Subgroups — #357498

Order 512.

7578 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 370 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#418	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#13756	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#11008	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	C₂⁴×D₄	—	2	2	no	—
7	C₂⁴×D₄	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×#127	—	2	2	no	—
10	C₂²×#127	—	2	4	no	—
11	C₂²×#127	—	2	16	no	—
12	C₂²×#127	C₄	1	8	yes	complemented
13	C₂²×#127	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#418	—	2	16	no	—
17	C₂×#418	—	2	16	no	—
18	C₂×#418	—	2	16	no	—
19	C₂²×#102	C₂²	1	16	yes	complemented
20	#1728	—	2	4	no	—
21	C₂×#336	C₂²	1	4	yes	complemented
22	C₄⋊#95	C₂²	1	4	yes	complemented
23	C₂²⋊#95	—	2	2	no	—
24	C₄×#95	—	2	2	no	—
25	C₂⁶	—	2	2	no	—
26	C₂³×D₄	—	2	32	no	—
27	C₂³×D₄	—	2	16	no	—
28	C₂³×D₄	—	2	8	no	—
29	C₂³×D₄	—	2	8	no	—
30	C₂³×D₄	—	2	8	no	—
31	C₂³×D₄	—	2	8	no	—
32	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
33	C₂³×D₄	—	2	4	no	—
34	C₂³×D₄	—	2	8	no	—
35	C₂³×D₄	—	2	8	no	—
36	C₂³×D₄	—	4	32	no	—
37	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
38	C₂³×D₄	D₄	1	16	yes	—
39	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
40	C₂⁴×C₄	D₄	1	2	yes	—
41	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
43	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
44	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
45	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
46	C₂²×M₁₆	D₄	1	8	yes	complemented
47	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂×#127	—	2	64	no	—
49	C₂×#127	—	2	32	no	—
50	C₂×#127	—	2	64	no	—
51	C₂×#127	—	2	32	no	—
52	C₂×#127	—	2	16	no	—
53	C₂×#127	—	2	8	no	—
54	C₂×#127	C₂×C₄	1	16	yes	—
55	C₂×#117	—	2	4	no	—
56	C₂×#117	—	2	8	no	—
57	C₂×#117	—	2	8	no	—
58	C₂×#117	D₄	1	8	yes	complemented
59	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
61	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
62	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
63	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
65	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
66	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
67	#418	—	2	128	no	—
68	C₂×#102	—	2	32	no	—
69	C₂×#102	—	2	32	no	—
70	C₂×#102	—	2	32	no	—
71	C₂×#95	—	2	8	no	—
72	#336	—	2	8	no	—
73	C₂⁵	—	2	8	no	—
74	C₂⁵	—	2	16	no	—
75	C₂⁵	—	2	4	no	—
76	C₂⁵	—	4	32	no	—
77	C₂⁵	—	4	8	no	—
78	C₂⁵	—	4	4	no	—
79	C₂⁵	—	4	4	no	—
80	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×D₄	—	2	64	no	—
82	C₂²×D₄	—	2	128	no	—
83	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
84	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
85	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
86	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
87	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
88	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
89	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
90	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
91	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
92	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
93	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
94	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
95	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
96	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
97	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
98	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
99	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
100	C₂²×D₄	—	4	256	no	—
101	C₂²×D₄	—	4	32	no	—
102	C₂²×D₄	—	4	128	no	—
103	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
104	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
105	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
106	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
107	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
108	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
109	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
110	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
111	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
112	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
113	C₂²×D₄	—	4	32	no	—
114	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
115	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
116	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
117	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
118	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
119	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
120	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
123	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
124	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
126	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
127	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
128	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
129	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
131	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
133	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
134	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
135	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
140	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
141	#127	—	2	64	no	—
142	#127	—	2	128	no	—
143	#127	—	2	64	no	—
144	#117	—	2	32	no	—
145	#117	—	4	16	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
157	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
158	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
159	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
160	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
163	#102	—	2	128	no	—
164	#95	—	4	16	no	—
165	C₂⁴	—	2	8	no	—
166	C₂⁴	—	2	8	no	—
167	C₂⁴	—	2	16	no	—
168	C₂⁴	—	2	32	no	—
169	C₂⁴	—	4	64	no	—
170	C₂⁴	—	4	128	no	—
171	C₂⁴	—	4	8	no	—
172	C₂⁴	—	4	4	no	—
173	C₂⁴	—	4	4	no	—
174	C₂⁴	—	4	32	no	—
175	C₂⁴	—	4	16	no	—
176	C₂⁴	—	4	16	no	—
177	C₂⁴	—	4	32	no	—
178	C₂⁴	—	4	32	no	—
179	C₂⁴	—	8	32	no	—
180	C₂⁴	—	8	32	no	—
181	C₂⁴	—	8	64	no	—
182	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
183	C₂⁴	#120	1	4	yes	—
184	C₂⁴	#121	1	4	yes	—
185	C₂⁴	#124	1	2	yes	—
186	C₂⁴	#127	1	2	yes	—
187	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
188	C₂×D₄	—	2	128	no	—
189	C₂×D₄	—	2	8	no	—
190	C₂×D₄	—	2	16	no	—
191	C₂×D₄	—	2	16	no	—
192	C₂×D₄	—	2	16	no	—
193	C₂×D₄	—	2	16	no	—
194	C₂×D₄	—	2	16	no	—
195	C₂×D₄	—	2	16	no	—
196	C₂×D₄	—	2	16	no	—
197	C₂×D₄	—	2	32	no	—
198	C₂×D₄	—	2	128	no	—
199	C₂×D₄	—	4	512	no	—
200	C₂×D₄	—	4	64	no	—
201	C₂×D₄	—	4	256	no	—
202	C₂×D₄	—	4	8	no	—
203	C₂×D₄	—	4	8	no	—
204	C₂×D₄	—	4	8	no	—
205	C₂×D₄	—	4	8	no	—
206	C₂×D₄	—	4	8	no	—
207	C₂×D₄	—	4	4	no	—
208	C₂×D₄	—	4	4	no	—
209	C₂×D₄	—	4	64	no	—
210	C₂×D₄	—	4	16	no	—
211	C₂×D₄	—	4	16	no	—
212	C₂×D₄	—	4	64	no	—
213	C₂×D₄	—	4	32	no	—
214	C₂×D₄	—	4	64	no	—
215	C₂×D₄	—	4	32	no	—
216	C₂×D₄	—	4	64	no	—
217	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
218	C₂²×C₄	—	2	64	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
227	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
231	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
232	C₂²×C₄	#120	1	8	yes	—
233	C₂²×C₄	#120	1	16	yes	—
234	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
235	C₂²×C₄	#121	1	16	yes	—
236	C₂²×C₄	#121	1	16	yes	—
237	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
238	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
239	C₂²×C₄	#123	1	16	yes	—
240	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
241	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
243	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	16	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
252	M₁₆	—	4	32	no	—
253	C₂×C₈	—	2	16	no	—
254	C₂×C₈	—	2	8	no	—
255	C₂×C₈	—	4	4	no	—
256	C₂×C₈	—	4	8	no	—
257	C₂×C₈	—	4	4	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
261	C₄²	—	2	8	no	—
262	C₄²	—	2	8	no	—
263	C₄²	—	2	16	no	—
264	C₄²	—	4	16	no	—
265	C₂³	—	2	8	no	—
266	C₂³	—	2	8	no	—
267	C₂³	—	2	8	no	—
268	C₂³	—	2	16	no	—
269	C₂³	—	2	16	no	—
270	C₂³	—	2	16	no	—
271	C₂³	—	4	128	no	—
272	C₂³	—	4	32	no	—
273	C₂³	—	4	16	no	—
274	C₂³	—	4	16	no	—
275	C₂³	—	4	64	no	—
276	C₂³	—	4	64	no	—
277	C₂³	—	4	8	no	—
278	C₂³	—	4	8	no	—
279	C₂³	—	8	64	no	—
280	C₂³	—	8	128	no	—
281	C₂³	—	8	128	no	—
282	C₂³	—	8	64	no	—
283	C₂³	—	8	16	no	—
284	C₂³	—	8	16	no	—
285	C₂³	—	8	32	no	—
286	C₂³	#379	1	4	yes	—
287	C₂³	#390	1	4	yes	—
288	C₂³	#390	1	4	yes	—
289	C₂³	#392	1	8	yes	—
290	C₂³	#394	1	8	yes	—
291	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
292	C₂³	C₂×#120	1	2	yes	—
293	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
294	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
295	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
296	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
297	D₄	—	2	32	no	—
298	D₄	—	4	256	no	—
299	D₄	—	4	16	no	—
300	D₄	—	4	16	no	—
301	D₄	—	4	64	no	—
302	D₄	—	4	16	no	—
303	C₂×C₄	—	2	64	no	—
304	C₂×C₄	—	2	8	no	—
305	C₂×C₄	—	2	32	no	—
306	C₂×C₄	—	2	8	no	—
307	C₂×C₄	—	4	8	no	—
308	C₂×C₄	—	4	16	no	—
309	C₂×C₄	—	8	8	no	—
310	C₂×C₄	—	8	8	no	—
311	C₂×C₄	#379	1	4	yes	—
312	C₂×C₄	#386	1	32	yes	—
313	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
314	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
315	C₂×C₄	#392	1	16	yes	—
316	C₂×C₄	#392	1	8	yes	—
317	C₂×C₄	#394	1	16	yes	—
318	C₂×C₄	#394	1	8	yes	—
319	C₂×C₄	#418	1	16	yes	complemented
320	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
328	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
331	C₈	—	4	8	no	—
332	C₂²	—	2	8	no	—
333	C₂²	—	2	8	no	—
334	C₂²	—	2	16	no	—
335	C₂²	—	2	16	no	—
336	C₂²	—	2	8	no	—
337	C₂²	—	4	16	no	—
338	C₂²	—	4	32	no	—
339	C₂²	—	8	128	no	—
340	C₂²	—	8	16	no	—
341	C₂²	—	8	32	no	—
342	C₂²	—	8	32	no	—
343	C₂²	—	8	16	no	—
344	C₂²	#1438	1	8	yes	—
345	C₂²	C₂×#379	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	C₂×#392	1	2	yes	—
349	C₂²	C₂×#394	1	2	yes	—
350	C₂²	C₂×#418	1	4	yes	—
351	C₂²	#3003	1	8	yes	—
352	C₂²	#3038	1	8	yes	—
353	C₂²	#3138	1	4	yes	—
354	C₂²	#3151	1	4	yes	—
355	C₄	—	2	16	no	—
356	C₄	—	8	8	no	—
357	C₄	#1438	1	8	yes	—
358	C₄	C₂×#386	1	4	yes	—
359	C₄	C₂×#392	1	2	yes	—
360	C₄	C₂×#394	1	2	yes	—
361	C₂	—	2	8	no	—
362	C₂	—	8	16	no	—
363	C₂	C₂×#1438	1	1	yes	characteristic
364	C₂	#20598	1	2	yes	—
365	C₂	#21203	1	2	yes	—
366	C₂	#21260	1	2	yes	—
367	C₂	#23430	1	4	yes	—
368	C₂	#23505	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂³×#127	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×#418	C₂	semidirect
3. C₂×#1728	C₂	semidirect
4. #13756	C₂	semidirect
5. #11008	C₂	semidirect
12. C₂²×#127	C₄	semidirect
19. C₂²×#102	C₂²	semidirect
21. C₂×#336	C₂²	semidirect
22. C₄⋊#95	C₂²	semidirect
46. C₂²×M₁₆	D₄	semidirect
58. C₂×#117	D₄	semidirect
140. C₂²×C₈	C₂×D₄	semidirect
149. C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	semidirect
319. C₂×C₄	#418	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×#127	2
C₂²×#418	2
C₂×#1728	2
#13756	2
#11008	2