Subgroups — #357125

Order 512.

1199 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 438 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#1931	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×#1856	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20453	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20416	C₂	1	2	yes	maximal
5	#10958	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#10927	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#10899	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10896	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10707	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂×#518	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#428	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#428	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#418	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×#102	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×#100	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2274	C₂²	1	2	yes	—
21	#2274	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#1931	C₄	1	16	yes	complemented
23	#1856	C₄	1	8	yes	complemented
24	#1776	—	2	2	no	—
25	#1776	—	2	2	no	—
26	C₄×#107	—	2	2	no	—
27	C₄×#106	—	2	2	no	—
28	#1762	—	2	2	no	—
29	#1762	—	2	2	no	—
30	C₄×#102	—	2	2	no	—
31	C₄×#102	—	2	2	no	—
32	C₂×#343	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×#343	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
35	#1736	C₂²	1	2	yes	—
36	#1735	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
40	C₄⋊#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
45	#518	—	2	4	no	—
46	#518	—	4	1	no	—
47	#518	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
50	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
55	C₂²×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	#428	—	2	4	no	—
58	#428	—	2	4	no	—
59	#428	C₂×C₄	1	8	yes	—
60	#428	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
61	C₂×#107	—	2	2	no	—
62	C₂×#107	—	2	2	no	—
63	C₂×#106	—	2	2	no	—
64	C₂×#106	—	2	2	no	—
65	#418	—	2	4	no	—
66	#418	C₂×C₄	1	8	yes	—
67	C₂×#102	—	2	2	no	—
68	C₂×#102	—	2	2	no	—
69	C₂×#102	—	2	4	no	—
70	C₂×#102	—	2	2	no	—
71	C₂×#102	—	2	2	no	—
72	C₂×#102	C₂×C₄	1	8	yes	—
73	C₂×#100	C₂×C₄	1	4	yes	—
74	C₂×#100	C₂×C₄	1	8	yes	—
75	#405	—	2	4	no	—
76	#405	—	2	4	no	—
77	#405	—	4	2	no	—
78	#405	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
79	C₂×#97	—	2	2	no	—
80	C₂×#97	—	2	2	no	—
81	C₂×#97	—	2	4	no	—
82	C₂×#97	—	4	1	no	—
83	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
84	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
85	#390	—	4	1	no	—
86	#390	C₂×C₄	1	4	yes	—
87	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
88	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
89	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
90	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
91	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
92	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
93	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
94	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
95	C₂×#95	—	4	1	no	—
96	#343	—	4	1	no	—
97	#343	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
98	#341	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
99	#340	—	2	2	no	—
100	#340	—	2	2	no	—
101	#340	—	2	2	no	—
102	#340	—	2	2	no	—
103	#340	D₄	1	2	yes	—
104	#340	D₄	1	2	yes	—
105	#340	D₄	1	2	yes	—
106	#340	D₄	1	2	yes	—
107	#339	—	2	4	no	—
108	#339	C₂×C₄	1	8	yes	—
109	C₂⁵	—	2	1	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
117	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
118	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
119	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
120	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
121	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
122	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
123	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
124	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
133	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
134	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
135	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
136	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
143	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
144	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
145	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
146	C₄×D₄	—	2	8	no	—
147	C₄×D₄	—	2	8	no	—
148	C₄×D₄	—	4	4	no	—
149	C₄×D₄	—	4	4	no	—
150	#117	—	2	2	no	—
151	#117	—	2	2	no	—
152	#117	—	2	2	no	—
153	#117	—	2	2	no	—
154	#117	C₂²×C₄	1	4	yes	—
155	#117	C₂²×C₄	1	4	yes	—
156	#117	#41	1	4	yes	—
157	#117	#41	1	4	yes	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
167	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
184	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
185	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
186	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
187	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
188	#107	—	2	8	no	—
189	#107	—	2	8	no	—
190	#106	—	2	8	no	—
191	#106	—	2	8	no	—
192	#102	—	2	8	no	—
193	#102	—	2	8	no	—
194	#102	—	2	8	no	—
195	#102	—	2	8	no	—
196	#100	C₄²	1	16	yes	complemented
197	#97	—	2	8	no	—
198	#97	—	4	4	no	—
199	#97	—	4	4	no	—
200	C₄×C₈	—	2	8	no	—
201	C₄×C₈	—	4	4	no	—
202	#95	—	4	1	no	—
203	#95	—	4	1	no	—
204	#95	—	4	2	no	—
205	#95	—	4	2	no	—
206	#95	—	8	2	no	—
207	C₂⁴	—	2	2	no	—
208	C₂⁴	—	2	4	no	—
209	C₂⁴	—	4	1	no	—
210	C₂⁴	—	4	1	no	—
211	C₂⁴	—	4	2	no	—
212	C₂⁴	—	8	2	no	—
213	C₂⁴	—	8	1	no	—
214	C₂⁴	—	8	1	no	—
215	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
216	C₂×D₄	—	2	4	no	—
217	C₂×D₄	—	2	4	no	—
218	C₂×D₄	—	2	4	no	—
219	C₂×D₄	—	2	4	no	—
220	C₂×D₄	—	2	4	no	—
221	C₂×D₄	—	2	4	no	—
222	C₂×D₄	—	2	2	no	—
223	C₂×D₄	—	2	4	no	—
224	C₂×D₄	—	4	2	no	—
225	C₂×D₄	—	4	2	no	—
226	C₂×D₄	—	4	2	no	—
227	C₂×D₄	—	4	1	no	—
228	C₂×D₄	—	4	2	no	—
229	C₂×D₄	—	4	2	no	—
230	C₂×D₄	—	4	1	no	—
231	C₂×D₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
232	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	16	1	no	—
253	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	16	1	no	—
255	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
263	M₁₆	—	2	4	no	—
264	M₁₆	—	2	4	no	—
265	M₁₆	—	2	4	no	—
266	M₁₆	—	2	4	no	—
267	M₁₆	—	2	4	no	—
268	M₁₆	—	4	2	no	—
269	M₁₆	—	4	2	no	—
270	M₁₆	C₂×C₄²	1	8	yes	—
271	C₂×C₈	—	2	4	no	—
272	C₂×C₈	—	2	4	no	—
273	C₂×C₈	—	2	4	no	—
274	C₂×C₈	—	2	4	no	—
275	C₂×C₈	—	2	4	no	—
276	C₂×C₈	—	2	2	no	—
277	C₂×C₈	—	2	2	no	—
278	C₂×C₈	—	2	2	no	—
279	C₂×C₈	—	2	2	no	—
280	C₂×C₈	—	2	4	no	—
281	C₂×C₈	—	2	4	no	—
282	C₂×C₈	—	2	4	no	—
283	C₂×C₈	—	4	2	no	—
284	C₂×C₈	—	4	2	no	—
285	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
286	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
287	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
297	C₄⋊C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
298	C₄⋊C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
299	C₄⋊C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
300	C₄⋊C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
301	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
307	C₄²	—	2	4	no	—
308	C₄²	—	2	4	no	—
309	C₄²	—	2	4	no	—
310	C₄²	—	2	4	no	—
311	C₄²	—	2	4	no	—
312	C₄²	—	4	1	no	—
313	C₄²	—	4	1	no	—
314	C₄²	—	16	2	no	—
315	C₄²	—	16	2	no	—
316	C₄²	—	16	2	no	—
317	C₂³	—	2	1	no	—
318	C₂³	—	2	2	no	—
319	C₂³	—	2	1	no	—
320	C₂³	—	2	4	no	—
321	C₂³	—	4	2	no	—
322	C₂³	—	4	4	no	—
323	C₂³	—	4	4	no	—
324	C₂³	—	4	2	no	—
325	C₂³	—	8	2	no	—
326	C₂³	—	8	4	no	—
327	C₂³	—	8	4	no	—
328	C₂³	—	8	2	no	—
329	C₂³	—	8	1	no	—
330	C₂³	—	8	2	no	—
331	C₂³	—	8	1	no	—
332	C₂³	—	16	2	no	—
333	C₂³	—	16	2	no	—
334	C₂³	—	16	1	no	—
335	C₂³	—	16	1	no	—
336	C₂³	#518	1	1	yes	characteristic
337	C₂³	#520	1	2	yes	—
338	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
339	C₂³	#551	1	1	yes	characteristic
340	C₂³	#553	1	2	yes	—
341	D₄	—	2	8	no	—
342	D₄	—	4	4	no	—
343	D₄	—	4	4	no	—
344	D₄	—	4	4	no	—
345	C₂×C₄	—	2	4	no	—
346	C₂×C₄	—	2	4	no	—
347	C₂×C₄	—	2	4	no	—
348	C₂×C₄	—	2	4	no	—
349	C₂×C₄	—	4	2	no	—
350	C₂×C₄	—	4	2	no	—
351	C₂×C₄	—	4	2	no	—
352	C₂×C₄	—	4	2	no	—
353	C₂×C₄	—	4	2	no	—
354	C₂×C₄	—	4	2	no	—
355	C₂×C₄	—	4	2	no	—
356	C₂×C₄	—	4	2	no	—
357	C₂×C₄	—	4	2	no	—
358	C₂×C₄	—	4	2	no	—
359	C₂×C₄	—	4	2	no	—
360	C₂×C₄	—	4	4	no	—
361	C₂×C₄	—	4	2	no	—
362	C₂×C₄	—	8	2	no	—
363	C₂×C₄	—	8	2	no	—
364	C₂×C₄	—	8	2	no	—
365	C₂×C₄	—	8	2	no	—
366	C₂×C₄	—	8	2	no	—
367	C₂×C₄	—	8	2	no	—
368	C₂×C₄	—	8	4	no	—
369	C₂×C₄	—	16	4	no	—
370	C₂×C₄	—	16	4	no	—
371	C₂×C₄	—	16	2	no	—
372	C₂×C₄	—	16	1	no	—
373	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
377	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
378	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
380	C₂×C₄	#519	1	1	yes	characteristic
381	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
382	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
383	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
384	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
385	C₂×C₄	#551	1	1	yes	characteristic
386	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
387	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
388	C₂×C₄	#559	1	1	yes	characteristic
389	C₈	—	2	4	no	—
390	C₈	—	2	4	no	—
391	C₈	—	2	8	no	—
392	C₈	—	4	4	no	—
393	C₂²	—	2	2	no	—
394	C₂²	—	2	2	no	—
395	C₂²	—	2	2	no	—
396	C₂²	—	2	2	no	—
397	C₂²	—	2	1	no	—
398	C₂²	—	2	1	no	—
399	C₂²	—	2	1	no	—
400	C₂²	—	2	1	no	—
401	C₂²	—	4	4	no	—
402	C₂²	—	8	4	no	—
403	C₂²	—	8	4	no	—
404	C₂²	—	8	4	no	—
405	C₂²	—	8	2	no	—
406	C₂²	—	8	2	no	—
407	C₂²	—	16	2	no	—
408	C₂²	—	16	4	no	—
409	C₂²	#2274	1	1	yes	characteristic
410	C₂²	#2358	1	1	yes	characteristic
411	C₂²	#2361	1	2	yes	—
412	C₂²	#2373	1	2	yes	—
413	C₂²	#2374	1	1	yes	characteristic
414	C₂²	#3288	1	1	yes	characteristic
415	C₂²	#3288	1	2	yes	—
416	C₂²	#3289	1	1	yes	characteristic
417	C₄	—	4	4	no	—
418	C₄	—	4	4	no	—
419	C₄	—	4	4	no	—
420	C₄	—	4	4	no	—
421	C₄	—	8	2	no	—
422	C₄	—	8	4	no	—
423	C₄	—	8	2	no	—
424	C₄	C₄²×D₄	1	2	yes	—
425	C₄	#2359	1	2	yes	—
426	C₄	#2362	1	2	yes	—
427	C₄	#2367	1	2	yes	—
428	C₂	—	2	1	no	—
429	C₂	—	2	1	no	—
430	C₂	—	2	2	no	—
431	C₂	—	8	4	no	—
432	C₂	#13823	1	1	yes	characteristic
433	C₂	#22890	1	1	yes	characteristic
434	C₂	#22891	1	1	yes	characteristic
435	C₂	#23048	1	2	yes	—
436	C₂	#23049	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₄	C₂³
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20453	C₂	semidirect
7. #10899	C₂	semidirect
8. #10896	C₂	semidirect
9. #10707	C₂	semidirect
22. #1931	C₄	semidirect
23. #1856	C₄	semidirect
60. #428	C₂×C₄	semidirect
78. #405	C₂×C₄	semidirect
97. #343	C₂×C₄	semidirect
98. #341	C₂×C₄	semidirect
196. #100	C₄²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#1931	2
C₂×#1856	2
#20453	2
#20416	2
#10958	2
#10927	2
#10899	2
#10896	2
#10707	2