Subgroups — #358472

Order 512.

1958 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 411 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2911	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂²×#427	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#1742	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂²×#341	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1729	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11331	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#11330	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂³×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
13	#2911	—	2	8	no	—
14	#2911	—	2	8	no	—
15	C₂×#428	—	2	4	no	—
16	C₂×#428	C₂²	1	8	yes	—
17	C₂×#427	—	2	2	no	—
18	C₂×#427	—	2	2	no	—
19	C₂×#427	—	2	8	no	—
20	C₂×#427	—	2	4	no	—
21	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	—
23	#1742	—	2	8	no	—
24	C₂×#343	C₂²	1	8	yes	—
25	C₂×#341	C₄	1	8	yes	complemented
26	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
28	#1729	—	2	2	no	—
29	#1729	C₂²	1	2	yes	—
30	#1729	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#336	—	2	2	no	—
32	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
34	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
35	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
36	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
37	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
38	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
39	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
40	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
41	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
42	C₂²×M₁₆	D₄	1	8	yes	—
43	C₂²×M₁₆	Q₈	1	4	yes	—
44	C₂²×M₁₆	Q₈	1	8	yes	—
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
48	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
49	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
50	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
51	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
53	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
54	C₂³×C₈	Q₈	1	4	yes	—
55	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×#117	—	2	1	no	—
58	C₂×#117	—	2	4	no	—
59	C₂×#117	—	2	1	no	—
60	C₂×#117	—	2	4	no	—
61	C₂×#117	—	2	2	no	—
62	C₂×#117	—	2	2	no	—
63	C₂×#117	—	2	2	no	—
64	C₂×#117	—	2	2	no	—
65	C₂×#117	—	2	4	no	—
66	C₂×#117	—	2	4	no	—
67	C₂×#117	—	2	4	no	—
68	C₂×#117	D₄	1	2	yes	—
69	C₂×#117	D₄	1	8	yes	—
70	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
72	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
73	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
74	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
75	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
76	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
77	#428	—	2	32	no	—
78	#428	—	2	16	no	—
79	#428	—	2	16	no	—
80	#427	—	2	16	no	—
81	#427	—	2	16	no	—
82	#427	—	2	32	no	—
83	C₂×#107	—	2	4	no	—
84	C₂×#107	—	2	8	no	—
85	C₂×#107	—	2	8	no	—
86	C₂×#106	—	2	4	no	—
87	C₂×#106	—	2	8	no	—
88	C₂×#106	—	2	8	no	—
89	#343	—	2	16	no	—
90	#341	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
91	#341	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
92	#336	—	2	4	no	—
93	#336	—	2	4	no	—
94	C₂⁵	#41	1	1	yes	characteristic
95	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
96	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
97	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
98	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
100	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
105	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
106	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
107	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
108	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
109	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
110	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
111	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
112	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
125	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
126	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
127	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
128	C₂×M₁₆	C₄⋊C₄	1	32	yes	—
129	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
130	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
131	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
132	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	8	yes	—
133	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
148	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
150	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
151	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
152	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
153	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
154	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
155	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
157	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
158	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
159	#117	—	2	8	no	—
160	#117	—	2	8	no	—
161	#117	—	2	8	no	—
162	#117	—	2	8	no	—
163	#117	—	2	8	no	—
164	#117	—	2	4	no	—
165	#117	—	2	4	no	—
166	#117	—	4	2	no	—
167	#117	—	4	4	no	—
168	#117	—	4	4	no	—
169	#117	—	4	4	no	—
170	#117	—	4	2	no	—
171	#117	—	4	4	no	—
172	#117	—	4	4	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
181	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
189	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
190	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
192	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
193	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
194	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
195	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
196	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
197	#107	—	2	16	no	—
198	#107	—	2	32	no	—
199	#106	—	2	16	no	—
200	#106	—	2	32	no	—
201	C₂⁴	—	4	4	no	—
202	C₂⁴	C₄×Q₈	1	2	yes	—
203	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
204	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
205	C₂⁴	#121	1	4	yes	—
206	C₂⁴	#125	1	2	yes	—
207	C₂⁴	#125	1	4	yes	—
208	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
216	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
219	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
221	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
225	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
227	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
228	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
237	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	#123	1	8	yes	—
240	C₂²×C₄	#125	1	4	yes	—
241	C₂²×C₄	#125	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
246	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
249	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
260	M₁₆	—	2	8	no	—
261	M₁₆	—	2	8	no	—
262	M₁₆	—	2	8	no	—
263	M₁₆	—	2	32	no	—
264	M₁₆	—	2	8	no	—
265	M₁₆	—	4	4	no	—
266	M₁₆	—	4	8	no	—
267	M₁₆	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
268	C₂×C₈	—	2	4	no	—
269	C₂×C₈	—	2	4	no	—
270	C₂×C₈	—	2	8	no	—
271	C₂×C₈	—	2	2	no	—
272	C₂×C₈	—	2	8	no	—
273	C₂×C₈	—	2	2	no	—
274	C₂×C₈	—	2	4	no	—
275	C₂×C₈	—	2	4	no	—
276	C₂×C₈	—	2	8	no	—
277	C₂×C₈	—	2	2	no	—
278	C₂×C₈	—	2	2	no	—
279	C₂×C₈	—	2	16	no	—
280	C₂×C₈	—	2	16	no	—
281	C₂×C₈	—	2	32	no	—
282	C₂×C₈	—	2	4	no	—
283	C₂×C₈	—	4	2	no	—
284	C₂×C₈	—	4	2	no	—
285	C₂×C₈	—	4	8	no	—
286	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
287	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
288	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
291	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
298	C₄²	—	4	2	no	—
299	C₄²	—	4	2	no	—
300	C₄²	—	4	8	no	—
301	C₄²	—	4	4	no	—
302	C₄²	—	4	8	no	—
303	C₂³	—	2	4	no	—
304	C₂³	—	2	4	no	—
305	C₂³	—	2	4	no	—
306	C₂³	—	4	4	no	—
307	C₂³	—	4	8	no	—
308	C₂³	—	4	8	no	—
309	C₂³	—	4	4	no	—
310	C₂³	#389	1	2	yes	—
311	C₂³	#389	1	2	yes	—
312	C₂³	#389	1	8	yes	—
313	C₂³	#392	1	2	yes	—
314	C₂³	#392	1	2	yes	—
315	C₂³	#398	1	2	yes	—
316	C₂³	#398	1	2	yes	—
317	C₂³	#398	1	8	yes	—
318	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
319	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
320	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
321	C₂³	C₂×#125	1	2	yes	—
322	C₂³	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	—	4	4	no	—
324	C₂×C₄	—	4	8	no	—
325	C₂×C₄	—	4	8	no	—
326	C₂×C₄	—	8	8	no	—
327	C₂×C₄	—	8	8	no	—
328	C₂×C₄	—	8	8	no	—
329	C₂×C₄	—	8	8	no	—
330	C₂×C₄	#384	1	4	yes	—
331	C₂×C₄	#384	1	4	yes	—
332	C₂×C₄	#385	1	4	yes	—
333	C₂×C₄	#385	1	4	yes	—
334	C₂×C₄	#385	1	8	yes	—
335	C₂×C₄	#385	1	8	yes	—
336	C₂×C₄	#389	1	8	yes	—
337	C₂×C₄	#389	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	#389	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	#392	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	#395	1	4	yes	—
342	C₂×C₄	#395	1	8	yes	—
343	C₂×C₄	#395	1	8	yes	—
344	C₂×C₄	#395	1	4	yes	—
345	C₂×C₄	#398	1	8	yes	—
346	C₂×C₄	#398	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	#398	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	#399	1	4	yes	—
349	C₂×C₄	#399	1	4	yes	—
350	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
365	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
366	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
368	C₈	—	2	4	no	—
369	C₈	—	2	4	no	—
370	C₈	—	2	16	no	—
371	C₈	—	4	4	no	—
372	C₂²	—	2	4	no	—
373	C₂²	—	2	4	no	—
374	C₂²	—	2	4	no	—
375	C₂²	—	2	4	no	—
376	C₂²	—	2	4	no	—
377	C₂²	—	2	4	no	—
378	C₂²	—	2	2	no	—
379	C₂²	—	2	2	no	—
380	C₂²	—	2	4	no	—
381	C₂²	—	2	4	no	—
382	C₂²	—	4	8	no	—
383	C₂²	—	4	8	no	—
384	C₂²	#1444	1	4	yes	—
385	C₂²	#1444	1	4	yes	—
386	C₂²	C₂×#389	1	2	yes	—
387	C₂²	C₂×#389	1	1	yes	characteristic
388	C₂²	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
389	C₂²	C₂×#398	1	2	yes	—
390	C₂²	C₂×#398	1	1	yes	characteristic
391	C₂²	#3067	1	4	yes	—
392	C₄	—	8	4	no	—
393	C₄	—	8	8	no	—
394	C₄	#1444	1	4	yes	—
395	C₄	#1444	1	4	yes	—
396	C₄	C₂×#384	1	1	yes	characteristic
397	C₄	C₂×#385	1	1	yes	characteristic
398	C₄	C₂×#385	1	2	yes	—
399	C₄	C₂×#395	1	1	yes	characteristic
400	C₄	C₂×#395	1	2	yes	—
401	C₄	C₂×#399	1	1	yes	characteristic
402	C₂	—	2	2	no	—
403	C₂	—	2	4	no	—
404	C₂	—	2	4	no	—
405	C₂	—	2	2	no	—
406	C₂	C₂×#1444	1	1	yes	characteristic
407	C₂	#21181	1	2	yes	—
408	C₂	#23438	1	2	yes	—
409	C₂	#23674	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	#121
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×#121
prime radical	C₂⁵	#41
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂⁴×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
6. #11331	C₂	semidirect
7. #11330	C₂	semidirect
25. C₂×#341	C₄	semidirect
90. #341	C₂×C₄	semidirect
91. #341	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2911	2
C₂²×#427	2
C₂×#1742	2
C₂²×#341	2
C₂×#1729	2
#11331	2
#11330	2