Subgroups — #357209

Order 512.

1288 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 299 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21199	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1884	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20422	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#10944	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#10893	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10707	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂×#568	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×#421	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂×#416	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂×#410	C₂²	1	2	yes	—
12	#2873	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#405	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#1961	C₄	1	2	yes	complemented
17	#1960	C₄	1	2	yes	complemented
18	#1959	C₄	1	4	yes	complemented
19	#1884	C₄	1	16	yes	complemented
20	#1765	—	2	8	no	—
21	#1764	—	2	8	no	—
22	#1740	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
24	#1735	C₂²	1	2	yes	—
25	#1733	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
28	#568	—	2	8	no	—
29	#568	—	4	2	no	—
30	#568	C₂×C₄	1	8	yes	—
31	C₂×#131	—	2	8	no	—
32	C₂²×M₁₆	—	4	2	no	—
33	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
34	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
35	#532	—	4	2	no	—
36	#532	C₂×C₄	1	8	yes	—
37	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₂×#121	—	4	1	no	—
41	C₂×C₄×D₄	—	4	1	no	—
42	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
43	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	#421	—	2	8	no	—
46	#421	C₂×C₄	1	16	yes	—
47	C₂×#104	—	2	8	no	—
48	#416	—	2	4	no	—
49	#416	—	2	4	no	—
50	#416	—	2	8	no	—
51	C₂×#103	C₂×C₄	1	8	yes	—
52	C₂×#102	C₂×C₄	1	8	yes	—
53	#410	—	4	2	no	—
54	#410	C₂×C₄	1	8	yes	—
55	C₂×#99	—	4	2	no	—
56	#405	—	2	8	no	—
57	#405	—	2	8	no	—
58	#405	—	4	4	no	—
59	C₄×M₁₆	—	4	2	no	—
60	C₂×#97	—	2	4	no	—
61	C₂×#97	—	4	2	no	—
62	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
65	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	#380	—	4	1	no	—
68	C₄×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
69	#342	—	4	2	no	—
70	#341	D₄	1	8	yes	complemented
71	#340	—	2	4	no	—
72	#339	—	2	8	no	—
73	#339	C₂×C₄	1	16	yes	—
74	C₂×#41	—	2	2	no	—
75	C₂×#41	—	2	2	no	—
76	C₂×#41	—	2	4	no	—
77	C₂×#41	—	2	4	no	—
78	C₂×#41	—	2	4	no	—
79	C₂×#41	—	2	4	no	—
80	C₂×#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
81	C₂×#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
82	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
83	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
84	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
85	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
86	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
87	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
88	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
89	#131	—	2	32	no	—
90	#131	—	4	16	no	—
91	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
92	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
93	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
94	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
95	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
96	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
97	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
98	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
99	C₂×M₁₆	#41	1	8	yes	—
100	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
101	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
102	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
103	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
104	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
105	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
106	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
107	C₄⋊Q₈	—	4	1	no	—
108	C₄⋊Q₈	C₄²	1	4	yes	—
109	#127	—	4	1	no	—
110	#127	C₄²	1	4	yes	—
111	#124	—	4	2	no	—
112	#124	C₄²	1	8	yes	—
113	#121	—	4	8	no	—
114	C₄×D₄	—	4	8	no	—
115	#117	—	2	4	no	—
116	#117	—	2	4	no	—
117	#117	—	2	4	no	—
118	#117	—	2	4	no	—
119	#117	—	2	4	no	—
120	#117	C₂²×C₄	1	8	yes	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
128	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
129	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
131	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
135	#104	—	2	32	no	—
136	#103	—	2	8	no	—
137	#103	—	2	8	no	—
138	#102	—	2	8	no	—
139	#102	—	2	8	no	—
140	#99	—	4	8	no	—
141	#97	—	4	2	no	—
142	#97	—	4	2	no	—
143	#97	—	4	8	no	—
144	#97	—	4	4	no	—
145	C₄×C₈	—	4	8	no	—
146	C₄×C₈	—	4	4	no	—
147	#95	—	4	2	no	—
148	C₂⁴	—	2	2	no	—
149	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
150	#41	—	2	8	no	—
151	#41	—	2	8	no	—
152	#41	—	2	8	no	—
153	#41	—	2	8	no	—
154	#41	—	4	4	no	—
155	#41	—	4	4	no	—
156	#41	—	4	4	no	—
157	#41	—	4	4	no	—
158	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
159	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
160	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
161	C₂×Q₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
162	C₂×D₄	—	2	4	no	—
163	C₂×D₄	—	2	4	no	—
164	C₂×D₄	—	2	4	no	—
165	C₂×D₄	—	2	4	no	—
166	C₂×D₄	—	2	2	no	—
167	C₂×D₄	—	4	4	no	—
168	C₂×D₄	—	4	4	no	—
169	C₂×D₄	—	4	4	no	—
170	C₂×D₄	—	8	4	no	—
171	C₂×D₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
172	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
180	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
185	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
187	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
189	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
190	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
191	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
192	M₁₆	—	2	8	no	—
193	M₁₆	—	2	8	no	—
194	M₁₆	—	2	8	no	—
195	M₁₆	—	4	16	no	—
196	M₁₆	C₄×D₄	1	16	yes	—
197	C₂×C₈	—	2	8	no	—
198	C₂×C₈	—	2	4	no	—
199	C₂×C₈	—	2	4	no	—
200	C₂×C₈	—	2	8	no	—
201	C₂×C₈	—	2	4	no	—
202	C₂×C₈	—	2	8	no	—
203	C₂×C₈	—	2	4	no	—
204	C₂×C₈	—	2	8	no	—
205	C₂×C₈	—	4	16	no	—
206	C₂×C₈	C₄×D₄	1	8	yes	—
207	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
208	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
209	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
210	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
211	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
212	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
213	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
214	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
215	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
216	C₄²	—	2	1	no	—
217	C₄²	—	2	1	no	—
218	C₄²	—	2	4	no	—
219	C₄²	—	2	8	no	—
220	C₄²	—	4	2	no	—
221	C₄²	—	4	4	no	—
222	C₄²	—	4	2	no	—
223	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
224	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
225	C₂³	—	2	4	no	—
226	C₂³	—	4	2	no	—
227	C₂³	—	4	2	no	—
228	C₂³	—	4	2	no	—
229	C₂³	—	8	4	no	—
230	C₂³	#518	1	1	yes	characteristic
231	C₂³	#518	1	2	yes	—
232	C₂³	#550	1	2	yes	—
233	C₂³	#555	1	2	yes	—
234	Q₈	—	2	8	no	—
235	Q₈	—	4	4	no	—
236	D₄	—	2	8	no	—
237	D₄	—	4	8	no	—
238	D₄	—	4	8	no	—
239	D₄	—	4	4	no	—
240	D₄	—	8	8	no	—
241	C₂×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂×C₄	—	4	2	no	—
245	C₂×C₄	—	4	2	no	—
246	C₂×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂×C₄	—	4	4	no	—
249	C₂×C₄	—	4	4	no	—
250	C₂×C₄	—	4	4	no	—
251	C₂×C₄	—	4	4	no	—
252	C₂×C₄	—	4	8	no	—
253	C₂×C₄	—	4	4	no	—
254	C₂×C₄	—	8	4	no	—
255	C₂×C₄	—	8	8	no	—
256	C₂×C₄	—	8	4	no	—
257	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
258	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
259	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
260	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
261	C₂×C₄	C₄×#41	1	4	yes	—
262	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
263	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
266	C₂×C₄	#551	1	2	yes	—
267	C₂×C₄	#553	1	4	yes	—
268	C₂×C₄	#559	1	1	yes	characteristic
269	C₈	—	2	16	no	—
270	C₈	—	2	8	no	—
271	C₂²	—	2	2	no	—
272	C₂²	—	2	4	no	—
273	C₂²	—	4	2	no	—
274	C₂²	—	4	2	no	—
275	C₂²	—	4	4	no	—
276	C₂²	—	8	4	no	—
277	C₂²	—	8	4	no	—
278	C₂²	—	16	2	no	—
279	C₂²	#2273	1	1	yes	characteristic
280	C₂²	#2363	1	4	yes	—
281	C₂²	#2366	1	1	yes	characteristic
282	C₂²	#2372	1	1	yes	characteristic
283	C₄	—	4	2	no	—
284	C₄	—	4	2	no	—
285	C₄	—	4	4	no	—
286	C₄	—	8	8	no	—
287	C₄	—	8	4	no	—
288	C₄	C₄²×D₄	1	2	yes	—
289	C₄	#2358	1	2	yes	—
290	C₄	#2364	1	2	yes	—
291	C₄	#2374	1	2	yes	—
292	C₂	—	2	1	no	—
293	C₂	—	2	4	no	—
294	C₂	—	2	1	no	—
295	C₂	—	8	4	no	—
296	C₂	#13824	1	1	yes	characteristic
297	C₂	#23197	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	D₄²
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	#2366
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20422	C₂	semidirect
4. #10944	C₂	semidirect
5. #10893	C₂	semidirect
6. #10707	C₂	semidirect
16. #1961	C₄	semidirect
17. #1960	C₄	semidirect
18. #1959	C₄	semidirect
19. #1884	C₄	semidirect
70. #341	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21199	2
C₂×#1884	2
#20422	2
#10944	2
#10893	2
#10707	2