Subgroups — #357372

Order 512.

1126 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 437 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21204	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1888	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1885	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#10953	C₂	1	2	yes	maximal
5	#10952	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#10893	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10825	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10786	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10785	C₂	1	2	yes	maximal
10	C₂²×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#519	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#518	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#419	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#419	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#418	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#418	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×#101	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×#100	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#2873	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#1959	C₄	1	4	yes	complemented
23	#1958	C₄	1	4	yes	complemented
24	#1888	C₄	1	8	yes	complemented
25	#1885	C₄	1	8	yes	complemented
26	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
28	#1740	C₂²	1	2	yes	—
29	#1733	C₂²	1	2	yes	—
30	#1733	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#338	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂³×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂×#124	—	4	1	no	—
41	C₂×#124	—	4	1	no	—
42	C₂×#124	—	4	1	no	—
43	C₂×#124	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂×#124	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	#519	—	4	2	no	—
48	#519	—	4	1	no	—
49	#519	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
50	#518	—	4	1	no	—
51	#518	—	4	2	no	—
52	#518	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₂×C₄×Q₈	—	4	2	no	—
54	C₂×C₄×D₄	—	4	2	no	—
55	C₂×#117	—	4	1	no	—
56	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂²×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
60	C₂²×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
61	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	#419	—	4	2	no	—
63	#419	—	4	2	no	—
64	#419	—	4	2	no	—
65	#419	C₂×C₄	1	8	yes	—
66	#418	—	4	2	no	—
67	#418	—	4	2	no	—
68	#418	—	4	2	no	—
69	#418	C₂×C₄	1	8	yes	—
70	C₂×#103	—	4	2	no	—
71	C₂×#103	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
72	C₂×#102	—	4	2	no	—
73	C₂×#102	C₂×C₄	1	8	yes	—
74	C₂×#101	—	4	1	no	—
75	C₂×#101	—	4	1	no	—
76	C₂×#101	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
77	C₂×#100	—	4	1	no	—
78	C₂×#100	—	4	1	no	—
79	C₂×#100	C₂×C₄	1	4	yes	—
80	#405	—	4	2	no	—
81	#405	—	4	2	no	—
82	C₄×M₁₆	—	4	1	no	—
83	C₄×M₁₆	—	4	1	no	—
84	C₄×M₁₆	—	4	2	no	—
85	C₂×#97	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
86	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
87	#384	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
88	#382	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
89	#380	—	4	1	no	—
90	C₄×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
91	#344	—	4	2	no	—
92	#344	—	4	2	no	—
93	#342	—	4	2	no	—
94	#339	—	4	2	no	—
95	#339	—	4	2	no	—
96	#339	C₂×C₄	1	8	yes	—
97	#339	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
98	#338	—	4	2	no	—
99	H(3,ℤ/4)	—	4	2	no	—
100	C₂⁵	—	2	1	no	—
101	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
102	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
103	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
104	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
105	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
106	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
107	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
108	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
109	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
110	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
111	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
120	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
121	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
122	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
123	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
124	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
125	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
141	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
142	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
143	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
146	#124	—	4	2	no	—
147	#124	—	4	2	no	—
148	#124	—	4	4	no	—
149	#124	—	4	4	no	—
150	#124	C₄²	1	8	yes	—
151	#124	C₄²	1	8	yes	—
152	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
153	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
154	C₄×D₄	—	4	8	no	—
155	C₄×D₄	—	4	8	no	—
156	#117	—	2	2	no	—
157	#117	—	2	2	no	—
158	#117	—	2	2	no	—
159	#117	—	2	2	no	—
160	#117	—	2	2	no	—
161	#117	—	2	2	no	—
162	#117	—	2	2	no	—
163	#117	—	2	2	no	—
164	#117	—	2	2	no	—
165	#117	—	2	2	no	—
166	#117	—	4	4	no	—
167	#117	—	4	4	no	—
168	#117	C₂²×C₄	1	4	yes	—
169	#117	C₂²×C₄	1	4	yes	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
185	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
192	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
193	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
194	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
196	#103	—	4	8	no	—
197	#103	—	4	8	no	—
198	#102	—	4	8	no	—
199	#102	—	4	8	no	—
200	#101	—	4	4	no	—
201	#100	—	4	4	no	—
202	#97	—	4	2	no	—
203	#97	—	4	4	no	—
204	C₄×C₈	—	4	2	no	—
205	C₄×C₈	—	4	4	no	—
206	#95	—	4	2	no	—
207	C₂⁴	—	2	2	no	—
208	C₂⁴	—	2	2	no	—
209	C₂⁴	—	2	2	no	—
210	C₂⁴	—	4	1	no	—
211	C₂⁴	—	4	1	no	—
212	C₂⁴	—	4	1	no	—
213	C₂⁴	—	4	1	no	—
214	C₂⁴	—	8	4	no	—
215	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
216	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
218	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
219	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
220	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
225	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
226	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
227	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
228	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
229	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
230	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
231	C₂×Q₈	C₂×C₄²	1	4	yes	—
232	C₂×D₄	—	2	4	no	—
233	C₂×D₄	—	2	4	no	—
234	C₂×D₄	—	2	4	no	—
235	C₂×D₄	—	2	2	no	—
236	C₂×D₄	—	2	2	no	—
237	C₂×D₄	—	2	2	no	—
238	C₂×D₄	—	2	4	no	—
239	C₂×D₄	—	2	4	no	—
240	C₂×D₄	—	2	4	no	—
241	C₂×D₄	—	4	2	no	—
242	C₂×D₄	—	4	2	no	—
243	C₂×D₄	—	4	2	no	—
244	C₂×D₄	—	4	2	no	—
245	C₂×D₄	—	4	2	no	—
246	C₂×D₄	—	4	2	no	—
247	C₂×D₄	C₂×C₄²	1	4	yes	—
248	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
263	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
264	C₂²×C₄	—	16	4	no	—
265	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
267	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
270	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
272	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
273	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
274	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
275	M₁₆	—	2	4	no	—
276	M₁₆	—	2	4	no	—
277	M₁₆	—	2	4	no	—
278	M₁₆	—	2	4	no	—
279	M₁₆	—	4	2	no	—
280	M₁₆	—	4	2	no	—
281	M₁₆	—	4	2	no	—
282	M₁₆	—	4	2	no	—
283	M₁₆	—	4	2	no	—
284	M₁₆	—	4	2	no	—
285	M₁₆	—	4	2	no	—
286	M₁₆	—	4	2	no	—
287	C₂×C₈	—	2	4	no	—
288	C₂×C₈	—	2	4	no	—
289	C₂×C₈	—	2	4	no	—
290	C₂×C₈	—	2	4	no	—
291	C₂×C₈	—	2	4	no	—
292	C₂×C₈	—	4	2	no	—
293	C₂×C₈	—	4	2	no	—
294	C₂×C₈	—	4	2	no	—
295	C₂×C₈	—	4	2	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
298	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
299	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
301	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
302	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
303	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
313	C₄²	—	2	1	no	—
314	C₄²	—	2	1	no	—
315	C₄²	—	2	2	no	—
316	C₄²	—	2	2	no	—
317	C₄²	—	2	4	no	—
318	C₄²	—	2	4	no	—
319	C₄²	—	4	8	no	—
320	C₄²	—	4	2	no	—
321	C₄²	—	4	2	no	—
322	C₄²	—	4	2	no	—
323	C₄²	—	4	2	no	—
324	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
325	C₄²	C₂×C₄²	1	2	yes	—
326	C₂³	—	2	4	no	—
327	C₂³	—	4	2	no	—
328	C₂³	—	4	2	no	—
329	C₂³	—	4	2	no	—
330	C₂³	—	4	2	no	—
331	C₂³	—	4	2	no	—
332	C₂³	—	4	2	no	—
333	C₂³	—	4	2	no	—
334	C₂³	—	8	4	no	—
335	C₂³	—	8	4	no	—
336	C₂³	—	8	4	no	—
337	C₂³	—	8	4	no	—
338	C₂³	—	16	2	no	—
339	C₂³	—	16	2	no	—
340	C₂³	—	16	2	no	—
341	C₂³	#518	1	1	yes	characteristic
342	C₂³	#518	1	1	yes	characteristic
343	C₂³	#518	1	1	yes	characteristic
344	C₂³	#560	1	1	yes	characteristic
345	C₂³	#560	1	1	yes	characteristic
346	C₂³	H(3,𝔽₄)	1	1	yes	characteristic
347	C₂³	#563	1	1	yes	characteristic
348	Q₈	—	2	8	no	—
349	Q₈	—	4	4	no	—
350	Q₈	—	4	4	no	—
351	Q₈	—	4	4	no	—
352	D₄	—	2	8	no	—
353	D₄	—	4	4	no	—
354	D₄	—	4	4	no	—
355	D₄	—	4	4	no	—
356	C₂×C₄	—	2	2	no	—
357	C₂×C₄	—	2	2	no	—
358	C₂×C₄	—	2	4	no	—
359	C₂×C₄	—	4	2	no	—
360	C₂×C₄	—	4	2	no	—
361	C₂×C₄	—	4	2	no	—
362	C₂×C₄	—	4	2	no	—
363	C₂×C₄	—	4	2	no	—
364	C₂×C₄	—	4	2	no	—
365	C₂×C₄	—	4	2	no	—
366	C₂×C₄	—	4	2	no	—
367	C₂×C₄	—	4	4	no	—
368	C₂×C₄	—	4	4	no	—
369	C₂×C₄	—	4	4	no	—
370	C₂×C₄	—	8	2	no	—
371	C₂×C₄	—	8	2	no	—
372	C₂×C₄	—	8	4	no	—
373	C₂×C₄	—	8	4	no	—
374	C₂×C₄	—	8	4	no	—
375	C₂×C₄	—	16	8	no	—
376	C₂×C₄	C₂²×C₄²	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
379	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
380	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
381	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
382	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
383	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
384	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
385	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
386	C₂×C₄	#560	1	2	yes	—
387	C₂×C₄	#560	1	2	yes	—
388	C₂×C₄	#560	1	2	yes	—
389	C₂×C₄	#562	1	2	yes	—
390	C₂×C₄	#562	1	2	yes	—
391	C₂×C₄	#562	1	2	yes	—
392	C₈	—	4	4	no	—
393	C₈	—	4	4	no	—
394	C₈	—	4	4	no	—
395	C₂²	—	2	2	no	—
396	C₂²	—	2	2	no	—
397	C₂²	—	2	2	no	—
398	C₂²	—	4	1	no	—
399	C₂²	—	4	1	no	—
400	C₂²	—	4	1	no	—
401	C₂²	—	4	1	no	—
402	C₂²	—	4	4	no	—
403	C₂²	—	8	4	no	—
404	C₂²	—	8	4	no	—
405	C₂²	—	8	4	no	—
406	C₂²	—	8	4	no	—
407	C₂²	—	16	2	no	—
408	C₂²	—	16	2	no	—
409	C₂²	—	16	2	no	—
410	C₂²	#2273	1	1	yes	characteristic
411	C₂²	#2375	1	1	yes	characteristic
412	C₂²	#2375	1	1	yes	characteristic
413	C₂²	#2376	1	1	yes	characteristic
414	C₂²	#2376	1	1	yes	characteristic
415	C₂²	#2379	1	1	yes	characteristic
416	C₂²	#2380	1	1	yes	characteristic
417	C₄	—	4	2	no	—
418	C₄	—	4	2	no	—
419	C₄	—	4	4	no	—
420	C₄	—	8	4	no	—
421	C₄	—	8	4	no	—
422	C₄	—	8	4	no	—
423	C₄	#2275	1	2	yes	—
424	C₄	#2377	1	2	yes	—
425	C₄	#2377	1	2	yes	—
426	C₄	#2377	1	2	yes	—
427	C₂	—	2	1	no	—
428	C₂	—	2	1	no	—
429	C₂	—	2	1	no	—
430	C₂	—	2	1	no	—
431	C₂	—	2	1	no	—
432	C₂	—	2	1	no	—
433	C₂	—	8	4	no	—
434	C₂	#13832	1	1	yes	characteristic
435	C₂	#23362	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	#2380
commutator	C₂×C₄	C₂²×C₄²
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₄	C₂³
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #10952	C₂	semidirect
6. #10893	C₂	semidirect
7. #10825	C₂	semidirect
8. #10786	C₂	semidirect
22. #1959	C₄	semidirect
23. #1958	C₄	semidirect
24. #1888	C₄	semidirect
25. #1885	C₄	semidirect
49. #519	C₂×C₄	semidirect
71. C₂×#103	C₂×C₄	semidirect
76. C₂×#101	C₂×C₄	semidirect
85. C₂×#97	C₂×C₄	semidirect
86. C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	semidirect
87. #384	C₂×C₄	semidirect
88. #382	C₂×C₄	semidirect
97. #339	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21204	2
C₂×#1888	2
C₂×#1885	2
#10953	2
#10952	2
#10893	2
#10825	2
#10786	2
#10785	2