Subgroups — #358222

Order 512.

1910 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 384 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#427	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1736	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂²×#340	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1729	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#13795	C₂	1	2	yes	maximal
6	#11257	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#11256	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂³×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#427	—	2	4	no	—
14	C₂×#427	—	2	8	no	—
15	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	—
17	#1736	—	2	8	no	—
18	C₂×#340	C₄	1	8	yes	complemented
19	C₂×#340	C₂²	1	8	yes	—
20	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
22	#1729	—	2	4	no	—
23	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
25	C₄⋊#95	—	2	4	no	—
26	C₄⋊#95	C₂²	1	8	yes	—
27	C₂²⋊#95	—	2	4	no	—
28	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
29	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
31	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
32	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
33	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
34	C₂²×M₁₆	Q₈	1	4	yes	—
35	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
36	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
37	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
38	C₂³×C₈	D₄	1	4	yes	—
39	C₂³×C₈	Q₈	1	4	yes	—
40	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#117	—	2	2	no	—
44	C₂×#117	—	2	4	no	—
45	C₂×#117	—	2	2	no	—
46	C₂×#117	—	2	4	no	—
47	C₂×#117	—	2	4	no	—
48	C₂×#117	—	2	4	no	—
49	C₂×#117	—	2	4	no	—
50	C₂×#117	—	2	4	no	—
51	C₂×#117	—	2	4	no	—
52	C₂×#117	D₄	1	8	yes	—
53	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
54	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
55	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
57	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
58	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
59	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
60	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
61	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
64	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
65	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
66	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
67	#427	—	2	32	no	—
68	C₂×#107	—	2	4	no	—
69	C₂×#107	—	2	8	no	—
70	C₂×#106	—	2	4	no	—
71	C₂×#106	—	2	8	no	—
72	C₂×#95	—	2	8	no	—
73	C₂×#95	—	2	8	no	—
74	#340	—	2	16	no	—
75	#340	C₂×C₄	1	8	yes	—
76	#340	C₂×C₄	1	8	yes	—
77	#336	—	2	4	no	—
78	#336	—	2	4	no	—
79	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
81	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
82	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
83	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
84	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
85	C₂³×C₄	—	8	4	no	—
86	C₂³×C₄	—	8	4	no	—
87	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
94	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
95	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
96	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
97	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
98	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
100	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
101	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
102	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
103	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
104	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
117	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	16	yes	—
118	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
120	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
121	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
122	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
123	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
124	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
125	#117	—	2	16	no	—
126	#117	—	2	16	no	—
127	#117	—	4	4	no	—
128	#117	—	4	8	no	—
129	#117	—	4	4	no	—
130	#117	—	4	8	no	—
131	#117	—	4	8	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
152	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
158	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
164	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
165	#107	—	2	16	no	—
166	#106	—	2	16	no	—
167	#95	—	8	8	no	—
168	#95	—	8	8	no	—
169	C₂⁴	—	2	2	no	—
170	C₂⁴	—	2	4	no	—
171	C₂⁴	—	2	2	no	—
172	C₂⁴	C₄×D₄	1	2	yes	—
173	C₂⁴	#121	1	4	yes	—
174	C₂⁴	#121	1	2	yes	—
175	C₂⁴	#123	1	4	yes	—
176	C₂⁴	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
177	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
191	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
196	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
197	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
198	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
199	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
200	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
201	C₂²×C₄	#117	1	8	yes	—
202	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
203	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
205	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
206	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
207	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
211	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
212	C₂²×C₄	#123	1	8	yes	—
213	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
214	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
215	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	#124	1	8	yes	—
217	C₂²×C₄	#125	1	8	yes	—
218	C₂²×C₄	#125	1	8	yes	—
219	C₂²×C₄	#125	1	4	yes	—
220	C₂²×C₄	#126	1	8	yes	—
221	C₂²×C₄	#126	1	8	yes	—
222	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
233	M₁₆	—	4	16	no	—
234	C₂×C₈	—	2	4	no	—
235	C₂×C₈	—	2	4	no	—
236	C₂×C₈	—	2	2	no	—
237	C₂×C₈	—	2	2	no	—
238	C₂×C₈	—	2	4	no	—
239	C₂×C₈	—	2	4	no	—
240	C₂×C₈	—	2	2	no	—
241	C₂×C₈	—	2	2	no	—
242	C₂×C₈	—	2	32	no	—
243	C₂×C₈	—	2	4	no	—
244	C₂×C₈	—	2	8	no	—
245	C₂×C₈	—	4	2	no	—
246	C₂×C₈	—	4	4	no	—
247	C₂×C₈	—	4	2	no	—
248	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
249	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
250	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
252	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
262	C₄²	—	4	2	no	—
263	C₄²	—	4	2	no	—
264	C₄²	—	4	4	no	—
265	C₄²	—	4	16	no	—
266	C₂³	—	2	8	no	—
267	C₂³	—	2	8	no	—
268	C₂³	—	2	4	no	—
269	C₂³	—	2	4	no	—
270	C₂³	—	2	2	no	—
271	C₂³	—	2	4	no	—
272	C₂³	—	2	2	no	—
273	C₂³	—	2	8	no	—
274	C₂³	—	2	8	no	—
275	C₂³	—	2	4	no	—
276	C₂³	—	2	4	no	—
277	C₂³	#388	1	8	yes	—
278	C₂³	#389	1	4	yes	—
279	C₂³	#394	1	4	yes	—
280	C₂³	#397	1	4	yes	—
281	C₂³	#398	1	8	yes	—
282	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
284	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
285	C₂³	C₂×#123	1	2	yes	—
286	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
287	C₂³	#576	1	2	yes	—
288	C₂³	#577	1	4	yes	—
289	C₂³	#578	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	—	4	8	no	—
291	C₂×C₄	—	4	8	no	—
292	C₂×C₄	—	4	8	no	—
293	C₂×C₄	—	4	4	no	—
294	C₂×C₄	—	4	8	no	—
295	C₂×C₄	—	4	8	no	—
296	C₂×C₄	—	4	8	no	—
297	C₂×C₄	—	4	8	no	—
298	C₂×C₄	—	4	8	no	—
299	C₂×C₄	—	4	4	no	—
300	C₂×C₄	—	4	4	no	—
301	C₂×C₄	—	8	32	no	—
302	C₂×C₄	—	8	8	no	—
303	C₂×C₄	—	8	4	no	—
304	C₂×C₄	—	8	8	no	—
305	C₂×C₄	—	8	4	no	—
306	C₂×C₄	—	8	4	no	—
307	C₂×C₄	—	8	4	no	—
308	C₂×C₄	#382	1	8	yes	—
309	C₂×C₄	#385	1	8	yes	—
310	C₂×C₄	#387	1	16	yes	—
311	C₂×C₄	#388	1	8	yes	—
312	C₂×C₄	#389	1	4	yes	—
313	C₂×C₄	#393	1	8	yes	—
314	C₂×C₄	#394	1	4	yes	—
315	C₂×C₄	#397	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	#398	1	8	yes	—
317	C₂×C₄	#400	1	16	yes	—
318	C₂×C₄	#400	1	8	yes	—
319	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	C₂×#125	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	C₂×#125	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×#126	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	C₂×#126	1	2	yes	—
337	C₈	—	2	4	no	—
338	C₈	—	2	4	no	—
339	C₈	—	4	4	no	—
340	C₂²	—	2	8	no	—
341	C₂²	—	2	8	no	—
342	C₂²	—	2	8	no	—
343	C₂²	—	2	16	no	—
344	C₂²	—	2	4	no	—
345	C₂²	—	2	4	no	—
346	C₂²	—	2	8	no	—
347	C₂²	#1442	1	8	yes	—
348	C₂²	C₂×#388	1	2	yes	—
349	C₂²	C₂×#389	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	C₂×#397	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	C₂×#398	1	2	yes	—
353	C₂²	#2948	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	#2949	1	2	yes	—
355	C₂²	#2950	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	#3045	1	4	yes	—
357	C₂²	#3046	1	4	yes	—
358	C₂²	#3060	1	2	yes	—
359	C₂²	#3061	1	2	yes	—
360	C₂²	#3096	1	4	yes	—
361	C₂²	#3097	1	4	yes	—
362	C₂²	#3163	1	2	yes	—
363	C₂²	#3164	1	2	yes	—
364	C₄	—	8	8	no	—
365	C₄	—	8	4	no	—
366	C₄	—	8	8	no	—
367	C₄	#1442	1	8	yes	—
368	C₄	C₂×#382	1	1	yes	characteristic
369	C₄	C₂×#385	1	1	yes	characteristic
370	C₄	C₂×#387	1	2	yes	—
371	C₄	C₂×#393	1	1	yes	characteristic
372	C₄	C₂×#400	1	1	yes	characteristic
373	C₄	C₂×#400	1	2	yes	—
374	C₂	—	2	8	no	—
375	C₂	C₂×#1442	1	1	yes	characteristic
376	C₂	#21065	1	2	yes	—
377	C₂	#21066	1	2	yes	—
378	C₂	#21157	1	1	yes	characteristic
379	C₂	#21158	1	1	yes	characteristic
380	C₂	#23543	1	2	yes	—
381	C₂	#23641	1	2	yes	—
382	C₂	#23662	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁵	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂²×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
6. #11257	C₂	semidirect
7. #11256	C₂	semidirect
18. C₂×#340	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#427	2
C₂×#1736	2
C₂²×#340	2
C₂×#1729	2
#13795	2
#11257	2
#11256	2