Subgroups — #357995

Order 512.

2534 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 404 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2296	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#384	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1736	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1736	C₂	1	2	yes	maximal
5	C₂×#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11207	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂³×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
11	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#2296	—	2	4	no	—
14	#2296	C₄	1	8	yes	complemented
15	C₂×#389	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#385	—	2	2	no	—
17	C₂×#384	—	2	2	no	—
18	C₂×#384	—	2	8	no	—
19	C₂×#384	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
21	#1736	—	2	8	no	—
22	#1736	—	2	8	no	—
23	C₂×#340	C₂²	1	8	yes	—
24	C₂×#340	C₂²	1	8	yes	—
25	#1728	—	2	4	no	—
26	C₂×#336	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
28	C₂⁴×C₄	D₄	1	2	yes	—
29	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
31	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
32	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
33	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
34	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
35	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
36	C₂²×M₁₆	Q₈	1	8	yes	—
37	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
38	C₂×#117	—	2	2	no	—
39	C₂×#117	—	2	2	no	—
40	C₂×#117	—	2	2	no	—
41	C₂×#117	—	2	2	no	—
42	C₂×#117	—	2	4	no	—
43	C₂×#117	—	2	4	no	—
44	C₂×#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₂×#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂×#117	D₄	1	4	yes	—
47	C₂×#117	Q₈	1	4	yes	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
49	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
50	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
51	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
52	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
53	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
54	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
55	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
57	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
58	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	8	yes	—
59	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
63	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
64	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
65	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
66	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
67	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
68	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
69	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
70	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
71	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
72	#389	—	2	8	no	—
73	#389	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
74	#385	—	2	16	no	—
75	#384	—	2	16	no	—
76	#384	—	2	16	no	—
77	C₄×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
78	C₂×#95	—	2	4	no	—
79	#340	—	2	16	no	—
80	#340	—	2	16	no	—
81	#336	—	2	8	no	—
82	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
84	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
85	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
86	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
87	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
88	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
89	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
90	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
91	C₂³×C₄	—	4	16	no	—
92	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
93	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
94	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
96	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
97	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
100	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
103	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
104	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
105	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
106	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
107	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
108	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
109	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
110	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
111	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
112	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
113	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
114	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
121	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
122	#117	—	2	8	no	—
123	#117	—	2	8	no	—
124	#117	—	2	8	no	—
125	#117	—	2	16	no	—
126	#117	—	4	8	no	—
127	#117	C₄⋊C₄	1	16	yes	complemented
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	4	64	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
154	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
155	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
156	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
157	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
174	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
175	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
176	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
179	#95	—	2	16	no	—
180	C₂⁴	—	2	4	no	—
181	C₂⁴	—	2	4	no	—
182	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
183	C₂⁴	#120	1	2	yes	—
184	C₂⁴	#121	1	2	yes	—
185	C₂⁴	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
186	C₂⁴	#123	1	2	yes	—
187	C₂⁴	#124	1	2	yes	—
188	C₂⁴	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
189	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
215	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
216	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
217	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
220	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
221	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
222	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	8	yes	—
223	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
225	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
226	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
227	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	#123	1	8	yes	—
234	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	#125	1	8	yes	—
237	C₂²×C₄	#125	1	8	yes	—
238	C₂²×C₄	#126	1	8	yes	—
239	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
240	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
242	C₂²×C₄	#137	1	8	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
253	M₁₆	—	4	32	no	—
254	C₂×C₈	—	2	8	no	—
255	C₂×C₈	—	2	8	no	—
256	C₂×C₈	—	2	8	no	—
257	C₂×C₈	—	4	4	no	—
258	C₂×C₈	—	4	4	no	—
259	C₂×C₈	—	4	4	no	—
260	C₂×C₈	—	4	4	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
262	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	64	no	—
268	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
273	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	complemented
274	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
276	C₄²	—	2	8	no	—
277	C₄²	—	2	8	no	—
278	C₄²	—	2	16	no	—
279	C₄²	—	2	16	no	—
280	C₄²	—	4	8	no	—
281	C₂³	—	2	8	no	—
282	C₂³	—	2	8	no	—
283	C₂³	—	2	4	no	—
284	C₂³	—	2	4	no	—
285	C₂³	—	2	8	no	—
286	C₂³	—	2	8	no	—
287	C₂³	—	2	4	no	—
288	C₂³	—	2	4	no	—
289	C₂³	—	2	4	no	—
290	C₂³	—	2	4	no	—
291	C₂³	#380	1	4	yes	—
292	C₂³	#386	1	4	yes	—
293	C₂³	#391	1	4	yes	—
294	C₂³	#394	1	4	yes	—
295	C₂³	#395	1	4	yes	—
296	C₂³	#398	1	4	yes	—
297	C₂³	#400	1	4	yes	—
298	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
299	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
300	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
301	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
302	C₂³	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
303	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
304	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
305	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
306	C₂³	C₂×#137	1	4	yes	—
307	C₂×C₄	—	2	64	no	—
308	C₂×C₄	—	2	8	no	—
309	C₂×C₄	—	2	8	no	—
310	C₂×C₄	—	2	8	no	—
311	C₂×C₄	—	2	8	no	—
312	C₂×C₄	—	2	8	no	—
313	C₂×C₄	—	2	8	no	—
314	C₂×C₄	—	2	8	no	—
315	C₂×C₄	—	4	8	no	—
316	C₂×C₄	—	4	8	no	—
317	C₂×C₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	—	4	4	no	—
319	C₂×C₄	—	4	8	no	—
320	C₂×C₄	—	4	8	no	—
321	C₂×C₄	—	4	16	no	—
322	C₂×C₄	—	4	4	no	—
323	C₂×C₄	—	8	32	no	—
324	C₂×C₄	—	8	4	no	—
325	C₂×C₄	—	8	8	no	—
326	C₂×C₄	—	8	2	no	—
327	C₂×C₄	—	8	2	no	—
328	C₂×C₄	—	8	8	no	—
329	C₂×C₄	#380	1	4	yes	—
330	C₂×C₄	#386	1	4	yes	—
331	C₂×C₄	#387	1	16	yes	—
332	C₂×C₄	#389	1	16	yes	—
333	C₂×C₄	#391	1	4	yes	—
334	C₂×C₄	#394	1	4	yes	—
335	C₂×C₄	#395	1	4	yes	—
336	C₂×C₄	#396	1	16	yes	—
337	C₂×C₄	#398	1	16	yes	—
338	C₂×C₄	#398	1	4	yes	—
339	C₂×C₄	#400	1	4	yes	—
340	C₂×C₄	#417	1	16	yes	—
341	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	C₂×#125	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	C₂×#125	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	C₂×#126	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
357	C₈	—	4	8	no	—
358	C₂²	—	2	8	no	—
359	C₂²	—	2	8	no	—
360	C₂²	—	2	8	no	—
361	C₂²	—	2	8	no	—
362	C₂²	—	2	8	no	—
363	C₂²	—	2	8	no	—
364	C₂²	—	2	4	no	—
365	C₂²	—	2	4	no	—
366	C₂²	#1441	1	8	yes	—
367	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
369	C₂²	C₂×#391	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
371	C₂²	C₂×#395	1	1	yes	characteristic
372	C₂²	C₂×#398	1	1	yes	characteristic
373	C₂²	C₂×#400	1	1	yes	characteristic
374	C₂²	C₂×#417	1	4	yes	—
375	C₂²	#3003	1	2	yes	—
376	C₂²	#3004	1	2	yes	—
377	C₂²	#3038	1	2	yes	—
378	C₂²	#3039	1	2	yes	—
379	C₂²	#3079	1	4	yes	—
380	C₂²	#3092	1	4	yes	—
381	C₂²	#3138	1	2	yes	—
382	C₂²	#3139	1	2	yes	—
383	C₂²	#3165	1	4	yes	—
384	C₄	—	2	16	no	—
385	C₄	—	4	8	no	—
386	C₄	—	8	4	no	—
387	C₄	—	8	8	no	—
388	C₄	#1441	1	8	yes	—
389	C₄	C₂×#387	1	2	yes	—
390	C₄	C₂×#389	1	2	yes	—
391	C₄	C₂×#396	1	2	yes	—
392	C₄	C₂×#398	1	2	yes	—
393	C₂	—	2	8	no	—
394	C₂	C₂×#1441	1	1	yes	characteristic
395	C₂	#20648	1	2	yes	—
396	C₂	#20909	1	2	yes	—
397	C₂	#21322	1	2	yes	—
398	C₂	#23505	1	1	yes	characteristic
399	C₂	#23507	1	1	yes	characteristic
400	C₂	#23552	1	2	yes	—
401	C₂	#23658	1	2	yes	—
402	C₂	#23745	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁵	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
6. #11207	C₂	semidirect
14. #2296	C₄	semidirect
73. #389	C₂×C₄	semidirect
127. #117	C₄⋊C₄	semidirect
273. C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2296	2
C₂²×#384	2
C₂×#1736	2
C₂×#1728	2
#11207	2