Subgroups — #357417

Order 512.

4882 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 406 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#532	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#408	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂²×#336	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#10964	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	C₂³×#41	C₂²	1	2	yes	—
7	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂⁴×C₈	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#532	—	2	4	no	—
10	C₂×#532	—	2	4	no	—
11	C₂×#532	—	2	16	no	—
12	C₂²×C₄⋊Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#127	C₄	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#124	C₄	1	2	yes	—
15	C₂²×#121	C₄	1	4	yes	—
16	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#408	—	2	16	no	—
19	C₂×#408	—	2	16	no	—
20	C₂×#408	—	2	16	no	—
21	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	16	yes	—
22	#1728	—	2	4	no	—
23	C₂×#336	—	2	4	no	—
24	C₂×#336	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#336	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂²×#41	—	2	8	no	—
27	C₂²×#41	—	2	8	no	—
28	C₂²×#41	—	2	8	no	—
29	C₂²×#41	—	2	4	no	—
30	C₂²×#41	—	2	4	no	—
31	C₂²×#41	—	2	8	no	—
32	C₂²×#41	—	2	8	no	—
33	C₂²×#41	D₄	1	16	yes	—
34	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
35	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
36	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
38	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂⁴×C₄	C₂³	1	4	yes	—
40	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
42	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
43	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
44	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
45	C₂²×M₁₆	D₄	1	8	yes	complemented
46	C₂³×C₈	—	2	8	no	—
47	C₂³×C₈	—	2	8	no	—
48	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
49	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
50	C₂³×C₈	D₄	1	8	yes	complemented
51	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
53	#532	—	2	64	no	—
54	#532	—	2	64	no	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
57	C₂×#127	—	2	8	no	—
58	C₂×#127	—	2	4	no	—
59	C₂×#124	—	2	8	no	—
60	C₂×#124	—	2	8	no	—
61	C₂×#124	—	2	8	no	—
62	C₂×#121	—	2	32	no	—
63	C₂×#121	—	2	16	no	—
64	C₂×C₄×D₄	—	2	32	no	—
65	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
66	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
67	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
68	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
69	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
70	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
73	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
74	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
75	#408	—	2	128	no	—
76	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	32	no	—
77	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	32	no	—
78	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	32	no	—
79	#336	—	2	8	no	—
80	#336	—	2	8	no	—
81	C₂⁵	C₂²×C₄	1	4	yes	—
82	C₂⁵	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂×#41	—	2	32	no	—
84	C₂×#41	—	2	32	no	—
85	C₂×#41	—	2	32	no	—
86	C₂×#41	—	2	32	no	—
87	C₂×#41	—	2	32	no	—
88	C₂×#41	—	2	32	no	—
89	C₂×#41	—	4	16	no	—
90	C₂×#41	—	4	16	no	—
91	C₂×#41	—	4	16	no	—
92	C₂×#41	—	4	16	no	—
93	C₂×#41	—	4	16	no	—
94	C₂×#41	—	4	16	no	—
95	C₂×#41	—	4	8	no	—
96	C₂×#41	—	4	8	no	—
97	C₂×#41	—	4	8	no	—
98	C₂×#41	—	4	8	no	—
99	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
100	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
101	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
102	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
103	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
104	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
115	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
116	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
117	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
118	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
119	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
120	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
121	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
122	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
123	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
124	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
125	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
126	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
127	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
128	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
129	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
134	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
135	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
136	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
138	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
139	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
140	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
141	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
142	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
144	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
145	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
146	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
147	C₂²×C₈	—	2	32	no	—
148	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
149	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
150	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
151	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
152	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
153	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
154	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
155	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
156	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
157	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
158	C₂²×C₈	—	4	16	no	—
159	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
160	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
161	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
162	C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
163	#127	—	2	32	no	—
164	#124	—	2	64	no	—
165	#121	—	2	128	no	—
166	C₄×D₄	—	2	64	no	—
167	C₄×D₄	—	2	64	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
175	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
176	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
178	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
182	C₂²⋊C₈	—	2	128	no	—
183	C₂⁴	—	2	4	no	—
184	C₂⁴	—	2	4	no	—
185	C₂⁴	—	2	4	no	—
186	C₂⁴	—	2	4	no	—
187	C₂⁴	—	2	8	no	—
188	C₂⁴	—	2	8	no	—
189	C₂⁴	—	2	16	no	—
190	C₂⁴	—	2	16	no	—
191	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
192	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
193	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
194	C₂⁴	C₄×D₄	1	4	yes	—
195	C₂⁴	C₄×D₄	1	4	yes	—
196	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
197	#41	—	4	64	no	—
198	#41	—	4	64	no	—
199	#41	—	4	64	no	—
200	#41	—	4	64	no	—
201	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
202	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
203	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
204	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
205	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
206	C₂×D₄	—	2	32	no	—
207	C₂×D₄	—	2	32	no	—
208	C₂×D₄	—	2	64	no	—
209	C₂×D₄	—	2	16	no	—
210	C₂×D₄	—	2	32	no	—
211	C₂×D₄	—	4	64	no	—
212	C₂×D₄	—	4	16	no	—
213	C₂×D₄	—	4	32	no	—
214	C₂×D₄	—	4	16	no	—
215	C₂×D₄	—	4	16	no	—
216	C₂×D₄	—	4	16	no	—
217	C₂×D₄	—	4	8	no	—
218	C₂×D₄	—	4	8	no	—
219	C₂×D₄	—	4	16	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
249	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
255	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
256	C₂²×C₄	#120	1	8	yes	—
257	C₂²×C₄	#120	1	8	yes	—
258	C₂²×C₄	#120	1	16	yes	—
259	C₂²×C₄	#121	1	16	yes	—
260	C₂²×C₄	#121	1	16	yes	—
261	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
262	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
263	C₂²×C₄	#123	1	16	yes	—
264	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
265	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
266	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
267	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
268	C₂²×C₄	#131	1	8	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
274	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
275	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
276	M₁₆	—	4	32	no	—
277	C₂×C₈	—	2	16	no	—
278	C₂×C₈	—	2	16	no	—
279	C₂×C₈	—	2	8	no	—
280	C₂×C₈	—	2	8	no	—
281	C₂×C₈	—	4	4	no	—
282	C₂×C₈	—	4	4	no	—
283	C₂×C₈	—	4	8	no	—
284	C₂×C₈	—	4	8	no	—
285	C₂×C₈	—	4	4	no	—
286	C₂×C₈	—	4	4	no	—
287	C₂×C₈	—	4	32	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
290	C₄²	—	2	8	no	—
291	C₄²	—	2	8	no	—
292	C₄²	—	2	8	no	—
293	C₄²	—	2	8	no	—
294	C₂³	—	2	4	no	—
295	C₂³	—	2	4	no	—
296	C₂³	—	2	16	no	—
297	C₂³	—	2	8	no	—
298	C₂³	—	2	8	no	—
299	C₂³	—	2	16	no	—
300	C₂³	—	2	32	no	—
301	C₂³	—	2	8	no	—
302	C₂³	—	2	16	no	—
303	C₂³	—	4	8	no	—
304	C₂³	—	4	8	no	—
305	C₂³	—	4	16	no	—
306	C₂³	—	4	16	no	—
307	C₂³	—	4	16	no	—
308	C₂³	—	4	32	no	—
309	C₂³	—	4	8	no	—
310	C₂³	—	4	4	no	—
311	C₂³	—	4	4	no	—
312	C₂³	#379	1	4	yes	—
313	C₂³	#386	1	16	yes	—
314	C₂³	#390	1	4	yes	—
315	C₂³	#390	1	4	yes	—
316	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
317	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
318	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
319	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
320	C₂³	C₂×#131	1	4	yes	—
321	C₂³	#568	1	4	yes	—
322	Q₈	—	4	32	no	—
323	D₄	—	4	64	no	—
324	D₄	—	4	64	no	—
325	D₄	—	4	32	no	—
326	C₂×C₄	—	2	4	no	—
327	C₂×C₄	—	2	16	no	—
328	C₂×C₄	—	2	4	no	—
329	C₂×C₄	—	2	4	no	—
330	C₂×C₄	—	2	4	no	—
331	C₂×C₄	—	2	4	no	—
332	C₂×C₄	—	2	8	no	—
333	C₂×C₄	—	2	16	no	—
334	C₂×C₄	—	4	32	no	—
335	C₂×C₄	—	4	8	no	—
336	C₂×C₄	—	4	8	no	—
337	C₂×C₄	—	4	4	no	—
338	C₂×C₄	—	4	4	no	—
339	C₂×C₄	—	4	16	no	—
340	C₂×C₄	—	4	16	no	—
341	C₂×C₄	—	4	16	no	—
342	C₂×C₄	—	4	16	no	—
343	C₂×C₄	#379	1	4	yes	—
344	C₂×C₄	#386	1	16	yes	—
345	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
346	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
347	C₂×C₄	#392	1	16	yes	—
348	C₂×C₄	#392	1	16	yes	—
349	C₂×C₄	#394	1	16	yes	—
350	C₂×C₄	#394	1	16	yes	—
351	C₂×C₄	#408	1	8	yes	complemented
352	C₂×C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
353	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
356	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
357	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
360	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
363	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
364	C₈	—	4	8	no	—
365	C₈	—	4	8	no	—
366	C₂²	—	2	8	no	—
367	C₂²	—	2	32	no	—
368	C₂²	—	2	4	no	—
369	C₂²	—	2	4	no	—
370	C₂²	—	2	8	no	—
371	C₂²	—	4	8	no	—
372	C₂²	—	4	16	no	—
373	C₂²	—	4	32	no	—
374	C₂²	—	8	16	no	—
375	C₂²	—	8	4	no	—
376	C₂²	—	8	4	no	—
377	C₂²	—	8	8	no	—
378	C₂²	#1438	1	8	yes	—
379	C₂²	C₂×#379	1	1	yes	characteristic
380	C₂²	C₂×#386	1	4	yes	—
381	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
382	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
383	C₂²	C₂×#408	1	2	yes	—
384	C₂²	#2879	1	2	yes	—
385	C₂²	#2880	1	8	yes	—
386	C₂²	#2931	1	4	yes	—
387	C₂²	#2932	1	4	yes	—
388	C₂²	#2935	1	8	yes	—
389	C₄	—	2	8	no	—
390	C₄	—	4	8	no	—
391	C₄	—	4	4	no	—
392	C₄	#1438	1	8	yes	—
393	C₄	C₂×#392	1	2	yes	—
394	C₄	C₂×#392	1	2	yes	—
395	C₄	C₂×#394	1	2	yes	—
396	C₄	C₂×#394	1	2	yes	—
397	C₂	—	2	8	no	—
398	C₂	—	8	8	no	—
399	C₂	C₂×#1438	1	1	yes	characteristic
400	C₂	#20581	1	2	yes	—
401	C₂	#20900	1	8	yes	—
402	C₂	#21187	1	1	yes	characteristic
403	C₂	#21188	1	1	yes	characteristic
404	C₂	#21189	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
commutator, socle	C₂⁴	C₂³×C₄
prime radical	C₂²×#532	C₂
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×#408	C₂	semidirect
3. C₂×#1728	C₂	semidirect
4. C₂²×#336	C₂	semidirect
5. #10964	C₂	semidirect
45. C₂²×M₁₆	D₄	semidirect
50. C₂³×C₈	D₄	semidirect
351. C₂×C₄	#408	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#532	2
C₂²×#408	2
C₂×#1728	2
C₂²×#336	2
#10964	2