Subgroups — #358243

Order 512.

1654 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 402 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#427	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1742	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂²×#341	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20347	C₂	1	2	yes	maximal
5	C₂×#1729	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11271	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#11270	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂³×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#427	—	2	2	no	—
14	C₂×#427	—	2	2	no	—
15	C₂×#427	—	2	8	no	—
16	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	—
18	#1742	—	2	8	no	—
19	C₂×#343	C₂²	1	8	yes	—
20	C₂×#341	C₄	1	8	yes	complemented
21	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
23	#1736	—	2	4	no	—
24	#1736	C₂²	1	8	yes	—
25	#1735	—	2	4	no	—
26	#1729	—	2	2	no	—
27	#1729	C₂²	1	2	yes	—
28	#1729	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#336	—	2	2	no	—
30	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
32	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
33	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
34	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
35	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
36	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
37	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
38	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
39	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
40	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
41	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
42	C₂²×M₁₆	Q₈	1	4	yes	—
43	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
44	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
46	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
47	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
48	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
49	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
51	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
52	C₂³×C₈	Q₈	1	4	yes	—
53	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×#117	—	2	1	no	—
56	C₂×#117	—	2	1	no	—
57	C₂×#117	—	2	4	no	—
58	C₂×#117	—	2	2	no	—
59	C₂×#117	—	2	2	no	—
60	C₂×#117	—	2	4	no	—
61	C₂×#117	—	2	2	no	—
62	C₂×#117	—	2	2	no	—
63	C₂×#117	—	2	4	no	—
64	C₂×#117	—	2	4	no	—
65	C₂×#117	—	2	4	no	—
66	C₂×#117	D₄	1	8	yes	—
67	C₂×#117	D₄	1	2	yes	—
68	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
70	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
72	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
73	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
74	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
75	#427	—	2	16	no	—
76	#427	—	2	16	no	—
77	C₂×#107	—	2	4	no	—
78	C₂×#107	—	2	8	no	—
79	C₂×#106	—	2	4	no	—
80	C₂×#106	—	2	8	no	—
81	#343	—	2	16	no	—
82	#341	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
83	#341	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
84	#340	—	2	16	no	—
85	#336	—	2	4	no	—
86	#336	—	2	4	no	—
87	C₂⁵	#41	1	1	yes	characteristic
88	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
89	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
90	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
97	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
98	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
99	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
100	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
101	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
102	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
103	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
104	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
105	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
106	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
107	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
108	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
109	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
110	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
111	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
112	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
117	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
118	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
119	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
120	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
121	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
122	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
123	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
124	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
125	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
126	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
140	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
141	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
142	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
143	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
144	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
145	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
146	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
147	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
148	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
151	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
152	#117	—	2	8	no	—
153	#117	—	2	8	no	—
154	#117	—	2	8	no	—
155	#117	—	2	8	no	—
156	#117	—	2	8	no	—
157	#117	—	2	4	no	—
158	#117	—	2	4	no	—
159	#117	—	4	4	no	—
160	#117	—	4	4	no	—
161	#117	—	4	2	no	—
162	#117	—	4	2	no	—
163	#117	—	4	4	no	—
164	#117	—	4	4	no	—
165	#117	—	4	4	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
174	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
186	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
187	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
188	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
189	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
190	#107	—	2	16	no	—
191	#106	—	2	16	no	—
192	C₂⁴	—	4	4	no	—
193	C₂⁴	C₄×Q₈	1	2	yes	—
194	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
195	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
196	C₂⁴	#123	1	4	yes	—
197	C₂⁴	#125	1	2	yes	—
198	C₂⁴	#126	1	4	yes	—
199	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
207	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	#117	1	8	yes	—
210	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
211	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
218	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
227	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
228	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
229	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	#124	1	8	yes	—
234	C₂²×C₄	#125	1	8	yes	—
235	C₂²×C₄	#125	1	8	yes	—
236	C₂²×C₄	#125	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	#126	1	8	yes	—
238	C₂²×C₄	#126	1	4	yes	—
239	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
251	M₁₆	—	2	8	no	—
252	M₁₆	—	2	8	no	—
253	M₁₆	—	2	8	no	—
254	M₁₆	—	4	4	no	—
255	M₁₆	—	4	4	no	—
256	M₁₆	—	4	4	no	—
257	M₁₆	—	4	16	no	—
258	M₁₆	—	4	8	no	—
259	C₂×C₈	—	2	4	no	—
260	C₂×C₈	—	2	4	no	—
261	C₂×C₈	—	2	2	no	—
262	C₂×C₈	—	2	2	no	—
263	C₂×C₈	—	2	4	no	—
264	C₂×C₈	—	2	4	no	—
265	C₂×C₈	—	2	2	no	—
266	C₂×C₈	—	2	2	no	—
267	C₂×C₈	—	2	16	no	—
268	C₂×C₈	—	2	16	no	—
269	C₂×C₈	—	2	8	no	—
270	C₂×C₈	—	2	4	no	—
271	C₂×C₈	—	4	2	no	—
272	C₂×C₈	—	4	4	no	—
273	C₂×C₈	—	4	4	no	—
274	C₂×C₈	—	4	2	no	—
275	C₂×C₈	—	4	16	no	—
276	C₂×C₈	—	4	8	no	—
277	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
278	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
279	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
280	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
282	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
283	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
284	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
289	C₄²	—	4	2	no	—
290	C₄²	—	4	2	no	—
291	C₄²	—	4	8	no	—
292	C₄²	—	4	8	no	—
293	C₄²	—	4	4	no	—
294	C₂³	—	2	4	no	—
295	C₂³	—	2	4	no	—
296	C₂³	—	2	4	no	—
297	C₂³	—	4	4	no	—
298	C₂³	—	4	8	no	—
299	C₂³	—	4	4	no	—
300	C₂³	—	4	8	no	—
301	C₂³	#387	1	8	yes	—
302	C₂³	#389	1	2	yes	—
303	C₂³	#389	1	2	yes	—
304	C₂³	#394	1	2	yes	—
305	C₂³	#394	1	2	yes	—
306	C₂³	#397	1	2	yes	—
307	C₂³	#397	1	2	yes	—
308	C₂³	#400	1	8	yes	—
309	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
310	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
311	C₂³	C₂×#123	1	2	yes	—
312	C₂³	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
313	C₂³	C₂×#126	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	—	4	8	no	—
315	C₂×C₄	—	4	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	8	no	—
317	C₂×C₄	—	8	8	no	—
318	C₂×C₄	—	8	8	no	—
319	C₂×C₄	—	8	8	no	—
320	C₂×C₄	—	8	8	no	—
321	C₂×C₄	#382	1	4	yes	—
322	C₂×C₄	#382	1	4	yes	—
323	C₂×C₄	#385	1	4	yes	—
324	C₂×C₄	#385	1	4	yes	—
325	C₂×C₄	#387	1	8	yes	—
326	C₂×C₄	#388	1	8	yes	—
327	C₂×C₄	#388	1	8	yes	—
328	C₂×C₄	#389	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	#389	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	#393	1	4	yes	—
331	C₂×C₄	#393	1	4	yes	—
332	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	#397	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	#397	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	#398	1	8	yes	—
337	C₂×C₄	#398	1	8	yes	—
338	C₂×C₄	#400	1	4	yes	—
339	C₂×C₄	#400	1	4	yes	—
340	C₂×C₄	#400	1	8	yes	—
341	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	C₂×#125	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	C₂×#125	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	C₂×#126	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
359	C₈	—	2	4	no	—
360	C₈	—	2	4	no	—
361	C₈	—	4	4	no	—
362	C₈	—	4	8	no	—
363	C₂²	—	2	4	no	—
364	C₂²	—	2	4	no	—
365	C₂²	—	2	4	no	—
366	C₂²	—	2	2	no	—
367	C₂²	—	2	2	no	—
368	C₂²	—	2	4	no	—
369	C₂²	—	2	4	no	—
370	C₂²	—	2	4	no	—
371	C₂²	—	2	4	no	—
372	C₂²	—	2	4	no	—
373	C₂²	—	4	8	no	—
374	C₂²	—	4	8	no	—
375	C₂²	#1442	1	4	yes	—
376	C₂²	#1442	1	4	yes	—
377	C₂²	C₂×#387	1	2	yes	—
378	C₂²	C₂×#389	1	1	yes	characteristic
379	C₂²	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
380	C₂²	C₂×#397	1	1	yes	characteristic
381	C₂²	C₂×#400	1	2	yes	—
382	C₂²	#3067	1	4	yes	—
383	C₄	—	8	4	no	—
384	C₄	—	8	8	no	—
385	C₄	#1442	1	4	yes	—
386	C₄	#1442	1	4	yes	—
387	C₄	C₂×#382	1	1	yes	characteristic
388	C₄	C₂×#385	1	1	yes	characteristic
389	C₄	C₂×#388	1	2	yes	—
390	C₄	C₂×#393	1	1	yes	characteristic
391	C₄	C₂×#398	1	2	yes	—
392	C₄	C₂×#400	1	1	yes	characteristic
393	C₂	—	2	2	no	—
394	C₂	—	2	4	no	—
395	C₂	—	2	4	no	—
396	C₂	—	2	2	no	—
397	C₂	C₂×#1442	1	1	yes	characteristic
398	C₂	#21181	1	2	yes	—
399	C₂	#23520	1	2	yes	—
400	C₂	#23646	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	#121
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×#121
prime radical	C₂⁵	#41
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂⁴×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
6. #11271	C₂	semidirect
7. #11270	C₂	semidirect
20. C₂×#341	C₄	semidirect
82. #341	C₂×C₄	semidirect
83. #341	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#427	2
C₂×#1742	2
C₂²×#341	2
#20347	2
C₂×#1729	2
#11271	2
#11270	2