Subgroups — #358538

Order 512.

2370 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 285 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1728	C₂	1	4	yes	maximal
3	C₂×#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11346	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
7	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂³×C₄⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
9	C₂³×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
12	C₂×C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
13	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₄	1	4	yes	—
14	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂²×#95	C₄	1	2	yes	—
16	#1728	—	2	4	no	—
17	#1728	—	2	4	no	—
18	#1728	—	2	16	no	—
19	C₂×#336	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#336	C₂²	1	16	yes	—
21	C₂×#336	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
23	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
24	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
25	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
26	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
27	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
28	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
29	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
30	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
31	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
32	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
33	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
34	C₂²×M₁₆	D₄	1	8	yes	—
35	C₂²×M₁₆	Q₈	1	8	yes	—
36	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
37	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
38	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
39	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
40	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
42	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
43	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
44	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
45	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
46	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
47	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
50	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
51	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
53	C₄×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
54	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
55	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
56	C₂×#95	—	2	8	no	—
57	C₂×#95	C₂×C₄	1	8	yes	—
58	#336	—	2	32	no	—
59	#336	—	2	8	no	—
60	#336	—	2	8	no	—
61	C₂⁵	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
63	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
64	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
65	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
66	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
67	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
68	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
69	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
70	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
71	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
72	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
73	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
74	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
75	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
77	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
78	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
79	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
80	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
81	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
82	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
83	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
84	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
85	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
86	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
87	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
88	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
89	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
90	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
91	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
92	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
93	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
94	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
95	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
96	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
97	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
98	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
99	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
100	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
101	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
102	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
103	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
104	C₂×C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
105	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
106	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
107	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
108	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
109	C₂×C₄⋊C₄	M₁₆	1	16	yes	complemented
110	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
111	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
112	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
113	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
114	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
115	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
116	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
117	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
118	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
119	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
120	C₂×C₄²	—	4	16	no	—
121	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
122	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
123	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
124	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
125	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
126	#95	—	2	16	no	—
127	C₂⁴	—	2	4	no	—
128	C₂⁴	—	2	4	no	—
129	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
130	C₂⁴	#117	1	4	yes	—
131	C₂⁴	C₄×D₄	1	4	yes	—
132	C₂⁴	C₄×Q₈	1	4	yes	—
133	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
135	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
136	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
137	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
138	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
139	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
140	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
141	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
142	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
147	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
148	C₂²×C₄	—	4	64	no	—
149	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
150	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
151	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
152	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
153	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
154	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
155	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
156	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
157	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
158	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
159	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	16	yes	—
160	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
161	C₂²×C₄	#123	1	8	yes	—
162	C₂²×C₄	#123	1	8	yes	—
163	C₂²×C₄	#123	1	16	yes	—
164	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
165	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
166	C₂²×C₄	#125	1	16	yes	—
167	C₂²×C₄	#126	1	16	yes	—
168	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
169	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
170	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	16	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
172	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
176	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
177	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
179	M₁₆	—	4	32	no	—
180	M₁₆	—	4	32	no	—
181	C₂×C₈	—	2	8	no	—
182	C₂×C₈	—	2	16	no	—
183	C₂×C₈	—	2	8	no	—
184	C₂×C₈	—	2	16	no	—
185	C₂×C₈	—	4	4	no	—
186	C₂×C₈	—	4	8	no	—
187	C₂×C₈	—	4	4	no	—
188	C₂×C₈	—	4	4	no	—
189	C₂×C₈	—	4	8	no	—
190	C₂×C₈	—	4	4	no	—
191	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
192	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
193	C₄²	—	2	8	no	—
194	C₄²	—	2	8	no	—
195	C₄²	—	2	16	no	—
196	C₄²	—	4	8	no	—
197	C₄²	—	4	4	no	—
198	C₄²	—	4	4	no	—
199	C₄²	—	4	16	no	—
200	C₂³	—	2	4	no	—
201	C₂³	—	2	4	no	—
202	C₂³	—	2	8	no	—
203	C₂³	—	2	8	no	—
204	C₂³	—	2	16	no	—
205	C₂³	—	2	16	no	—
206	C₂³	#381	1	4	yes	—
207	C₂³	#387	1	16	yes	—
208	C₂³	#390	1	4	yes	—
209	C₂³	#391	1	4	yes	—
210	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂³	C₂×#117	1	2	yes	—
212	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
213	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
214	C₂³	C₂²×M₁₆	1	4	yes	—
215	C₂³	#568	1	4	yes	—
216	C₂×C₄	—	2	32	no	—
217	C₂×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂×C₄	—	2	16	no	—
219	C₂×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂×C₄	—	2	16	no	—
221	C₂×C₄	—	2	8	no	—
222	C₂×C₄	—	2	32	no	—
223	C₂×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂×C₄	—	4	64	no	—
225	C₂×C₄	—	4	16	no	—
226	C₂×C₄	—	4	8	no	—
227	C₂×C₄	—	4	8	no	—
228	C₂×C₄	—	4	16	no	—
229	C₂×C₄	—	4	8	no	—
230	C₂×C₄	#381	1	4	yes	—
231	C₂×C₄	#387	1	16	yes	—
232	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
233	C₂×C₄	#391	1	4	yes	—
234	C₂×C₄	#397	1	16	yes	—
235	C₂×C₄	#398	1	16	yes	—
236	C₂×C₄	#399	1	16	yes	—
237	C₂×C₄	#400	1	16	yes	—
238	C₂×C₄	#407	1	8	yes	—
239	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
240	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
241	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
242	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
243	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
244	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
245	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
246	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
247	C₂×C₄	C₂×#125	1	4	yes	—
248	C₂×C₄	C₂×#126	1	4	yes	—
249	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
250	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
251	C₈	—	4	8	no	—
252	C₈	—	4	8	no	—
253	C₂²	—	2	32	no	—
254	C₂²	—	2	8	no	—
255	C₂²	—	2	8	no	—
256	C₂²	—	2	4	no	—
257	C₂²	—	2	4	no	—
258	C₂²	#1445	1	8	yes	—
259	C₂²	C₂×#381	1	1	yes	characteristic
260	C₂²	C₂×#387	1	4	yes	—
261	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
262	C₂²	C₂×#391	1	1	yes	characteristic
263	C₂²	C₂×#407	1	2	yes	—
264	C₂²	#2879	1	2	yes	—
265	C₂²	#2920	1	4	yes	—
266	C₂²	#2921	1	4	yes	—
267	C₂²	D₄×M₁₆	1	8	yes	—
268	C₂²	Q₈×M₁₆	1	8	yes	—
269	C₄	—	2	8	no	—
270	C₄	—	4	16	no	—
271	C₄	—	4	4	no	—
272	C₄	#1445	1	8	yes	—
273	C₄	C₂×#397	1	2	yes	—
274	C₄	C₂×#398	1	2	yes	—
275	C₄	C₂×#399	1	2	yes	—
276	C₄	C₂×#400	1	2	yes	—
277	C₂	—	2	8	no	—
278	C₂	C₂×#1445	1	1	yes	characteristic
279	C₂	#20682	1	1	yes	characteristic
280	C₂	#20683	1	1	yes	characteristic
281	C₂	#21023	1	8	yes	—
282	C₂	#21190	1	2	yes	—
283	C₂	#21303	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
commutator, socle	C₂⁴	C₂³×C₄
prime radical	C₂⁵	C₂²×C₄
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #11346	C₂	semidirect
109. C₂×C₄⋊C₄	M₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×C₄⋊C₄	2
C₂×#1728	2
#11346	2