Subgroups — #358581

Order 512.

2122 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 355 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2285	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1736	C₂	1	4	yes	maximal
3	C₂×#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×C₄⋊#95	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11373	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11372	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#11371	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#2285	—	2	4	no	—
13	#2285	C₄	1	8	yes	complemented
14	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#380	—	2	2	no	—
18	C₂×C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
19	C₂²×#95	—	2	2	no	—
20	#1736	—	2	16	no	—
21	C₂×#340	C₂²	1	8	yes	—
22	C₂×#340	C₂²	1	8	yes	—
23	#1728	—	2	4	no	—
24	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
26	C₄⋊#95	—	2	2	no	—
27	C₄⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
28	C₄⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
30	C₂⁴×C₄	D₄	1	2	yes	—
31	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
33	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
34	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
35	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
36	C₂²×M₁₆	D₄	1	8	yes	—
37	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
38	C₂×#117	—	2	4	no	—
39	C₂×#117	—	2	8	no	—
40	C₂×#117	—	2	8	no	—
41	C₂×#117	C₂×C₄	1	8	yes	—
42	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
43	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
44	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	Q₈	1	8	yes	—
49	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
53	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
54	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
55	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
57	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	#384	—	2	2	no	—
61	#384	—	2	2	no	—
62	#384	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
63	#384	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
64	#382	—	2	4	no	—
65	#382	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
66	#380	—	2	16	no	—
67	C₄×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
68	C₂×#95	—	2	4	no	—
69	C₂×#95	—	2	4	no	—
70	C₂×#95	—	2	4	no	—
71	C₂×#95	—	4	8	no	—
72	#340	—	2	16	no	—
73	#340	—	2	16	no	—
74	#336	—	2	4	no	—
75	#336	—	2	4	no	—
76	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
78	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
79	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
80	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
81	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
82	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
83	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
84	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
85	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
86	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
87	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
88	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
89	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
96	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
97	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
98	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
99	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
100	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
101	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
102	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
103	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
104	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
105	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
110	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
111	#117	—	2	32	no	—
112	#117	—	4	16	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
133	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
134	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
138	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
139	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
140	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
141	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
142	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
144	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
145	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
146	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
147	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	#95	—	2	16	no	—
152	#95	—	4	8	no	—
153	#95	—	4	8	no	—
154	C₂⁴	—	2	2	no	—
155	C₂⁴	—	2	2	no	—
156	C₂⁴	—	2	4	no	—
157	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
158	C₂⁴	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
159	C₂⁴	#123	1	4	yes	—
160	C₂⁴	#124	1	2	yes	—
161	C₂⁴	#127	1	2	yes	—
162	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
174	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
175	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
176	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
177	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
178	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
180	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
185	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
188	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
189	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
190	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
191	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
192	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
193	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	#117	1	8	yes	—
197	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	8	yes	—
198	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	8	yes	—
199	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	16	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
202	C₂²×C₄	#123	1	8	yes	—
203	C₂²×C₄	#123	1	16	yes	—
204	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
205	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
206	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
207	C₂²×C₄	#125	1	16	yes	—
208	C₂²×C₄	#126	1	16	yes	—
209	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
211	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
212	C₂²×C₄	#137	1	4	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
220	M₁₆	—	4	32	no	—
221	C₂×C₈	—	2	8	no	—
222	C₂×C₈	—	2	16	no	—
223	C₂×C₈	—	4	4	no	—
224	C₂×C₈	—	4	4	no	—
225	C₂×C₈	—	4	8	no	—
226	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
227	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
228	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
229	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
230	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
231	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
232	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
233	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
234	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
236	C₄²	—	2	4	no	—
237	C₄²	—	2	4	no	—
238	C₄²	—	2	4	no	—
239	C₄²	—	2	4	no	—
240	C₄²	—	2	16	no	—
241	C₄²	—	4	16	no	—
242	C₂³	—	2	8	no	—
243	C₂³	—	2	8	no	—
244	C₂³	—	2	8	no	—
245	C₂³	—	2	8	no	—
246	C₂³	—	2	4	no	—
247	C₂³	—	2	4	no	—
248	C₂³	—	2	4	no	—
249	C₂³	—	2	2	no	—
250	C₂³	—	2	4	no	—
251	C₂³	—	2	2	no	—
252	C₂³	—	2	4	no	—
253	C₂³	#381	1	4	yes	—
254	C₂³	#390	1	4	yes	—
255	C₂³	#391	1	4	yes	—
256	C₂³	#399	1	8	yes	—
257	C₂³	#400	1	8	yes	—
258	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
260	C₂³	C₂×#123	1	2	yes	—
261	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
262	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
263	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
264	C₂³	C₂×#137	1	2	yes	—
265	C₂³	#575	1	4	yes	—
266	C₂×C₄	—	2	8	no	—
267	C₂×C₄	—	2	8	no	—
268	C₂×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂×C₄	—	2	4	no	—
273	C₂×C₄	—	4	32	no	—
274	C₂×C₄	—	4	4	no	—
275	C₂×C₄	—	4	4	no	—
276	C₂×C₄	—	4	16	no	—
277	C₂×C₄	—	4	8	no	—
278	C₂×C₄	—	4	8	no	—
279	C₂×C₄	—	4	8	no	—
280	C₂×C₄	—	4	4	no	—
281	C₂×C₄	—	4	4	no	—
282	C₂×C₄	—	8	32	no	—
283	C₂×C₄	—	8	8	no	—
284	C₂×C₄	—	8	4	no	—
285	C₂×C₄	—	8	4	no	—
286	C₂×C₄	—	8	2	no	—
287	C₂×C₄	—	8	4	no	—
288	C₂×C₄	—	8	2	no	—
289	C₂×C₄	—	8	4	no	—
290	C₂×C₄	—	8	4	no	—
291	C₂×C₄	#381	1	4	yes	—
292	C₂×C₄	#387	1	32	yes	—
293	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
294	C₂×C₄	#391	1	4	yes	—
295	C₂×C₄	#397	1	16	yes	—
296	C₂×C₄	#398	1	16	yes	—
297	C₂×C₄	#399	1	8	yes	—
298	C₂×C₄	#400	1	8	yes	—
299	C₂×C₄	#417	1	8	yes	—
300	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
305	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
307	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	C₂×#125	1	4	yes	—
309	C₂×C₄	C₂×#126	1	4	yes	—
310	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
311	C₈	—	4	8	no	—
312	C₂²	—	2	8	no	—
313	C₂²	—	2	8	no	—
314	C₂²	—	2	8	no	—
315	C₂²	—	2	16	no	—
316	C₂²	—	2	4	no	—
317	C₂²	—	2	4	no	—
318	C₂²	—	2	8	no	—
319	C₂²	#1445	1	8	yes	—
320	C₂²	C₂×#381	1	1	yes	characteristic
321	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
322	C₂²	C₂×#391	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	C₂×#399	1	2	yes	—
324	C₂²	C₂×#400	1	2	yes	—
325	C₂²	C₂×#417	1	2	yes	—
326	C₂²	#2896	1	2	yes	—
327	C₂²	#3077	1	4	yes	—
328	C₂²	#3078	1	4	yes	—
329	C₂²	#3094	1	4	yes	—
330	C₂²	#3095	1	4	yes	—
331	C₂²	#3141	1	2	yes	—
332	C₂²	#3142	1	2	yes	—
333	C₂²	#3151	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	#3152	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	#3153	1	2	yes	—
336	C₄	—	2	8	no	—
337	C₄	—	4	4	no	—
338	C₄	—	8	8	no	—
339	C₄	—	8	4	no	—
340	C₄	—	8	4	no	—
341	C₄	#1445	1	8	yes	—
342	C₄	C₂×#387	1	4	yes	—
343	C₄	C₂×#397	1	2	yes	—
344	C₄	C₂×#398	1	2	yes	—
345	C₂	—	2	8	no	—
346	C₂	C₂×#1445	1	1	yes	characteristic
347	C₂	#20702	1	2	yes	—
348	C₂	#21200	1	1	yes	characteristic
349	C₂	#21201	1	1	yes	characteristic
350	C₂	#21312	1	2	yes	—
351	C₂	#23731	1	2	yes	—
352	C₂	#23732	1	2	yes	—
353	C₂	#23747	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁵	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #11373	C₂	semidirect
6. #11372	C₂	semidirect
7. #11371	C₂	semidirect
13. #2285	C₄	semidirect
62. #384	C₂×C₄	semidirect
63. #384	C₂×C₄	semidirect
65. #382	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2285	2
C₂×#1736	2
C₂×#1728	2
C₂×C₄⋊#95	2
#11373	2
#11372	2
#11371	2