Subgroups — #358236

Order 512.

2338 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 387 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#384	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1736	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1736	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#13756	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11267	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂³×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
11	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#384	—	2	2	no	—
14	C₂×#384	—	2	8	no	—
15	C₂×#384	C₂²	1	4	yes	—
16	#1736	—	2	8	no	—
17	#1736	—	2	8	no	—
18	C₂×#340	C₂²	1	8	yes	—
19	C₂×#340	C₂²	1	8	yes	—
20	#1728	C₄	1	8	yes	complemented
21	C₂×#336	C₂²	1	4	yes	—
22	C₄⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂²⋊#95	—	2	2	no	—
24	C₄×#95	—	2	2	no	—
25	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
26	C₂⁴×C₄	D₄	1	2	yes	—
27	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
29	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
30	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
31	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
32	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
33	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
34	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
35	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
36	C₂×#117	—	2	2	no	—
37	C₂×#117	—	2	2	no	—
38	C₂×#117	—	2	4	no	—
39	C₂×#117	—	2	4	no	—
40	C₂×#117	—	2	4	no	—
41	C₂×#117	—	2	4	no	—
42	C₂×#117	D₄	1	4	yes	—
43	C₂×#117	Q₈	1	4	yes	—
44	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
49	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
50	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
51	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
52	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
53	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	8	yes	—
54	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
58	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
59	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
60	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
61	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
62	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
63	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
65	C₂²×C₄²	Q₈	1	4	yes	—
66	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
67	#384	—	2	16	no	—
68	#384	—	2	16	no	—
69	C₂×#95	—	2	4	no	—
70	C₂×#95	—	2	4	no	—
71	#340	—	2	16	no	—
72	#340	—	2	16	no	—
73	#336	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
74	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
76	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
77	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
78	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
79	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
80	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
81	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
82	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
83	C₂³×C₄	—	4	16	no	—
84	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
85	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
86	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
87	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
94	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
95	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
96	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
97	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
98	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
100	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
101	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
102	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
103	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
104	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
105	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
106	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
113	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
114	#117	—	2	16	no	—
115	#117	—	2	16	no	—
116	#117	—	4	8	no	—
117	#117	—	4	8	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	4	64	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
142	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
157	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
158	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
159	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
160	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
161	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
164	#95	—	4	8	no	—
165	#95	—	4	8	no	—
166	C₂⁴	—	2	4	no	—
167	C₂⁴	—	2	4	no	—
168	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
169	C₂⁴	#120	1	2	yes	—
170	C₂⁴	#121	1	2	yes	—
171	C₂⁴	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
172	C₂⁴	#123	1	2	yes	—
173	C₂⁴	#124	1	2	yes	—
174	C₂⁴	#124	1	2	yes	—
175	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
189	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
201	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
202	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
203	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	#117	1	8	yes	—
206	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
207	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
208	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
209	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
211	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	#123	1	8	yes	—
216	C₂²×C₄	#123	1	8	yes	—
217	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	#124	1	8	yes	—
219	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	#125	1	8	yes	—
222	C₂²×C₄	#125	1	8	yes	—
223	C₂²×C₄	#125	1	4	yes	—
224	C₂²×C₄	#126	1	8	yes	—
225	C₂²×C₄	#126	1	8	yes	—
226	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
227	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
228	C₂²×C₄	#137	1	8	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
239	M₁₆	—	4	32	no	—
240	C₂×C₈	—	2	8	no	—
241	C₂×C₈	—	2	8	no	—
242	C₂×C₈	—	2	8	no	—
243	C₂×C₈	—	4	4	no	—
244	C₂×C₈	—	4	4	no	—
245	C₂×C₈	—	4	4	no	—
246	C₂×C₈	—	4	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
248	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	64	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
259	C₄²	—	2	8	no	—
260	C₄²	—	2	8	no	—
261	C₄²	—	2	16	no	—
262	C₄²	—	4	8	no	—
263	C₄²	—	4	8	no	—
264	C₂³	—	2	8	no	—
265	C₂³	—	2	8	no	—
266	C₂³	—	2	4	no	—
267	C₂³	—	2	4	no	—
268	C₂³	—	2	8	no	—
269	C₂³	—	2	8	no	—
270	C₂³	—	2	4	no	—
271	C₂³	—	2	4	no	—
272	C₂³	—	2	4	no	—
273	C₂³	—	2	4	no	—
274	C₂³	#382	1	4	yes	—
275	C₂³	#385	1	4	yes	—
276	C₂³	#389	1	4	yes	—
277	C₂³	#393	1	4	yes	—
278	C₂³	#394	1	4	yes	—
279	C₂³	#397	1	4	yes	—
280	C₂³	#400	1	4	yes	—
281	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
282	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
283	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
284	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
285	C₂³	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
286	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
287	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
288	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
289	C₂³	C₂×#137	1	4	yes	—
290	C₂×C₄	—	2	64	no	—
291	C₂×C₄	—	2	8	no	—
292	C₂×C₄	—	2	8	no	—
293	C₂×C₄	—	2	8	no	—
294	C₂×C₄	—	2	8	no	—
295	C₂×C₄	—	2	8	no	—
296	C₂×C₄	—	2	8	no	—
297	C₂×C₄	—	4	8	no	—
298	C₂×C₄	—	4	4	no	—
299	C₂×C₄	—	4	8	no	—
300	C₂×C₄	—	4	4	no	—
301	C₂×C₄	—	4	16	no	—
302	C₂×C₄	—	4	4	no	—
303	C₂×C₄	—	4	4	no	—
304	C₂×C₄	—	8	32	no	—
305	C₂×C₄	—	8	4	no	—
306	C₂×C₄	—	8	8	no	—
307	C₂×C₄	—	8	4	no	—
308	C₂×C₄	—	8	4	no	—
309	C₂×C₄	—	8	2	no	—
310	C₂×C₄	—	8	2	no	—
311	C₂×C₄	—	8	8	no	—
312	C₂×C₄	#382	1	4	yes	—
313	C₂×C₄	#385	1	4	yes	—
314	C₂×C₄	#387	1	16	yes	—
315	C₂×C₄	#388	1	16	yes	—
316	C₂×C₄	#389	1	4	yes	—
317	C₂×C₄	#393	1	4	yes	—
318	C₂×C₄	#394	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	#397	1	4	yes	—
320	C₂×C₄	#398	1	16	yes	—
321	C₂×C₄	#400	1	16	yes	—
322	C₂×C₄	#400	1	4	yes	—
323	C₂×C₄	#428	1	16	yes	—
324	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	C₂×#125	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×#125	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	C₂×#126	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	C₂×#126	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
340	C₈	—	4	8	no	—
341	C₂²	—	2	8	no	—
342	C₂²	—	2	8	no	—
343	C₂²	—	2	8	no	—
344	C₂²	—	2	8	no	—
345	C₂²	—	2	8	no	—
346	C₂²	—	2	8	no	—
347	C₂²	—	2	4	no	—
348	C₂²	—	2	4	no	—
349	C₂²	#1442	1	8	yes	—
350	C₂²	C₂×#382	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	C₂×#385	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	C₂×#389	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	C₂×#393	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	C₂×#397	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	C₂×#400	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	C₂×#428	1	4	yes	—
358	C₂²	#3003	1	2	yes	—
359	C₂²	#3004	1	2	yes	—
360	C₂²	#3038	1	2	yes	—
361	C₂²	#3039	1	2	yes	—
362	C₂²	#3079	1	4	yes	—
363	C₂²	#3092	1	4	yes	—
364	C₂²	#3138	1	2	yes	—
365	C₂²	#3139	1	2	yes	—
366	C₂²	#3141	1	4	yes	—
367	C₄	—	2	16	no	—
368	C₄	—	8	4	no	—
369	C₄	—	8	4	no	—
370	C₄	—	8	8	no	—
371	C₄	#1442	1	8	yes	—
372	C₄	C₂×#387	1	2	yes	—
373	C₄	C₂×#388	1	2	yes	—
374	C₄	C₂×#398	1	2	yes	—
375	C₄	C₂×#400	1	2	yes	—
376	C₂	—	2	8	no	—
377	C₂	C₂×#1442	1	1	yes	characteristic
378	C₂	#20764	1	2	yes	—
379	C₂	#20844	1	2	yes	—
380	C₂	#21171	1	2	yes	—
381	C₂	#23452	1	2	yes	—
382	C₂	#23505	1	1	yes	characteristic
383	C₂	#23507	1	1	yes	characteristic
384	C₂	#23630	1	2	yes	—
385	C₂	#23745	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁵	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
6. #11267	C₂	semidirect
20. #1728	C₄	semidirect
73. #336	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#384	2
C₂×#1736	2
C₂×#1728	2
#13756	2
#11267	2