Subgroups — #358461

Order 512.

2270 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 346 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×#106	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2317	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1736	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1735	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1729	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11327	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	C₂³×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×#106	—	2	4	no	—
13	C₂²×#106	—	2	8	no	—
14	C₂²×#106	C₂²	1	4	yes	—
15	#2317	—	2	8	no	—
16	#2317	—	2	8	no	—
17	C₂×#389	C₂²	1	8	yes	—
18	C₂×#385	—	2	4	no	—
19	C₂×#384	—	2	2	no	—
20	C₂×#382	—	2	2	no	—
21	#1736	—	2	8	no	—
22	#1735	C₄	1	8	yes	complemented
23	C₂×#340	C₂²	1	8	yes	—
24	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
25	#1729	—	2	4	no	—
26	C₂×#336	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
28	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
30	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
31	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
32	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
33	C₂²×M₁₆	Q₈	1	4	yes	—
34	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
35	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
36	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
37	C₂³×C₈	D₄	1	4	yes	—
38	C₂³×C₈	Q₈	1	4	yes	—
39	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂×#117	—	2	4	no	—
42	C₂×#117	—	2	4	no	—
43	C₂×#117	—	2	4	no	—
44	C₂×#117	—	2	4	no	—
45	C₂×#117	—	2	4	no	—
46	C₂×#117	—	2	2	no	—
47	C₂×#117	—	2	2	no	—
48	C₂×#117	C₂×C₄	1	8	yes	—
49	C₂×#117	D₄	1	8	yes	—
50	C₂×#117	Q₈	1	8	yes	—
51	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
52	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
53	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
54	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
55	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
57	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
58	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
59	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	8	yes	—
60	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
63	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
64	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
65	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×#106	—	2	32	no	—
67	C₂×#106	—	2	8	no	—
68	C₂×#106	—	2	16	no	—
69	#389	—	2	16	no	—
70	#389	—	2	16	no	—
71	#385	—	2	32	no	—
72	#384	—	2	16	no	—
73	#382	—	2	16	no	—
74	C₂×#95	—	2	8	no	—
75	#340	—	2	16	no	—
76	#340	C₂×C₄	1	16	yes	complemented
77	#336	—	2	8	no	—
78	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
80	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
81	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
82	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
83	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
84	C₂³×C₄	—	8	8	no	—
85	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
86	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
87	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
94	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
95	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
96	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
97	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
98	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
99	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
100	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
101	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
102	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
103	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
113	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	16	yes	complemented
114	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
115	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
116	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
117	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
118	#117	—	2	16	no	—
119	#117	—	2	16	no	—
120	#117	—	2	16	no	—
121	#117	—	4	4	no	—
122	#117	—	4	8	no	—
123	#117	—	4	4	no	—
124	#117	C₄⋊C₄	1	32	yes	complemented
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
146	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
147	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
148	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
157	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
161	#106	—	2	32	no	—
162	#95	—	2	32	no	—
163	C₂⁴	—	2	8	no	—
164	C₂⁴	C₄×D₄	1	2	yes	—
165	C₂⁴	#120	1	4	yes	—
166	C₂⁴	#121	1	2	yes	—
167	C₂⁴	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
168	C₂⁴	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
169	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
178	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
179	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
180	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
181	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
184	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
185	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
186	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
187	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
189	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
190	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
191	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
192	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
193	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
194	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
195	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
201	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
202	C₂²×C₄	#123	1	8	yes	—
203	C₂²×C₄	#125	1	8	yes	—
204	C₂²×C₄	#125	1	4	yes	—
205	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
206	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
207	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
208	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
209	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
220	M₁₆	—	4	16	no	—
221	C₂×C₈	—	2	8	no	—
222	C₂×C₈	—	2	4	no	—
223	C₂×C₈	—	2	8	no	—
224	C₂×C₈	—	2	4	no	—
225	C₂×C₈	—	2	32	no	—
226	C₂×C₈	—	2	4	no	—
227	C₂×C₈	—	2	8	no	—
228	C₂×C₈	—	4	4	no	—
229	C₂×C₈	—	4	2	no	—
230	C₂×C₈	—	4	2	no	—
231	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
232	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
237	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
238	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
239	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
241	C₄⋊C₄	—	8	32	no	—
242	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
243	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
245	C₄²	—	2	32	no	—
246	C₄²	—	4	2	no	—
247	C₄²	—	4	4	no	—
248	C₄²	—	4	2	no	—
249	C₂³	—	2	16	no	—
250	C₂³	—	2	8	no	—
251	C₂³	—	2	8	no	—
252	C₂³	—	2	8	no	—
253	C₂³	—	2	8	no	—
254	C₂³	—	2	8	no	—
255	C₂³	#385	1	8	yes	—
256	C₂³	#389	1	4	yes	—
257	C₂³	#392	1	4	yes	—
258	C₂³	#395	1	8	yes	—
259	C₂³	#398	1	4	yes	—
260	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂³	C₂×#120	1	2	yes	—
262	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
263	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
264	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
265	C₂³	#577	1	8	yes	—
266	C₂×C₄	—	2	16	no	—
267	C₂×C₄	—	4	16	no	—
268	C₂×C₄	—	4	16	no	—
269	C₂×C₄	—	4	8	no	—
270	C₂×C₄	—	4	8	no	—
271	C₂×C₄	—	4	4	no	—
272	C₂×C₄	—	4	8	no	—
273	C₂×C₄	—	4	8	no	—
274	C₂×C₄	—	4	16	no	—
275	C₂×C₄	—	4	8	no	—
276	C₂×C₄	—	4	8	no	—
277	C₂×C₄	—	8	32	no	—
278	C₂×C₄	—	8	8	no	—
279	C₂×C₄	—	8	8	no	—
280	C₂×C₄	#384	1	8	yes	—
281	C₂×C₄	#385	1	8	yes	—
282	C₂×C₄	#385	1	8	yes	—
283	C₂×C₄	#389	1	4	yes	—
284	C₂×C₄	#389	1	16	yes	—
285	C₂×C₄	#392	1	4	yes	—
286	C₂×C₄	#395	1	8	yes	—
287	C₂×C₄	#395	1	8	yes	—
288	C₂×C₄	#398	1	16	yes	—
289	C₂×C₄	#398	1	4	yes	—
290	C₂×C₄	#399	1	8	yes	—
291	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	C₂×#125	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
309	C₈	—	2	8	no	—
310	C₈	—	4	4	no	—
311	C₂²	—	2	16	no	—
312	C₂²	—	2	8	no	—
313	C₂²	—	2	8	no	—
314	C₂²	—	2	16	no	—
315	C₂²	—	2	8	no	—
316	C₂²	#1444	1	8	yes	—
317	C₂²	C₂×#385	1	2	yes	—
318	C₂²	C₂×#389	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
320	C₂²	C₂×#395	1	2	yes	—
321	C₂²	C₂×#398	1	1	yes	characteristic
322	C₂²	#2952	1	4	yes	—
323	C₂²	#3009	1	4	yes	—
324	C₂²	#3010	1	4	yes	—
325	C₂²	#3057	1	4	yes	—
326	C₂²	#3084	1	8	yes	—
327	C₂²	#3163	1	4	yes	—
328	C₄	—	4	16	no	—
329	C₄	—	8	4	no	—
330	C₄	—	8	8	no	—
331	C₄	#1444	1	8	yes	—
332	C₄	C₂×#384	1	1	yes	characteristic
333	C₄	C₂×#385	1	1	yes	characteristic
334	C₄	C₂×#389	1	2	yes	—
335	C₄	C₂×#395	1	1	yes	characteristic
336	C₄	C₂×#398	1	2	yes	—
337	C₄	C₂×#399	1	1	yes	characteristic
338	C₂	—	2	8	no	—
339	C₂	C₂×#1444	1	1	yes	characteristic
340	C₂	#20882	1	4	yes	—
341	C₂	#21155	1	2	yes	—
342	C₂	#23388	1	2	yes	—
343	C₂	#23556	1	4	yes	—
344	C₂	#23668	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁵	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂²×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
6. #11327	C₂	semidirect
22. #1735	C₄	semidirect
76. #340	C₂×C₄	semidirect
113. C₂²×C₈	C₄⋊C₄	semidirect
124. #117	C₄⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×#106	2
C₂×#2317	2
C₂×#1736	2
C₂×#1735	2
C₂×#1729	2
#11327	2