Subgroups — #358043

Order 512.

1786 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 375 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×#108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#424	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1738	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂²×#341	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#20335	C₂	1	2	yes	maximal
6	#11233	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂³×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#108	—	2	8	no	—
13	C₂²×#108	—	2	4	no	—
14	C₂²×#108	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#424	—	2	4	no	—
16	C₂×#424	—	2	4	no	—
17	C₂×#424	C₄	1	4	yes	—
18	C₂×#424	C₄	1	4	yes	—
19	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
20	#1738	—	2	8	no	—
21	C₂×#341	—	2	4	no	—
22	C₂×#341	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#341	C₂²	1	8	yes	—
24	#1729	—	2	4	no	—
25	#1729	—	2	4	no	—
26	#1728	C₂²	1	8	yes	—
27	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
29	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
30	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
31	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
32	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
33	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
34	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
35	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
36	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
37	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
38	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
39	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
40	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
41	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
42	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
43	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
44	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂²×M₁₆	D₄	1	8	yes	—
47	C₂²×M₁₆	Q₈	1	8	yes	—
48	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
51	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
52	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
53	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
54	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂³×C₈	D₄	1	4	yes	—
57	C₂³×C₈	D₄	1	4	yes	—
58	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×#117	—	2	2	no	—
61	C₂×#117	—	2	2	no	—
62	C₂×#117	—	2	2	no	—
63	C₂×#117	—	2	2	no	—
64	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂×#117	D₄	1	2	yes	—
67	C₂×#117	D₄	1	2	yes	—
68	C₂²×C₄⋊C₄	Q₈	1	2	yes	—
69	C₂²×C₂²⋊C₄	Q₈	1	2	yes	—
70	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×#108	—	2	32	no	—
72	C₂×#108	—	2	16	no	—
73	C₂×#108	—	2	8	no	—
74	#424	—	2	16	no	—
75	#424	—	2	16	no	—
76	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
77	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
78	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
79	#341	—	2	16	no	—
80	#341	—	2	8	no	—
81	#336	—	2	16	no	—
82	C₂⁵	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
83	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
86	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
87	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
92	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
93	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
94	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
95	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
96	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
97	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
98	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
99	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
100	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
101	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
102	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
103	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
104	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
105	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
106	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
107	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
108	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
109	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
110	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
111	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
112	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
118	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
119	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
120	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
121	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
122	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
123	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
124	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
125	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
126	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
127	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
128	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
129	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
130	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	8	yes	—
131	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
146	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
147	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
148	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
149	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
150	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
151	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
152	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
153	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
154	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
155	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
156	#117	—	2	4	no	—
157	#117	—	2	4	no	—
158	#117	—	2	4	no	—
159	#117	—	2	4	no	—
160	#117	—	2	4	no	—
161	#117	—	2	4	no	—
162	#117	—	2	4	no	—
163	#117	—	2	4	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
167	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
172	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
178	#108	—	2	32	no	—
179	C₄⋊C₈	—	2	32	no	—
180	C₂⁴	—	4	4	no	—
181	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂⁴	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
184	C₂⁴	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
185	C₂⁴	#125	1	4	yes	—
186	C₂⁴	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
187	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
188	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
191	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
198	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
199	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
200	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
201	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
202	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
203	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
207	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
208	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
209	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	#123	1	8	yes	—
218	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
219	C₂²×C₄	#125	1	8	yes	—
220	C₂²×C₄	#125	1	4	yes	—
221	C₂²×C₄	#126	1	8	yes	—
222	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
223	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
234	M₁₆	—	2	8	no	—
235	M₁₆	—	2	8	no	—
236	M₁₆	—	2	8	no	—
237	M₁₆	—	2	8	no	—
238	M₁₆	—	4	4	no	—
239	M₁₆	—	4	4	no	—
240	M₁₆	—	4	4	no	—
241	M₁₆	—	4	4	no	—
242	M₁₆	—	4	8	no	—
243	M₁₆	—	4	8	no	—
244	M₁₆	—	4	16	no	—
245	M₁₆	—	4	16	no	—
246	C₂×C₈	—	2	8	no	—
247	C₂×C₈	—	2	4	no	—
248	C₂×C₈	—	2	8	no	—
249	C₂×C₈	—	2	4	no	—
250	C₂×C₈	—	2	16	no	—
251	C₂×C₈	—	2	16	no	—
252	C₂×C₈	—	2	4	no	—
253	C₂×C₈	—	2	8	no	—
254	C₂×C₈	—	2	8	no	—
255	C₂×C₈	—	2	8	no	—
256	C₂×C₈	—	4	2	no	—
257	C₂×C₈	—	4	4	no	—
258	C₂×C₈	—	4	4	no	—
259	C₂×C₈	—	4	4	no	—
260	C₂×C₈	—	4	4	no	—
261	C₂×C₈	—	4	4	no	—
262	C₂×C₈	—	4	2	no	—
263	C₂×C₈	—	4	16	no	—
264	C₂×C₈	—	4	16	no	—
265	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
266	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
270	C₄²	—	2	4	no	—
271	C₄²	—	2	4	no	—
272	C₄²	—	2	4	no	—
273	C₄²	—	2	4	no	—
274	C₂³	—	2	4	no	—
275	C₂³	—	2	4	no	—
276	C₂³	—	2	4	no	—
277	C₂³	—	4	4	no	—
278	C₂³	—	4	4	no	—
279	C₂³	—	4	8	no	—
280	C₂³	—	4	8	no	—
281	C₂³	#380	1	2	yes	—
282	C₂³	#380	1	2	yes	—
283	C₂³	#389	1	4	yes	—
284	C₂³	#389	1	4	yes	—
285	C₂³	#395	1	4	yes	—
286	C₂³	#398	1	8	yes	—
287	C₂³	#400	1	4	yes	—
288	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
289	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
290	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
291	C₂³	C₂×#125	1	2	yes	—
292	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	—	2	16	no	—
294	C₂×C₄	—	2	8	no	—
295	C₂×C₄	—	4	8	no	—
296	C₂×C₄	—	4	8	no	—
297	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	#386	1	4	yes	—
300	C₂×C₄	#386	1	4	yes	—
301	C₂×C₄	#387	1	8	yes	—
302	C₂×C₄	#387	1	8	yes	—
303	C₂×C₄	#389	1	4	yes	—
304	C₂×C₄	#389	1	4	yes	—
305	C₂×C₄	#391	1	4	yes	—
306	C₂×C₄	#391	1	4	yes	—
307	C₂×C₄	#394	1	4	yes	—
308	C₂×C₄	#394	1	4	yes	—
309	C₂×C₄	#395	1	4	yes	—
310	C₂×C₄	#396	1	8	yes	—
311	C₂×C₄	#396	1	8	yes	—
312	C₂×C₄	#398	1	4	yes	—
313	C₂×C₄	#398	1	4	yes	—
314	C₂×C₄	#398	1	8	yes	—
315	C₂×C₄	#400	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	C₂×#125	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	C₂×#126	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
334	C₈	—	2	8	no	—
335	C₈	—	4	8	no	—
336	C₈	—	4	8	no	—
337	C₈	—	4	4	no	—
338	C₂²	—	2	4	no	—
339	C₂²	—	2	4	no	—
340	C₂²	—	2	8	no	—
341	C₂²	—	2	8	no	—
342	C₂²	—	2	2	no	—
343	C₂²	—	2	2	no	—
344	C₂²	—	2	4	no	—
345	C₂²	—	2	4	no	—
346	C₂²	—	4	4	no	—
347	C₂²	—	4	8	no	—
348	C₂²	—	4	4	no	—
349	C₂²	#1441	1	4	yes	—
350	C₂²	#1441	1	4	yes	—
351	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	C₂×#389	1	2	yes	—
353	C₂²	C₂×#395	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	C₂×#398	1	2	yes	—
355	C₂²	C₂×#400	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	#2916	1	4	yes	—
357	C₄	—	4	8	no	—
358	C₄	#1441	1	4	yes	—
359	C₄	#1441	1	4	yes	—
360	C₄	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
361	C₄	C₂×#387	1	2	yes	—
362	C₄	C₂×#391	1	1	yes	characteristic
363	C₄	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
364	C₄	C₂×#396	1	2	yes	—
365	C₄	C₂×#398	1	1	yes	characteristic
366	C₂	—	2	1	no	—
367	C₂	—	2	2	no	—
368	C₂	—	2	1	no	—
369	C₂	—	2	4	no	—
370	C₂	—	2	4	no	—
371	C₂	C₂×#1441	1	1	yes	characteristic
372	C₂	#20668	1	2	yes	—
373	C₂	#21178	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄
prime radical	C₂⁵	C₂×Q₈
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
6. #11233	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×#108	2
C₂²×#424	2
C₂×#1738	2
C₂²×#341	2
#20335	2
#11233	2