Subgroups — #356850

Order 512.

1388 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 415 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2365	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1997	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₄⋊C₄×M₁₆	C₂	1	2	yes	maximal
4	#10913	C₂	1	4	yes	maximal
5	#10847	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#10802	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₄×#343	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₄×#343	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×C₄×Q₈	C₄	1	2	yes	—
11	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
14	#2365	—	2	2	no	—
15	#2365	—	2	2	no	—
16	#2365	—	2	4	no	—
17	C₂×#391	C₄	1	2	yes	—
18	C₂×#389	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#387	C₄	1	4	yes	—
20	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1997	C₄	1	16	yes	complemented
24	#1771	—	2	4	no	—
25	#1770	—	2	2	no	—
26	C₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
27	C₂×#343	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#343	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#343	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#343	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×#343	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1728	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
36	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
37	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
40	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
42	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
44	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
45	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
46	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄×Q₈	—	4	8	no	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	#423	—	2	4	no	—
60	#423	C₂×C₄	1	8	yes	—
61	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
63	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
64	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
65	C₄×M₁₆	—	4	4	no	—
66	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
67	C₂×#97	—	2	2	no	—
68	C₂×#97	—	2	4	no	—
69	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
71	#391	—	2	4	no	—
72	#391	—	2	4	no	—
73	#389	—	2	4	no	—
74	#389	—	2	4	no	—
75	#387	—	2	8	no	—
76	#387	—	2	8	no	—
77	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
78	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
79	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
80	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
81	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
82	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
83	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
84	C₂×#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	C₂×#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
86	C₂×#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
87	C₂×#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	#343	—	2	4	no	—
89	#343	—	2	2	no	—
90	#343	—	2	4	no	—
91	#343	—	4	2	no	—
92	#343	C₂×C₄	1	16	yes	—
93	#343	C₂×C₄	1	16	yes	—
94	#343	Q₈	1	4	yes	complemented
95	#336	—	2	4	no	—
96	#336	—	2	4	no	—
97	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
98	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
99	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
100	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
101	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
102	C₂²×Q₈	C₄²	1	8	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
104	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
106	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
107	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
111	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
112	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
124	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
125	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
126	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
127	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
128	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
129	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
132	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
133	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
134	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
135	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
136	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
137	C₄×Q₈	—	4	16	no	—
138	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	C₄²	1	8	yes	—
156	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
162	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
163	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	2	yes	—
164	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
172	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
173	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
179	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
180	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
181	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
182	#97	—	2	8	no	—
183	#97	—	4	8	no	—
184	C₄×C₈	—	2	8	no	—
185	C₄×C₈	—	4	8	no	—
186	#95	—	2	4	no	—
187	#95	—	2	8	no	—
188	#95	—	2	8	no	—
189	#95	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
190	#95	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
191	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
193	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
194	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
195	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
196	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
197	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
198	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
199	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
225	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	8	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
247	M₁₆	—	2	4	no	—
248	M₁₆	—	2	4	no	—
249	M₁₆	—	2	4	no	—
250	M₁₆	—	2	4	no	—
251	M₁₆	—	2	8	no	—
252	M₁₆	—	2	4	no	—
253	M₁₆	—	2	8	no	—
254	M₁₆	—	4	2	no	—
255	M₁₆	—	4	2	no	—
256	M₁₆	—	4	4	no	—
257	M₁₆	—	4	4	no	—
258	M₁₆	C₄×Q₈	1	8	yes	complemented
259	C₂×C₈	—	2	4	no	—
260	C₂×C₈	—	2	4	no	—
261	C₂×C₈	—	2	4	no	—
262	C₂×C₈	—	2	4	no	—
263	C₂×C₈	—	2	8	no	—
264	C₂×C₈	—	4	4	no	—
265	C₂×C₈	—	4	2	no	—
266	C₂×C₈	—	4	2	no	—
267	C₂×C₈	—	4	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
276	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
277	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
278	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
279	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
280	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
281	C₄⋊C₄	#100	1	4	yes	—
282	C₄²	—	2	4	no	—
283	C₄²	—	2	4	no	—
284	C₄²	—	2	4	no	—
285	C₄²	—	2	4	no	—
286	C₄²	—	4	4	no	—
287	C₄²	—	4	8	no	—
288	C₄²	—	4	8	no	—
289	C₄²	—	4	4	no	—
290	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
291	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
292	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
293	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
294	C₂³	—	2	1	no	—
295	C₂³	—	2	1	no	—
296	C₂³	—	2	1	no	—
297	C₂³	—	2	1	no	—
298	C₂³	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
299	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
300	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
301	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
302	C₂³	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
303	C₂³	#519	1	1	yes	characteristic
304	C₂³	#520	1	1	yes	characteristic
305	Q₈	—	4	16	no	—
306	Q₈	—	4	16	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	1	no	—
309	C₂×C₄	—	2	1	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	4	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	2	2	no	—
321	C₂×C₄	—	2	4	no	—
322	C₂×C₄	—	2	8	no	—
323	C₂×C₄	—	4	2	no	—
324	C₂×C₄	—	4	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	4	no	—
326	C₂×C₄	—	4	4	no	—
327	C₂×C₄	—	4	4	no	—
328	C₂×C₄	—	4	8	no	—
329	C₂×C₄	—	4	2	no	—
330	C₂×C₄	—	4	4	no	—
331	C₂×C₄	—	4	4	no	—
332	C₂×C₄	—	4	2	no	—
333	C₂×C₄	—	4	8	no	—
334	C₂×C₄	—	4	4	no	—
335	C₂×C₄	—	4	2	no	—
336	C₂×C₄	—	4	2	no	—
337	C₂×C₄	—	4	2	no	—
338	C₂×C₄	—	8	2	no	—
339	C₂×C₄	—	8	2	no	—
340	C₂×C₄	—	8	2	no	—
341	C₂×C₄	—	8	2	no	—
342	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
343	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	C₄×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	C₂×#100	1	4	yes	—
346	C₂×C₄	C₂×#100	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	#413	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	#519	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	#556	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	#557	1	1	yes	characteristic
363	C₂×C₄	#559	1	1	yes	characteristic
364	C₈	—	2	8	no	—
365	C₈	—	4	4	no	—
366	C₈	—	4	8	no	—
367	C₂²	—	2	1	no	—
368	C₂²	—	2	1	no	—
369	C₂²	—	2	1	no	—
370	C₂²	—	2	1	no	—
371	C₂²	—	2	1	no	—
372	C₂²	—	2	1	no	—
373	C₂²	—	2	1	no	—
374	C₂²	—	2	1	no	—
375	C₂²	—	2	1	no	—
376	C₂²	—	2	1	no	—
377	C₂²	—	2	1	no	—
378	C₂²	—	2	1	no	—
379	C₂²	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
380	C₂²	C₄²×Q₈	1	1	yes	characteristic
381	C₂²	#2276	1	1	yes	characteristic
382	C₂²	#2339	1	1	yes	characteristic
383	C₂²	Q₈×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
384	C₂²	#2355	1	1	yes	characteristic
385	C₂²	#2356	1	1	yes	characteristic
386	C₂²	C₂²×#100	1	1	yes	characteristic
387	C₂²	C₂×#413	1	1	yes	characteristic
388	C₂²	#2889	1	1	yes	characteristic
389	C₂²	#2889	1	1	yes	characteristic
390	C₄	—	2	2	no	—
391	C₄	—	2	4	no	—
392	C₄	—	2	4	no	—
393	C₄	—	4	8	no	—
394	C₄	—	4	2	no	—
395	C₄	—	4	4	no	—
396	C₄	—	4	4	no	—
397	C₄	—	8	2	no	—
398	C₄	C₄×#100	1	4	yes	—
399	C₄	#2360	1	2	yes	—
400	C₄	#2362	1	2	yes	—
401	C₄	#2365	1	2	yes	—
402	C₄	#2367	1	2	yes	—
403	C₂	—	2	1	no	—
404	C₂	—	2	1	no	—
405	C₂	—	2	1	no	—
406	C₂	—	2	1	no	—
407	C₂	#13817	1	1	yes	characteristic
408	C₂	C₂×C₄×#100	1	1	yes	characteristic
409	C₂	#20399	1	1	yes	characteristic
410	C₂	#22479	1	1	yes	characteristic
411	C₂	#22484	1	1	yes	characteristic
412	C₂	Q₈×#100	1	1	yes	characteristic
413	C₂	#22517	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂³	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁴	C₂³×C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×C₄⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
23. #1997	C₄	semidirect
94. #343	Q₈	semidirect
258. M₁₆	C₄×Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2365	2
C₂×#1997	2
C₄⋊C₄×M₁₆	2
#10913	2
#10847	2
#10802	2
C₄×#343	2