Subgroups — #357180

Order 512.

1874 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 355 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#1869	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×C₈×C₂²⋊C₄	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	C₄×#390	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#10921	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#10874	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₄×#336	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂⁴×C₈	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#390	C₄	1	2	yes	—
14	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#1869	C₄	1	16	yes	complemented
18	C₈×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
19	C₂×#336	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#336	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
24	#1437	C₄	1	4	yes	—
25	C₄⋊#95	C₄	1	2	yes	—
26	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
27	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
28	C₂³×C₈	—	2	8	no	—
29	C₂³×C₈	—	2	8	no	—
30	C₂³×C₈	—	4	2	no	—
31	C₂³×C₈	—	4	2	no	—
32	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
33	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
34	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
35	C₂×C₄×D₄	—	4	2	no	—
36	C₂×C₄×D₄	—	4	1	no	—
37	C₂×C₄×D₄	—	4	1	no	—
38	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
39	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
42	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
49	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
50	C₂×C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
51	C₂×C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
52	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
53	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
54	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
55	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
56	C₂×C₄×C₈	—	2	8	no	—
57	C₂×C₄×C₈	—	4	4	no	—
58	C₂×C₄×C₈	—	4	2	no	—
59	#390	C₈	1	16	yes	complemented
60	C₄×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
61	C₄×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
62	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
63	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
64	C₂×#95	C₂×C₄	1	8	yes	—
65	C₂×#95	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₄³	—	4	2	no	—
67	#336	—	2	8	no	—
68	#336	—	2	4	no	—
69	#336	—	4	2	no	—
70	#336	C₂×C₄	1	16	yes	—
71	#336	D₄	1	8	yes	complemented
72	C₂⁵	C₂²×C₄	1	2	yes	—
73	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
74	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
75	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
76	C₂²×D₄	C₄²	1	4	yes	—
77	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	8	yes	—
78	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
79	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
80	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
81	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
82	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
83	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
84	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
85	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
86	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
94	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
95	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
96	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
97	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
98	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
99	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
100	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
101	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
102	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
103	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	32	no	—
105	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
106	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
107	C₂²×C₈	—	4	16	no	—
108	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
109	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
110	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
111	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
112	C₂²×C₈	#41	1	8	yes	—
113	C₄×D₄	—	4	8	no	—
114	C₄×D₄	—	4	8	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	C₄²	1	4	yes	—
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	8	yes	complemented
121	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	C₄²	1	8	yes	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	32	yes	complemented
127	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
130	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
131	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
133	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
138	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
139	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
140	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	8	yes	complemented
141	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
142	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
143	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
144	C₂²⋊C₈	—	2	32	no	—
145	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
146	C₄×C₈	—	4	16	no	—
147	C₄×C₈	—	4	8	no	—
148	#95	—	2	16	no	—
149	#95	—	4	2	no	—
150	C₂⁴	—	2	4	no	—
151	C₂⁴	—	2	4	no	—
152	C₂⁴	—	2	2	no	—
153	C₂⁴	—	2	2	no	—
154	C₂⁴	—	2	8	no	—
155	C₂⁴	—	2	4	no	—
156	C₂⁴	C₂×C₄²	1	4	yes	—
157	C₂⁴	C₂²×C₈	1	8	yes	—
158	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂×D₄	—	4	4	no	—
160	C₂×D₄	—	4	4	no	—
161	C₂×D₄	—	4	8	no	—
162	C₂×D₄	—	4	8	no	—
163	C₂×D₄	C₄×C₈	1	16	yes	complemented
164	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
200	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂×C₄²	1	2	yes	—
203	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	8	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	8	yes	—
207	C₂²×C₄	#131	1	8	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
215	C₂×C₈	—	2	8	no	—
216	C₂×C₈	—	2	8	no	—
217	C₂×C₈	—	2	8	no	—
218	C₂×C₈	—	2	8	no	—
219	C₂×C₈	—	2	8	no	—
220	C₂×C₈	—	2	8	no	—
221	C₂×C₈	—	2	8	no	—
222	C₂×C₈	—	2	8	no	—
223	C₂×C₈	—	2	8	no	—
224	C₂×C₈	—	4	32	no	—
225	C₂×C₈	—	4	4	no	—
226	C₂×C₈	—	4	4	no	—
227	C₂×C₈	—	4	4	no	—
228	C₂×C₈	—	4	4	no	—
229	C₂×C₈	C₄×D₄	1	16	yes	—
230	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
231	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
232	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
233	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
234	C₄²	—	2	4	no	—
235	C₄²	—	2	4	no	—
236	C₄²	—	2	8	no	—
237	C₄²	—	2	8	no	—
238	C₄²	—	4	8	no	—
239	C₄²	—	4	8	no	—
240	C₄²	—	4	2	no	—
241	C₄²	—	4	4	no	—
242	C₄²	—	4	2	no	—
243	C₂³	—	2	4	no	—
244	C₂³	—	2	8	no	—
245	C₂³	—	2	16	no	—
246	C₂³	—	2	16	no	—
247	C₂³	—	2	8	no	—
248	C₂³	—	2	8	no	—
249	C₂³	—	2	8	no	—
250	C₂³	—	2	4	no	—
251	C₂³	—	4	4	no	—
252	C₂³	—	4	2	no	—
253	C₂³	—	4	2	no	—
254	C₂³	—	4	8	no	—
255	C₂³	—	4	8	no	—
256	C₂³	—	4	4	no	—
257	C₂³	—	4	4	no	—
258	C₂³	C₂×C₄×C₈	1	8	yes	—
259	C₂³	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
260	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
261	C₂³	C₄×#41	1	2	yes	—
262	C₂³	#518	1	1	yes	characteristic
263	C₂³	#518	1	1	yes	characteristic
264	C₂³	C₂³×C₈	1	2	yes	—
265	C₂³	C₂×#131	1	4	yes	—
266	C₂³	#568	1	2	yes	—
267	D₄	—	4	16	no	—
268	C₂×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂×C₄	—	2	8	no	—
270	C₂×C₄	—	2	8	no	—
271	C₂×C₄	—	2	8	no	—
272	C₂×C₄	—	2	8	no	—
273	C₂×C₄	—	2	8	no	—
274	C₂×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂×C₄	—	2	8	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	16	no	—
280	C₂×C₄	—	2	8	no	—
281	C₂×C₄	—	2	8	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	—	4	4	no	—
285	C₂×C₄	—	4	4	no	—
286	C₂×C₄	—	4	2	no	—
287	C₂×C₄	—	4	2	no	—
288	C₂×C₄	—	4	8	no	—
289	C₂×C₄	—	4	2	no	—
290	C₂×C₄	—	4	2	no	—
291	C₂×C₄	—	4	4	no	—
292	C₂×C₄	—	4	4	no	—
293	C₂×C₄	—	4	4	no	—
294	C₂×C₄	—	4	8	no	—
295	C₂×C₄	—	4	8	no	—
296	C₂×C₄	—	4	4	no	—
297	C₂×C₄	—	4	4	no	—
298	C₂×C₄	C₂×C₄×C₈	1	4	yes	—
299	C₂×C₄	C₈×D₄	1	16	yes	—
300	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
301	C₂×C₄	C₄×#41	1	4	yes	—
302	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
306	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	#551	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	#553	1	4	yes	—
309	C₂×C₄	#555	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	#559	1	1	yes	characteristic
311	C₈	—	2	16	no	—
312	C₈	—	4	8	no	—
313	C₂²	—	2	16	no	—
314	C₂²	—	2	8	no	—
315	C₂²	—	4	4	no	—
316	C₂²	—	4	8	no	—
317	C₂²	—	4	4	no	—
318	C₂²	—	4	16	no	—
319	C₂²	—	4	8	no	—
320	C₂²	—	4	8	no	—
321	C₂²	C₄²×D₄	1	2	yes	—
322	C₂²	#2273	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	#2364	1	2	yes	—
324	C₂²	#2366	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	#2372	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	C₂²×C₄×C₈	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	#2873	1	1	yes	characteristic
328	C₂²	C₄×#131	1	2	yes	—
329	C₂²	C₂×C₈×D₄	1	4	yes	—
330	C₂²	#2935	1	4	yes	—
331	C₂²	C₈×#41	1	4	yes	—
332	C₂²	#2968	1	4	yes	—
333	C₂²	#2972	1	2	yes	—
334	C₂²	#2972	1	2	yes	—
335	C₂²	#2977	1	2	yes	—
336	C₂²	#2979	1	2	yes	—
337	C₄	—	2	4	no	—
338	C₄	—	2	16	no	—
339	C₄	—	4	4	no	—
340	C₄	—	4	2	no	—
341	C₄	—	4	8	no	—
342	C₄	#2358	1	2	yes	—
343	C₄	#2363	1	4	yes	—
344	C₄	#2374	1	2	yes	—
345	C₂	—	4	8	no	—
346	C₂	#13824	1	1	yes	characteristic
347	C₂	C₄×C₈×D₄	1	2	yes	—
348	C₂	#20492	1	2	yes	—
349	C₂	#20523	1	1	yes	characteristic
350	C₂	#20530	1	1	yes	characteristic
351	C₂	#23116	1	4	yes	—
352	C₂	#23173	1	2	yes	—
353	C₂	#23269	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂²×C₄×C₈
socle	C₂⁴	C₂³×C₄
prime radical	C₂³×D₄	C₂×C₄
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×C₈×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
4. #10921	C₂	semidirect
5. #10874	C₂	semidirect
6. C₄×#336	C₂	semidirect
17. #1869	C₄	semidirect
59. #390	C₈	semidirect
71. #336	D₄	semidirect
120. C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	semidirect
126. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	semidirect
140. C₂×C₄²	C₂×C₈	semidirect
163. C₂×D₄	C₄×C₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#1869	2
C₂×C₈×C₂²⋊C₄	2
C₄×#390	2
#10921	2
#10874	2
C₄×#336	2