Subgroups — #356955

Order 512.

1522 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 394 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#135	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1974	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1772	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20378	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#10934	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#10864	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#10790	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₈×#95	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₄×#41	C₂²	1	2	yes	—
11	C₄×#135	—	2	8	no	—
12	C₂×C₄×Q₁₆	C₄	1	2	yes	complemented
13	C₂×C₄×SD₁₆	C₄	1	4	yes	complemented
14	C₂×C₄×D₈	C₄	1	2	yes	complemented
15	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×#104	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#416	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#408	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#405	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
23	#1974	C₄	1	16	yes	complemented
24	#1772	—	2	8	no	—
25	#1750	—	2	4	no	—
26	#1749	—	2	2	no	—
27	C₄×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
28	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
30	#1728	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₄×#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂×#135	—	2	4	no	—
36	C₂×#135	—	2	2	no	—
37	C₂×#135	—	2	2	no	—
38	C₂×#135	C₂×C₄	1	8	yes	—
39	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
43	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₄×#41	—	2	8	no	—
47	C₄×#41	—	4	4	no	—
48	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
50	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂×#117	—	2	2	no	—
52	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₄×Q₁₆	—	2	8	no	—
57	C₄×SD₁₆	—	2	16	no	—
58	C₄×D₈	—	2	8	no	—
59	C₂×#108	—	2	4	no	—
60	C₂×#108	—	2	4	no	—
61	C₂×#108	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
62	#427	D₄	1	8	yes	—
63	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂×#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂×#104	—	4	4	no	—
66	C₂×#104	—	4	4	no	—
67	C₂×#104	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
68	#416	—	2	8	no	—
69	C₂×#103	C₂×C₄	1	4	yes	—
70	C₂×#102	C₂×C₄	1	4	yes	—
71	#408	—	2	8	no	—
72	#408	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
73	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
74	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
75	#405	—	2	8	no	—
76	#405	—	4	4	no	—
77	C₂×#97	—	2	4	no	—
78	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
79	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
80	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
81	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
82	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
85	C₂×#95	—	2	2	no	—
86	#341	—	4	2	no	—
87	#339	—	2	8	no	—
88	#336	—	2	4	no	—
89	#336	—	2	2	no	—
90	#336	—	2	2	no	—
91	#336	D₄	1	1	yes	characteristic
92	#336	D₄	1	1	yes	characteristic
93	#336	D₄	1	2	yes	—
94	C₂×#41	—	2	4	no	—
95	C₂×#41	—	2	4	no	—
96	C₂×#41	—	2	2	no	—
97	C₂×#41	—	2	2	no	—
98	C₂×#41	—	2	4	no	—
99	C₂×#41	—	2	2	no	—
100	C₂×#41	—	2	2	no	—
101	C₂×#41	C₂²×C₄	1	8	yes	—
102	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
103	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
104	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
105	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
106	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
107	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
108	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
110	#135	—	2	16	no	—
111	#135	—	2	16	no	—
112	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
113	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
114	C₂×Q₁₆	C₄²	1	4	yes	—
115	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
116	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
117	C₂×SD₁₆	C₄²	1	8	yes	—
118	C₂×D₈	—	2	2	no	—
119	C₂×D₈	—	2	2	no	—
120	C₂×D₈	C₄²	1	4	yes	—
121	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
126	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
127	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
136	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
137	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
138	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
141	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
142	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
143	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
144	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
145	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
146	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
147	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
148	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
149	C₄×D₄	—	2	8	no	—
150	C₄×D₄	—	4	4	no	—
151	C₄×D₄	—	4	16	no	—
152	#117	—	2	4	no	—
153	#117	—	4	8	no	—
154	#117	C₂×D₄	1	8	yes	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
169	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
173	#108	—	2	16	no	—
174	#107	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
175	#106	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
176	#104	—	4	16	no	—
177	#103	—	2	8	no	—
178	#102	—	2	8	no	—
179	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
180	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
181	#97	—	4	8	no	—
182	C₄×C₈	—	2	4	no	—
183	C₄×C₈	—	2	4	no	—
184	C₄×C₈	—	2	16	no	—
185	C₄×C₈	—	4	8	no	—
186	#95	—	2	8	no	—
187	C₂⁴	—	2	2	no	—
188	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
189	#41	—	2	8	no	—
190	#41	—	2	8	no	—
191	#41	—	2	8	no	—
192	#41	—	2	8	no	—
193	#41	—	4	4	no	—
194	#41	—	4	4	no	—
195	#41	—	4	4	no	—
196	#41	—	4	4	no	—
197	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
198	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
199	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
200	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
201	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
202	C₂×Q₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
203	C₂×D₄	—	2	8	no	—
204	C₂×D₄	—	2	2	no	—
205	C₂×D₄	—	2	2	no	—
206	C₂×D₄	—	2	2	no	—
207	C₂×D₄	—	2	2	no	—
208	C₂×D₄	—	2	2	no	—
209	C₂×D₄	—	4	4	no	—
210	C₂×D₄	—	4	2	no	—
211	C₂×D₄	—	4	2	no	—
212	C₂×D₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
213	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
229	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
230	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
242	Q₁₆	—	2	8	no	—
243	SD₁₆	—	2	16	no	—
244	D₈	—	2	8	no	—
245	M₁₆	—	2	8	no	—
246	M₁₆	—	2	8	no	—
247	M₁₆	—	4	4	no	—
248	M₁₆	—	4	4	no	—
249	C₂×C₈	—	2	4	no	—
250	C₂×C₈	—	2	4	no	—
251	C₂×C₈	—	2	2	no	—
252	C₂×C₈	—	2	2	no	—
253	C₂×C₈	—	2	2	no	—
254	C₂×C₈	—	2	2	no	—
255	C₂×C₈	—	2	4	no	—
256	C₂×C₈	—	2	4	no	—
257	C₂×C₈	—	2	2	no	—
258	C₂×C₈	—	2	8	no	—
259	C₂×C₈	—	2	2	no	—
260	C₂×C₈	—	2	2	no	—
261	C₂×C₈	—	4	4	no	—
262	C₂×C₈	—	4	2	no	—
263	C₂×C₈	—	4	2	no	—
264	C₂×C₈	—	4	4	no	—
265	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
266	C₂×C₈	C₂×C₄²	1	2	yes	—
267	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
268	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
269	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
270	C₂×C₈	#117	1	2	yes	—
271	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
272	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
273	C₂×C₈	C₄×D₄	1	8	yes	—
274	C₂×C₈	C₄×D₄	1	8	yes	—
275	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
276	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
277	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
278	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
280	C₄²	—	2	2	no	—
281	C₄²	—	2	2	no	—
282	C₄²	—	2	8	no	—
283	C₄²	—	2	2	no	—
284	C₄²	—	2	2	no	—
285	C₄²	—	2	4	no	—
286	C₄²	—	2	4	no	—
287	C₄²	—	4	8	no	—
288	C₄²	—	4	2	no	—
289	C₄²	—	4	2	no	—
290	C₂³	—	2	2	no	—
291	C₂³	—	2	2	no	—
292	C₂³	—	2	4	no	—
293	C₂³	—	4	2	no	—
294	C₂³	—	4	2	no	—
295	C₂³	—	4	4	no	—
296	C₂³	—	4	4	no	—
297	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
298	C₂³	C₄×#41	1	2	yes	—
299	C₂³	#546	1	2	yes	—
300	C₂³	#555	1	1	yes	characteristic
301	C₂³	#556	1	1	yes	characteristic
302	Q₈	—	2	4	no	—
303	Q₈	—	2	4	no	—
304	Q₈	—	4	2	no	—
305	Q₈	—	4	2	no	—
306	D₄	—	2	4	no	—
307	D₄	—	2	4	no	—
308	D₄	—	4	8	no	—
309	D₄	—	4	8	no	—
310	D₄	—	4	2	no	—
311	D₄	—	4	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	8	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	8	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	4	8	no	—
321	C₂×C₄	—	4	8	no	—
322	C₂×C₄	—	4	4	no	—
323	C₂×C₄	—	4	8	no	—
324	C₂×C₄	—	4	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	2	no	—
326	C₂×C₄	—	4	4	no	—
327	C₂×C₄	—	4	4	no	—
328	C₂×C₄	—	4	4	no	—
329	C₂×C₄	—	4	8	no	—
330	C₂×C₄	—	4	8	no	—
331	C₂×C₄	—	8	16	no	—
332	C₂×C₄	#443	1	4	yes	—
333	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
351	C₈	—	2	4	no	—
352	C₈	—	2	4	no	—
353	C₈	—	4	2	no	—
354	C₈	—	4	8	no	—
355	C₈	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
356	C₈	C₄×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
357	C₂²	—	2	2	no	—
358	C₂²	—	2	2	no	—
359	C₂²	—	2	2	no	—
360	C₂²	—	2	2	no	—
361	C₂²	—	2	4	no	—
362	C₂²	—	4	4	no	—
363	C₂²	—	4	4	no	—
364	C₂²	—	4	4	no	—
365	C₂²	—	8	4	no	—
366	C₂²	—	8	4	no	—
367	C₂²	C₄²×D₄	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	D₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
369	C₂²	#2354	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	#2363	1	2	yes	—
371	C₂²	#2367	1	2	yes	—
372	C₂²	C₂×#443	1	2	yes	—
373	C₂²	#2957	1	2	yes	—
374	C₄	—	2	4	no	—
375	C₄	—	4	8	no	—
376	C₄	—	4	2	no	—
377	C₄	—	4	8	no	—
378	C₄	—	4	4	no	—
379	C₄	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
380	C₄	#2275	1	1	yes	characteristic
381	C₄	#2341	1	1	yes	characteristic
382	C₄	#2357	1	1	yes	characteristic
383	C₄	#2361	1	2	yes	—
384	C₄	#2366	1	2	yes	—
385	C₂	—	2	2	no	—
386	C₂	—	2	2	no	—
387	C₂	—	8	4	no	—
388	C₂	#13820	1	1	yes	characteristic
389	C₂	C₄×#443	1	1	yes	characteristic
390	C₂	#20514	1	1	yes	characteristic
391	C₂	#22454	1	2	yes	—
392	C₂	#22802	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂²×#135	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×#336 ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1772	C₂	semidirect
4. #20378	C₂	semidirect
5. #10934	C₂	semidirect
6. #10864	C₂	semidirect
7. #10790	C₂	semidirect
8. C₈×#95	C₂	semidirect
12. C₂×C₄×Q₁₆	C₄	semidirect
13. C₂×C₄×SD₁₆	C₄	semidirect
14. C₂×C₄×D₈	C₄	semidirect
23. #1974	C₄	semidirect
61. C₂×#108	C₂×C₄	semidirect
67. C₂×#104	C₂×C₄	semidirect
72. #408	C₂×C₄	semidirect
84. C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#135	2
C₂×#1974	2
C₂×#1772	2
#20378	2
#10934	2
#10864	2
#10790	2
C₈×#95	2