Subgroups — #357369

Order 512.

1124 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 305 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21200	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1884	C₂	1	2	yes	maximal
3	#10954	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#10891	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#10825	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10784	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂×#568	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×#421	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂×#417	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂×#410	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#2274	C₂²	1	2	yes	—
15	#1959	C₄	1	4	yes	complemented
16	#1957	C₄	1	2	yes	complemented
17	#1956	C₄	1	2	yes	complemented
18	#1884	C₄	1	16	yes	complemented
19	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#343	C₂²	1	2	yes	—
21	#1736	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#338	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
26	#568	—	4	4	no	—
27	#568	—	4	2	no	—
28	#568	C₂×C₄	1	8	yes	—
29	C₂×#131	—	4	4	no	—
30	C₂²×M₁₆	—	4	2	no	—
31	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
32	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
33	#532	—	4	2	no	—
34	#532	C₂×C₄	1	8	yes	—
35	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂×#121	—	4	1	no	—
39	C₂×C₄×D₄	—	4	1	no	—
40	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
41	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
42	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	#421	—	4	4	no	—
45	#421	C₂×C₄	1	16	yes	—
46	C₂×#104	—	4	4	no	—
47	#417	—	4	4	no	—
48	#417	—	4	4	no	—
49	C₂×#103	C₂×C₄	1	8	yes	—
50	C₂×#102	C₂×C₄	1	8	yes	—
51	#410	—	4	2	no	—
52	#410	C₂×C₄	1	8	yes	—
53	C₂×#99	—	4	2	no	—
54	C₄×M₁₆	—	4	2	no	—
55	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	#384	—	4	1	no	—
58	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₄×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
61	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
62	#344	—	4	4	no	—
63	#343	—	4	2	no	—
64	#340	—	4	4	no	—
65	#339	C₂×C₄	1	16	yes	—
66	#338	—	4	2	no	—
67	H(3,ℤ/4)	—	4	2	no	—
68	C₂×#41	—	2	2	no	—
69	C₂×#41	—	2	2	no	—
70	C₂×#41	—	2	4	no	—
71	C₂×#41	—	2	4	no	—
72	C₂×#41	—	2	4	no	—
73	C₂×#41	—	2	4	no	—
74	C₂×#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
75	C₂×#41	C₂²×C₄	1	4	yes	—
76	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
77	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
78	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
79	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
80	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
81	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
82	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
83	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
84	#131	—	4	16	no	—
85	#131	—	4	16	no	—
86	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
87	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
88	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
89	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
90	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
91	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
92	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
93	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
94	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
95	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
96	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
97	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
98	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
99	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
100	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
101	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
102	C₄⋊Q₈	—	4	1	no	—
103	C₄⋊Q₈	C₄²	1	4	yes	complemented
104	#127	—	4	1	no	—
105	#127	C₄²	1	4	yes	complemented
106	#124	—	4	2	no	—
107	#124	C₄²	1	8	yes	complemented
108	#121	—	4	8	no	—
109	C₄×D₄	—	4	8	no	—
110	#117	—	2	4	no	—
111	#117	—	2	4	no	—
112	#117	—	2	4	no	—
113	#117	C₂²×C₄	1	8	yes	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
125	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
126	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
129	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
132	#104	—	4	16	no	—
133	#103	—	4	8	no	—
134	#102	—	4	8	no	—
135	#99	—	4	8	no	—
136	#97	—	4	2	no	—
137	C₄×C₈	—	4	2	no	—
138	#95	—	4	4	no	—
139	C₂⁴	—	2	2	no	—
140	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
141	#41	—	2	8	no	—
142	#41	—	2	8	no	—
143	#41	—	2	8	no	—
144	#41	—	2	8	no	—
145	#41	—	4	4	no	—
146	#41	—	4	4	no	—
147	#41	—	4	4	no	—
148	#41	—	4	4	no	—
149	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
150	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
151	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
152	C₂×Q₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
153	C₂×D₄	—	2	4	no	—
154	C₂×D₄	—	2	4	no	—
155	C₂×D₄	—	2	4	no	—
156	C₂×D₄	—	2	2	no	—
157	C₂×D₄	—	2	4	no	—
158	C₂×D₄	—	4	4	no	—
159	C₂×D₄	—	4	4	no	—
160	C₂×D₄	—	4	4	no	—
161	C₂×D₄	—	8	2	no	—
162	C₂×D₄	—	8	2	no	—
163	C₂×D₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
164	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
171	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
172	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
173	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
174	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
175	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
176	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
177	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
178	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
180	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
181	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
183	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
184	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
185	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
186	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
187	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
188	M₁₆	—	2	8	no	—
189	M₁₆	—	2	8	no	—
190	M₁₆	—	4	16	no	—
191	M₁₆	—	4	4	no	—
192	M₁₆	—	4	4	no	—
193	M₁₆	—	4	4	no	—
194	M₁₆	—	4	4	no	—
195	C₂×C₈	—	2	4	no	—
196	C₂×C₈	—	2	4	no	—
197	C₂×C₈	—	2	8	no	—
198	C₂×C₈	—	2	4	no	—
199	C₂×C₈	—	4	16	no	—
200	C₂×C₈	—	4	4	no	—
201	C₂×C₈	—	4	4	no	—
202	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
203	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
204	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
205	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
206	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
207	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
208	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
209	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
210	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
211	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
212	C₄²	—	2	1	no	—
213	C₄²	—	2	1	no	—
214	C₄²	—	2	4	no	—
215	C₄²	—	2	8	no	—
216	C₄²	—	4	4	no	—
217	C₄²	—	16	4	no	—
218	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
219	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
220	C₂³	—	2	4	no	—
221	C₂³	—	4	1	no	—
222	C₂³	—	4	1	no	—
223	C₂³	—	4	2	no	—
224	C₂³	—	4	2	no	—
225	C₂³	—	8	2	no	—
226	C₂³	—	8	2	no	—
227	C₂³	#518	1	1	yes	characteristic
228	C₂³	#518	1	2	yes	—
229	C₂³	#560	1	2	yes	—
230	C₂³	#562	1	2	yes	—
231	Q₈	—	2	8	no	—
232	Q₈	—	4	4	no	—
233	D₄	—	2	8	no	—
234	D₄	—	4	8	no	—
235	D₄	—	4	8	no	—
236	D₄	—	4	4	no	—
237	D₄	—	8	8	no	—
238	C₂×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂×C₄	—	4	8	no	—
244	C₂×C₄	—	4	1	no	—
245	C₂×C₄	—	4	1	no	—
246	C₂×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂×C₄	—	4	4	no	—
249	C₂×C₄	—	4	4	no	—
250	C₂×C₄	—	4	4	no	—
251	C₂×C₄	—	4	4	no	—
252	C₂×C₄	—	4	8	no	—
253	C₂×C₄	—	4	4	no	—
254	C₂×C₄	—	8	4	no	—
255	C₂×C₄	—	8	4	no	—
256	C₂×C₄	—	8	4	no	—
257	C₂×C₄	—	8	4	no	—
258	C₂×C₄	—	16	2	no	—
259	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
260	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
261	C₂×C₄	#518	1	4	yes	—
262	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
263	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
264	C₂×C₄	#520	1	4	yes	—
265	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
266	C₂×C₄	#560	1	2	yes	—
267	C₂×C₄	#560	1	4	yes	—
268	C₂×C₄	H(3,𝔽₄)	1	1	yes	characteristic
269	C₂×C₄	#562	1	4	yes	—
270	C₂×C₄	#563	1	1	yes	characteristic
271	C₈	—	4	8	no	—
272	C₈	—	4	4	no	—
273	C₂²	—	2	1	no	—
274	C₂²	—	2	2	no	—
275	C₂²	—	2	1	no	—
276	C₂²	—	2	2	no	—
277	C₂²	—	4	2	no	—
278	C₂²	—	4	2	no	—
279	C₂²	—	4	4	no	—
280	C₂²	—	8	4	no	—
281	C₂²	—	8	2	no	—
282	C₂²	—	8	2	no	—
283	C₂²	—	16	2	no	—
284	C₂²	#2273	1	1	yes	characteristic
285	C₂²	#2377	1	4	yes	—
286	C₂²	#2379	1	1	yes	characteristic
287	C₂²	#2380	1	1	yes	characteristic
288	C₄	—	2	4	no	—
289	C₄	—	4	2	no	—
290	C₄	—	4	4	no	—
291	C₄	—	8	8	no	—
292	C₄	—	8	4	no	—
293	C₄	#2275	1	2	yes	—
294	C₄	#2375	1	2	yes	—
295	C₄	#2376	1	2	yes	—
296	C₄	#2377	1	2	yes	—
297	C₂	—	2	1	no	—
298	C₂	—	2	4	no	—
299	C₂	—	2	1	no	—
300	C₂	—	8	4	no	—
301	C₂	#13832	1	1	yes	characteristic
302	C₂	#23360	1	1	yes	characteristic
303	C₂	#23361	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	#2380
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #10954	C₂	semidirect
4. #10891	C₂	semidirect
5. #10825	C₂	semidirect
6. #10784	C₂	semidirect
15. #1959	C₄	semidirect
16. #1957	C₄	semidirect
17. #1956	C₄	semidirect
18. #1884	C₄	semidirect
103. C₄⋊Q₈	C₄²	semidirect
105. #127	C₄²	semidirect
107. #124	C₄²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21200	2
C₂×#1884	2
#10954	2
#10891	2
#10825	2
#10784	2