Subgroups — #357856

Order 512.

2530 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 339 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#413	C₂	1	2	yes	maximal
2	#34044	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂²×#344	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#11168	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#11167	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₂³×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
7	C₂³×M₁₆	C₂²	1	4	yes	—
8	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#413	—	2	4	no	—
10	C₂×#413	—	2	4	no	—
11	C₂×#413	—	2	16	no	—
12	C₂²×#101	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂²×#100	C₂²	1	4	yes	—
14	#2311	—	2	4	no	—
15	#2310	C₂²	1	2	yes	—
16	#2309	C₂²	1	2	yes	—
17	#2308	C₄	1	4	yes	—
18	#2297	—	2	4	no	—
19	#2280	C₄	1	4	yes	—
20	C₂×#344	—	2	16	no	—
21	C₂×#344	C₂²	1	16	yes	—
22	C₂²×#41	—	2	8	no	—
23	C₂²×#41	—	2	4	no	—
24	C₂²×#41	—	2	4	no	—
25	C₂²×#41	—	2	8	no	—
26	C₂²×#41	D₄	1	4	yes	—
27	C₂²×#41	D₄	1	4	yes	—
28	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
29	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
30	C₂³×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
31	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
32	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
34	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
35	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
36	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
37	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
38	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
39	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
40	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
41	C₂²×M₁₆	D₄	1	16	yes	—
42	C₂²×M₁₆	C₂³	1	8	yes	—
43	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
44	C₂×#117	—	2	2	no	—
45	C₂×#117	—	2	2	no	—
46	C₂×#117	—	2	8	no	—
47	C₂×#117	—	2	8	no	—
48	C₂×#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
51	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
53	#413	—	2	32	no	—
54	#413	—	2	32	no	—
55	C₂×#101	—	2	8	no	—
56	C₂×#101	—	2	16	no	—
57	C₂×#100	—	2	8	no	—
58	C₂×#100	—	2	16	no	—
59	#391	—	2	8	no	—
60	#390	—	2	8	no	—
61	#386	—	2	16	no	—
62	#381	C₂×C₄	1	8	yes	—
63	#380	—	2	8	no	—
64	#379	C₂×C₄	1	8	yes	—
65	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
66	#344	—	2	32	no	—
67	C₂⁵	C₂²×C₄	1	2	yes	—
68	C₂⁵	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×#41	—	2	8	no	—
70	C₂×#41	—	2	8	no	—
71	C₂×#41	—	2	16	no	—
72	C₂×#41	—	2	16	no	—
73	C₂×#41	—	2	8	no	—
74	C₂×#41	—	2	8	no	—
75	C₂×#41	—	2	8	no	—
76	C₂×#41	—	2	8	no	—
77	C₂×#41	—	2	8	no	—
78	C₂×#41	—	2	8	no	—
79	C₂×#41	—	4	8	no	—
80	C₂×#41	—	4	8	no	—
81	C₂×#41	—	4	8	no	—
82	C₂×#41	—	4	8	no	—
83	C₂×#41	—	4	8	no	—
84	C₂×#41	—	4	8	no	—
85	C₂×#41	—	4	8	no	—
86	C₂×#41	—	4	8	no	—
87	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
88	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
89	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
90	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
91	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
92	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
93	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
94	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
95	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
96	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
97	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
98	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
99	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
100	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
101	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
102	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
104	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
105	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
107	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
108	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
109	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
110	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
111	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
112	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
113	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
123	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
124	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
125	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
126	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
127	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
128	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
129	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
130	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	16	yes	—
131	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
133	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
134	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
135	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
136	#117	—	2	16	no	—
137	#117	—	2	8	no	—
138	#117	—	2	8	no	—
139	#117	—	4	4	no	—
140	#117	—	4	8	no	—
141	#117	—	4	4	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
149	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
151	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
152	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
153	#101	—	2	32	no	—
154	#100	—	2	32	no	—
155	#95	—	2	16	no	—
156	C₂⁴	—	2	4	no	—
157	C₂⁴	—	2	8	no	—
158	C₂⁴	—	8	2	no	—
159	C₂⁴	—	8	4	no	—
160	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
161	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
162	C₂⁴	#117	1	4	yes	—
163	C₂⁴	C₄×D₄	1	8	yes	—
164	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
165	#41	—	4	16	no	—
166	#41	—	4	16	no	—
167	#41	—	4	16	no	—
168	#41	—	4	16	no	—
169	#41	—	4	16	no	—
170	#41	—	4	16	no	—
171	#41	—	4	16	no	—
172	#41	—	4	16	no	—
173	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
174	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
175	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
176	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
177	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
178	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
179	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
180	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
181	C₂×D₄	—	2	16	no	—
182	C₂×D₄	—	2	16	no	—
183	C₂×D₄	—	2	16	no	—
184	C₂×D₄	—	2	4	no	—
185	C₂×D₄	—	2	8	no	—
186	C₂×D₄	—	2	8	no	—
187	C₂×D₄	—	2	4	no	—
188	C₂×D₄	—	4	16	no	—
189	C₂×D₄	—	4	16	no	—
190	C₂×D₄	—	4	4	no	—
191	C₂×D₄	—	4	4	no	—
192	C₂×D₄	—	4	4	no	—
193	C₂×D₄	—	4	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
205	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
206	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
212	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
213	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
214	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
215	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
216	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
217	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
218	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
219	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
220	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
221	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
223	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
224	C₂²×C₄	#123	1	8	yes	—
225	C₂²×C₄	#123	1	8	yes	—
226	C₂²×C₄	#124	1	8	yes	—
227	C₂²×C₄	#124	1	8	yes	—
228	C₂²×C₄	#126	1	8	yes	—
229	C₂²×C₄	#126	1	8	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
234	M₁₆	—	2	16	no	—
235	M₁₆	—	2	16	no	—
236	M₁₆	—	4	8	no	—
237	M₁₆	—	4	8	no	—
238	M₁₆	—	4	16	no	—
239	M₁₆	—	4	16	no	—
240	C₂×C₈	—	2	16	no	—
241	C₂×C₈	—	4	8	no	—
242	C₂×C₈	—	4	8	no	—
243	C₂×C₈	—	4	16	no	—
244	C₂×C₈	—	4	16	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
250	C₄²	—	4	4	no	—
251	C₄²	—	4	4	no	—
252	C₄²	—	4	8	no	—
253	C₂³	—	2	4	no	—
254	C₂³	—	2	8	no	—
255	C₂³	—	4	4	no	—
256	C₂³	—	4	2	no	—
257	C₂³	—	4	8	no	—
258	C₂³	—	4	8	no	—
259	C₂³	—	4	8	no	—
260	C₂³	—	8	8	no	—
261	C₂³	—	8	8	no	—
262	C₂³	—	8	16	no	—
263	C₂³	#381	1	4	yes	—
264	C₂³	#386	1	4	yes	—
265	C₂³	#386	1	4	yes	—
266	C₂³	#388	1	8	yes	—
267	C₂³	#388	1	8	yes	—
268	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂³	C₂×#117	1	2	yes	—
270	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
271	Q₈	—	4	8	no	—
272	Q₈	—	4	8	no	—
273	D₄	—	4	32	no	—
274	D₄	—	4	8	no	—
275	D₄	—	4	8	no	—
276	C₂×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂×C₄	—	2	8	no	—
278	C₂×C₄	—	4	8	no	—
279	C₂×C₄	—	4	8	no	—
280	C₂×C₄	—	4	16	no	—
281	C₂×C₄	—	4	8	no	—
282	C₂×C₄	—	4	16	no	—
283	C₂×C₄	—	4	8	no	—
284	C₂×C₄	—	8	16	no	—
285	C₂×C₄	#381	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	#381	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₄	#381	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₄	#386	1	4	yes	—
289	C₂×C₄	#386	1	4	yes	—
290	C₂×C₄	#388	1	8	yes	—
291	C₂×C₄	#388	1	8	yes	—
292	C₂×C₄	#394	1	8	yes	—
293	C₂×C₄	#394	1	8	yes	—
294	C₂×C₄	#394	1	8	yes	—
295	C₂×C₄	#394	1	8	yes	—
296	C₂×C₄	#397	1	8	yes	—
297	C₂×C₄	#397	1	8	yes	—
298	C₂×C₄	#397	1	8	yes	—
299	C₂×C₄	#397	1	8	yes	—
300	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
302	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
303	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
304	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
305	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	C₂×#124	1	4	yes	—
307	C₂×C₄	C₂×#126	1	4	yes	—
308	C₈	—	4	16	no	—
309	C₂²	—	2	2	no	—
310	C₂²	—	2	4	no	—
311	C₂²	—	2	8	no	—
312	C₂²	—	4	4	no	—
313	C₂²	—	4	4	no	—
314	C₂²	—	4	4	no	—
315	C₂²	—	4	8	no	—
316	C₂²	—	4	8	no	—
317	C₂²	—	4	4	no	—
318	C₂²	—	4	8	no	—
319	C₂²	—	8	8	no	—
320	C₂²	—	8	16	no	—
321	C₂²	#1440	1	8	yes	—
322	C₂²	C₂×#381	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	C₂×#386	1	2	yes	—
324	C₂²	C₂×#388	1	4	yes	—
325	C₄	—	4	4	no	—
326	C₄	—	8	8	no	—
327	C₄	#1440	1	2	yes	—
328	C₄	#1440	1	4	yes	—
329	C₄	#1440	1	2	yes	—
330	C₄	C₂×#394	1	4	yes	—
331	C₄	C₂×#397	1	4	yes	—
332	C₂	—	2	2	no	—
333	C₂	—	2	4	no	—
334	C₂	—	2	8	no	—
335	C₂	—	8	4	no	—
336	C₂	C₂×#1440	1	1	yes	characteristic
337	C₂	#20713	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	#381
commutator	C₂⁴	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#381
prime radical	C₂³×#41	C₂²
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂⁴×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂²×#344	C₂	semidirect
4. #11168	C₂	semidirect
5. #11167	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#413	2
#34044	2
C₂²×#344	2
#11168	2
#11167	2