	—
39	#391	C₂²	1	4	yes	—
40	#391	C₂²	1	4	yes	—
41	#391	C₂²	1	2	yes	—
42	#390	C₂²	1	2	yes	—
43	#389	C₂²	1	16	yes	—
44	#389	C₂²	1	4	yes	—
45	#388	C₂²	1	16	yes	—
46	#386	C₂²	1	4	yes	—
47	#385	C₂²	1	4	yes	—
48	#381	C₂²	1	4	yes	—
49	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
50	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
51	C₂×#41	—	2	4	no	—
52	C₂×#41	—	2	4	no	—
53	C₂×#41	—	2	4	no	—
54	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
55	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
56	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
57	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
58	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
59	C₂²×Q₈	D₄	1	8	yes	—
60	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
73	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
74	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
75	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
76	#124	—	2	8	no	—
77	#124	—	2	8	no	—
78	#123	—	2	16	no	—
79	#123	—	2	16	no	—
80	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
81	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
82	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
83	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
84	#117	—	2	4	no	—
85	#117	—	2	4	no	—
86	#117	—	2	16	no	—
87	#117	D₄	1	8	yes	—
88	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
89	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
90	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
92	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
94	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
95	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
96	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
100	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
101	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
102	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
104	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
106	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
107	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
110	#95	C₂³	1	8	yes	—
111	#95	C₂³	1	8	yes	—
112	#95	C₂³	1	16	yes	—
113	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
114	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
115	#41	—	4	16	no	—
116	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
117	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
118	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
119	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
120	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
121	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
122	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
123	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
124	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
125	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
126	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
127	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
128	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
129	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
130	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
131	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
132	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
133	C₂×D₄	—	2	4	no	—
134	C₂×D₄	—	2	4	no	—
135	C₂×D₄	—	2	4	no	—
136	C₂×D₄	—	2	2	no	—
137	C₂×D₄	—	2	2	no	—
138	C₂×D₄	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
140	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
141	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
148	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
149	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
150	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
151	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
152	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
153	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
154	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
155	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
156	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
157	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
158	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
159	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
160	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
162	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
163	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
164	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
165	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
166	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
167	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
168	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
169	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
170	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
171	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
172	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
173	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
174	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
175	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
176	C₄²	—	2	4	no	—
177	C₄²	—	2	4	no	—
178	C₄²	—	2	16	no	—
179	C₄²	—	2	4	no	—
180	C₄²	—	2	4	no	—
181	C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
182	C₂³	—	2	4	no	—
183	C₂³	—	2	2	no	—
184	C₂³	—	2	2	no	—
185	C₂³	—	2	2	no	—
186	C₂³	—	2	8	no	—
187	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
188	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
189	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
190	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
191	Q₈	—	2	16	no	—
192	Q₈	—	2	16	no	—
193	Q₈	—	4	8	no	—
194	Q₈	—	4	8	no	—
195	Q₈	—	4	4	no	—
196	D₄	—	4	8	no	—
197	D₄	—	4	4	no	—
198	C₂×C₄	—	2	16	no	—
199	C₂×C₄	—	2	16	no	—
200	C₂×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂×C₄	—	2	8	no	—
204	C₂×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂×C₄	—	2	8	no	—
214	C₂×C₄	—	2	8	no	—
215	C₂×C₄	—	4	8	no	—
216	C₂×C₄	—	4	8	no	—
217	C₂×C₄	#121	1	16	yes	—
218	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
219	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
220	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
221	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
222	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
223	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
224	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
225	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
226	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	8	yes	—
227	C₂²	—	2	4	no	—
228	C₂²	—	2	4	no	—
229	C₂²	—	2	4	no	—
230	C₂²	—	4	2	no	—
231	C₂²	—	4	4	no	—
232	C₂²	—	4	4	no	—
233	C₂²	—	4	4	no	—
234	C₂²	C₂×#121	1	4	yes	—
235	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
238	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
239	C₄	—	2	8	no	—
240	C₄	—	2	8	no	—
241	C₄	—	2	8	no	—
242	C₄	—	4	2	no	—
243	C₄	—	4	4	no	—
244	C₄	—	4	4	no	—
245	C₄	—	4	4	no	—
246	C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
247	C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
248	C₂	—	2	4	no	—
249	C₂	—	8	2	no	—
250	C₂	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
251	C₂	#3486	1	2	yes	—
252	C₂	#3499	1	2	yes	—
253	C₂	#3509	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂²×#41	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂²×C₄⋊Q₈	C₂	semidirect
4. C₂×#519	C₂	semidirect
5. #2546	C₂	semidirect
6. #2545	C₂	semidirect
7. #2429	C₂	semidirect
8. #2413	C₂	semidirect
9. #2310	C₂	semidirect
11. #2296	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#536	2
C₂²×C₄⋊Q₈	2
C₂×#519	2
#2546	2
#2545	2
#2429	2
#2413	2
#2310	2
#2297	2
#2296	2