Subgroups — #358563

Order 512.

2122 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 332 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2285	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1736	C₂	1	4	yes	maximal
3	C₂×#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×C₄⋊#95	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11358	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#11357	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#2285	—	2	4	no	—
12	#2285	C₄	1	8	yes	complemented
13	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#380	—	2	2	no	—
16	C₂×C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
17	C₂²×#95	—	2	2	no	—
18	#1736	—	2	16	no	—
19	C₂×#340	C₂²	1	16	yes	—
20	#1728	—	2	4	no	—
21	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
23	C₄⋊#95	—	2	2	no	—
24	C₄⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
25	C₄⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
27	C₂⁴×C₄	D₄	1	2	yes	—
28	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
30	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
31	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
32	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
33	C₂²×M₁₆	Q₈	1	8	yes	—
34	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
35	C₂×#117	—	2	4	no	—
36	C₂×#117	—	2	8	no	—
37	C₂×#117	—	2	8	no	—
38	C₂×#117	C₂×C₄	1	8	yes	—
39	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
40	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
41	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
42	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
43	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
44	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	8	yes	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
49	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
50	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
51	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	#384	—	2	4	no	—
57	#384	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
58	#382	—	2	4	no	—
59	#382	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
60	#380	—	2	16	no	—
61	C₄×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
62	C₂×#95	—	2	4	no	—
63	C₂×#95	—	2	4	no	—
64	C₂×#95	—	2	4	no	—
65	C₂×#95	—	4	8	no	—
66	#340	—	2	32	no	—
67	#336	—	2	4	no	—
68	#336	—	2	4	no	—
69	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
71	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
72	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
73	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
74	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
75	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
76	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
77	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
78	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
79	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
80	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
81	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
82	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
83	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
84	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
85	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
87	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
89	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
90	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
91	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
93	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
94	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
95	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
96	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
97	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
98	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
99	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
100	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
101	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
102	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
103	#117	—	2	32	no	—
104	#117	—	4	8	no	—
105	#117	—	4	8	no	—
106	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
107	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
108	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
109	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
110	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
111	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
126	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
127	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
128	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
129	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
131	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
132	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
133	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
134	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
135	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
136	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	#95	—	2	16	no	—
139	#95	—	4	8	no	—
140	#95	—	4	8	no	—
141	C₂⁴	—	2	2	no	—
142	C₂⁴	—	2	2	no	—
143	C₂⁴	—	2	4	no	—
144	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
145	C₂⁴	#121	1	4	yes	—
146	C₂⁴	#123	1	4	yes	—
147	C₂⁴	#124	1	2	yes	—
148	C₂⁴	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
149	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
151	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
152	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
153	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
160	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
161	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
162	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
163	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
164	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
165	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
166	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
167	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
168	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
169	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
170	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
171	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
172	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
173	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
174	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
175	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
176	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
177	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
179	C₂²×C₄	#117	1	8	yes	—
180	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
181	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	8	yes	—
182	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
183	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	16	yes	—
184	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
185	C₂²×C₄	#123	1	8	yes	—
186	C₂²×C₄	#123	1	16	yes	—
187	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
188	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
189	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
190	C₂²×C₄	#125	1	16	yes	—
191	C₂²×C₄	#126	1	16	yes	—
192	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
193	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
195	C₂²×C₄	#137	1	4	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
203	M₁₆	—	4	32	no	—
204	C₂×C₈	—	2	8	no	—
205	C₂×C₈	—	2	16	no	—
206	C₂×C₈	—	4	4	no	—
207	C₂×C₈	—	4	8	no	—
208	C₂×C₈	—	4	4	no	—
209	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
210	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
211	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
212	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
213	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
214	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
215	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
216	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
217	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
218	C₄²	—	2	4	no	—
219	C₄²	—	2	4	no	—
220	C₄²	—	2	4	no	—
221	C₄²	—	2	4	no	—
222	C₄²	—	2	16	no	—
223	C₄²	—	4	16	no	—
224	C₂³	—	2	8	no	—
225	C₂³	—	2	8	no	—
226	C₂³	—	2	2	no	—
227	C₂³	—	2	2	no	—
228	C₂³	—	2	4	no	—
229	C₂³	—	2	4	no	—
230	C₂³	—	2	4	no	—
231	C₂³	—	2	4	no	—
232	C₂³	—	2	4	no	—
233	C₂³	—	2	8	no	—
234	C₂³	—	2	8	no	—
235	C₂³	#381	1	4	yes	—
236	C₂³	#390	1	4	yes	—
237	C₂³	#391	1	4	yes	—
238	C₂³	#397	1	8	yes	—
239	C₂³	#398	1	8	yes	—
240	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
242	C₂³	C₂×#123	1	2	yes	—
243	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
244	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
245	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
246	C₂³	C₂×#137	1	2	yes	—
247	C₂³	#575	1	4	yes	—
248	C₂×C₄	—	2	8	no	—
249	C₂×C₄	—	2	8	no	—
250	C₂×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂×C₄	—	4	32	no	—
256	C₂×C₄	—	4	4	no	—
257	C₂×C₄	—	4	4	no	—
258	C₂×C₄	—	4	8	no	—
259	C₂×C₄	—	4	8	no	—
260	C₂×C₄	—	4	8	no	—
261	C₂×C₄	—	4	16	no	—
262	C₂×C₄	—	4	8	no	—
263	C₂×C₄	—	8	32	no	—
264	C₂×C₄	—	8	8	no	—
265	C₂×C₄	—	8	4	no	—
266	C₂×C₄	—	8	4	no	—
267	C₂×C₄	—	8	8	no	—
268	C₂×C₄	—	8	8	no	—
269	C₂×C₄	#381	1	4	yes	—
270	C₂×C₄	#387	1	32	yes	—
271	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
272	C₂×C₄	#391	1	4	yes	—
273	C₂×C₄	#397	1	8	yes	—
274	C₂×C₄	#398	1	8	yes	—
275	C₂×C₄	#399	1	16	yes	—
276	C₂×C₄	#400	1	16	yes	—
277	C₂×C₄	#417	1	8	yes	—
278	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
279	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
280	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
281	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
282	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
283	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
284	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
285	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
286	C₂×C₄	C₂×#125	1	4	yes	—
287	C₂×C₄	C₂×#126	1	4	yes	—
288	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
289	C₈	—	4	8	no	—
290	C₂²	—	2	8	no	—
291	C₂²	—	2	4	no	—
292	C₂²	—	2	4	no	—
293	C₂²	—	2	8	no	—
294	C₂²	—	2	8	no	—
295	C₂²	—	2	16	no	—
296	C₂²	—	2	8	no	—
297	C₂²	#1445	1	8	yes	—
298	C₂²	C₂×#381	1	1	yes	characteristic
299	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
300	C₂²	C₂×#391	1	1	yes	characteristic
301	C₂²	C₂×#397	1	2	yes	—
302	C₂²	C₂×#398	1	2	yes	—
303	C₂²	C₂×#417	1	2	yes	—
304	C₂²	#2896	1	2	yes	—
305	C₂²	#3036	1	4	yes	—
306	C₂²	#3037	1	4	yes	—
307	C₂²	#3094	1	4	yes	—
308	C₂²	#3095	1	4	yes	—
309	C₂²	#3138	1	1	yes	characteristic
310	C₂²	#3139	1	1	yes	characteristic
311	C₂²	#3140	1	2	yes	—
312	C₂²	#3165	1	2	yes	—
313	C₂²	#3166	1	2	yes	—
314	C₄	—	2	8	no	—
315	C₄	—	4	4	no	—
316	C₄	—	8	8	no	—
317	C₄	—	8	8	no	—
318	C₄	#1445	1	8	yes	—
319	C₄	C₂×#387	1	4	yes	—
320	C₄	C₂×#399	1	2	yes	—
321	C₄	C₂×#400	1	2	yes	—
322	C₂	—	2	8	no	—
323	C₂	C₂×#1445	1	1	yes	characteristic
324	C₂	#20702	1	2	yes	—
325	C₂	#21258	1	2	yes	—
326	C₂	#21322	1	1	yes	characteristic
327	C₂	#21323	1	1	yes	characteristic
328	C₂	#23628	1	2	yes	—
329	C₂	#23629	1	2	yes	—
330	C₂	#23657	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁵	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #11358	C₂	semidirect
6. #11357	C₂	semidirect
12. #2285	C₄	semidirect
57. #384	C₂×C₄	semidirect
59. #382	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2285	2
C₂×#1736	2
C₂×#1728	2
C₂×C₄⋊#95	2
#11358	2
#11357	2