Subgroups — #358061

Order 512.

1818 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 390 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×#108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#424	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1742	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20347	C₂	1	2	yes	maximal
5	C₂×#1735	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11242	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	C₂³×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×#108	—	2	8	no	—
13	C₂²×#108	—	2	4	no	—
14	C₂²×#108	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#424	—	2	4	no	—
16	C₂×#424	—	2	2	no	—
17	C₂×#424	C₄	1	8	yes	complemented
18	C₂×#424	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂²×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
20	#1742	—	2	8	no	—
21	C₂×#343	C₂²	1	8	yes	—
22	#1736	—	2	4	no	—
23	#1736	C₂²	1	8	yes	—
24	#1735	—	2	2	no	—
25	#1735	—	2	2	no	—
26	#1735	—	2	4	no	—
27	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
30	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
31	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
32	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
33	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
34	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
35	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
36	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
37	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
38	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
39	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	C₂²×M₁₆	D₄	1	8	yes	—
41	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
43	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
44	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
45	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
46	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
47	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
49	C₂³×C₈	D₄	1	4	yes	—
50	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
51	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂×#117	—	2	2	no	—
53	C₂×#117	—	2	1	no	—
54	C₂×#117	—	2	1	no	—
55	C₂×#117	—	2	2	no	—
56	C₂×#117	—	2	4	no	—
57	C₂×#117	—	2	2	no	—
58	C₂×#117	—	2	2	no	—
59	C₂×#117	—	2	2	no	—
60	C₂×#117	—	2	2	no	—
61	C₂×#117	—	2	4	no	—
62	C₂×#117	—	2	4	no	—
63	C₂×#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	C₂×#117	D₄	1	2	yes	—
65	C₂×#117	Q₈	1	4	yes	—
66	C₂×#117	Q₈	1	8	yes	—
67	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
69	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
71	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
72	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
73	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
74	C₂×#108	—	2	32	no	—
75	C₂×#108	—	2	16	no	—
76	C₂×#108	—	2	8	no	—
77	#424	—	2	16	no	—
78	#424	—	2	8	no	—
79	#424	C₂×C₄	1	16	yes	—
80	C₂×C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
81	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
82	#343	—	2	16	no	—
83	#340	—	2	8	no	—
84	#340	—	2	16	no	—
85	C₂⁵	#41	1	1	yes	characteristic
86	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
87	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
88	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
96	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
97	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
98	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
99	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
100	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
102	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
103	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
104	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
105	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
106	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
107	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
108	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
109	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
110	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
111	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
112	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
115	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
116	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
117	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
118	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
119	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
120	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
121	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
122	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
123	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
124	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
136	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
137	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
138	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
139	C₂²×C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
140	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
141	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
142	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
143	#117	—	2	4	no	—
144	#117	—	2	4	no	—
145	#117	—	2	4	no	—
146	#117	—	2	4	no	—
147	#117	—	2	4	no	—
148	#117	—	2	2	no	—
149	#117	—	2	2	no	—
150	#117	—	2	8	no	—
151	#117	—	2	8	no	—
152	#117	—	2	8	no	—
153	#117	—	2	8	no	—
154	#117	—	4	4	no	—
155	#117	—	4	4	no	—
156	#117	—	4	4	no	—
157	#117	—	4	4	no	—
158	#117	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
159	#117	C₂²×C₄	1	4	yes	—
160	#117	C₂×Q₈	1	4	yes	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
169	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
170	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
184	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
185	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
186	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
187	#108	—	2	32	no	—
188	C₄⋊C₈	—	2	32	no	—
189	C₂⁴	—	4	4	no	—
190	C₂⁴	#117	1	2	yes	—
191	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
192	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
193	C₂⁴	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
194	C₂⁴	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
195	C₂⁴	#126	1	4	yes	—
196	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
204	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
210	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	8	yes	—
211	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
212	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
215	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
218	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
228	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
229	C₂²×C₄	#123	1	8	yes	—
230	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
231	C₂²×C₄	#125	1	8	yes	—
232	C₂²×C₄	#125	1	8	yes	—
233	C₂²×C₄	#126	1	4	yes	—
234	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
235	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
246	M₁₆	—	2	8	no	—
247	M₁₆	—	2	8	no	—
248	M₁₆	—	2	8	no	—
249	M₁₆	—	4	2	no	—
250	M₁₆	—	4	4	no	—
251	M₁₆	—	4	2	no	—
252	M₁₆	—	4	4	no	—
253	M₁₆	—	4	8	no	—
254	M₁₆	—	4	16	no	—
255	C₂×C₈	—	2	8	no	—
256	C₂×C₈	—	2	4	no	—
257	C₂×C₈	—	2	8	no	—
258	C₂×C₈	—	2	4	no	—
259	C₂×C₈	—	2	16	no	—
260	C₂×C₈	—	2	16	no	—
261	C₂×C₈	—	2	4	no	—
262	C₂×C₈	—	2	8	no	—
263	C₂×C₈	—	4	4	no	—
264	C₂×C₈	—	4	4	no	—
265	C₂×C₈	—	4	4	no	—
266	C₂×C₈	—	4	8	no	—
267	C₂×C₈	—	4	16	no	—
268	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
269	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
275	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
276	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
281	C₄²	—	2	4	no	—
282	C₄²	—	2	4	no	—
283	C₄²	—	2	8	no	—
284	C₄²	—	4	8	no	—
285	C₄²	—	4	8	no	—
286	C₂³	—	2	4	no	—
287	C₂³	—	2	4	no	—
288	C₂³	—	2	4	no	—
289	C₂³	—	4	4	no	—
290	C₂³	—	4	8	no	—
291	C₂³	—	4	4	no	—
292	C₂³	—	4	8	no	—
293	C₂³	#380	1	2	yes	—
294	C₂³	#380	1	2	yes	—
295	C₂³	#387	1	8	yes	—
296	C₂³	#395	1	4	yes	—
297	C₂³	#396	1	4	yes	—
298	C₂³	#396	1	4	yes	—
299	C₂³	#400	1	4	yes	—
300	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
301	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
302	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
303	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
304	C₂³	C₂×#126	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	—	2	8	no	—
306	C₂×C₄	—	4	16	no	—
307	C₂×C₄	—	4	8	no	—
308	C₂×C₄	—	4	8	no	—
309	C₂×C₄	—	8	8	no	—
310	C₂×C₄	—	8	8	no	—
311	C₂×C₄	—	8	8	no	—
312	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	#380	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	#386	1	4	yes	—
315	C₂×C₄	#386	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	#387	1	8	yes	—
317	C₂×C₄	#389	1	8	yes	—
318	C₂×C₄	#389	1	8	yes	—
319	C₂×C₄	#391	1	4	yes	—
320	C₂×C₄	#391	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	#394	1	4	yes	—
322	C₂×C₄	#394	1	4	yes	—
323	C₂×C₄	#395	1	4	yes	—
324	C₂×C₄	#396	1	4	yes	—
325	C₂×C₄	#396	1	4	yes	—
326	C₂×C₄	#398	1	4	yes	—
327	C₂×C₄	#398	1	4	yes	—
328	C₂×C₄	#398	1	8	yes	—
329	C₂×C₄	#398	1	8	yes	—
330	C₂×C₄	#400	1	4	yes	—
331	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂×#125	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	C₂×#125	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
349	C₈	—	2	8	no	—
350	C₈	—	4	8	no	—
351	C₈	—	4	4	no	—
352	C₂²	—	2	4	no	—
353	C₂²	—	2	4	no	—
354	C₂²	—	2	8	no	—
355	C₂²	—	2	8	no	—
356	C₂²	—	2	4	no	—
357	C₂²	—	2	2	no	—
358	C₂²	—	2	2	no	—
359	C₂²	—	2	4	no	—
360	C₂²	—	4	8	no	—
361	C₂²	—	4	4	no	—
362	C₂²	—	4	4	no	—
363	C₂²	#1441	1	4	yes	—
364	C₂²	#1441	1	4	yes	—
365	C₂²	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	C₂×#387	1	2	yes	—
367	C₂²	C₂×#395	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	C₂×#396	1	2	yes	—
369	C₂²	C₂×#400	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	#3067	1	4	yes	—
371	C₄	—	4	8	no	—
372	C₄	—	8	8	no	—
373	C₄	#1441	1	4	yes	—
374	C₄	#1441	1	4	yes	—
375	C₄	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
376	C₄	C₂×#389	1	2	yes	—
377	C₄	C₂×#391	1	1	yes	characteristic
378	C₄	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
379	C₄	C₂×#398	1	1	yes	characteristic
380	C₄	C₂×#398	1	2	yes	—
381	C₂	—	2	1	no	—
382	C₂	—	2	1	no	—
383	C₂	—	2	4	no	—
384	C₂	—	2	4	no	—
385	C₂	—	2	2	no	—
386	C₂	C₂×#1441	1	1	yes	characteristic
387	C₂	#20678	1	2	yes	—
388	C₂	#23601	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	#121
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×#121
prime radical	C₂⁵	#41
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂⁴×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
6. #11242	C₂	semidirect
17. C₂×#424	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×#108	2
C₂²×#424	2
C₂×#1742	2
#20347	2
C₂×#1735	2
#11242	2