Subgroups — #358594

Order 512.

1770 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 346 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2911	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1738	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂²×#339	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20335	C₂	1	2	yes	maximal
5	C₂×#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11376	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂³×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂³×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#2911	—	2	4	no	—
13	#2911	—	2	4	no	—
14	C₂×#428	C₄	1	8	yes	complemented
15	C₂×#427	C₂²	1	4	yes	—
16	#1738	—	2	4	no	—
17	C₂×#341	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#339	—	2	8	no	—
19	C₂×#339	C₂²	1	8	yes	—
20	#1729	—	2	4	no	—
21	#1729	C₂²	1	8	yes	—
22	#1728	—	2	4	no	—
23	#1728	—	2	4	no	—
24	C₂×#336	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂⁴×C₄	—	2	1	no	—
26	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
27	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
28	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
29	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
30	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
31	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
32	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
33	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
34	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
35	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
36	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
37	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
38	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
39	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	C₂²×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
41	C₂²×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
42	C₂²×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
43	C₂²×M₁₆	Q₈	1	8	yes	—
44	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
45	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
46	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×#117	—	2	2	no	—
49	C₂×#117	—	2	2	no	—
50	C₂×#117	—	2	4	no	—
51	C₂×#117	—	2	4	no	—
52	C₂×#117	—	2	4	no	—
53	C₂×#117	—	2	4	no	—
54	C₂×#117	C₂×C₄	1	4	yes	—
55	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
58	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
59	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
60	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
61	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
62	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
63	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
64	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
65	#428	—	2	32	no	—
66	#427	—	2	8	no	—
67	#427	—	2	8	no	—
68	C₂×#107	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
69	C₂×#106	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
70	#341	—	2	8	no	—
71	#339	—	2	16	no	—
72	#336	—	2	8	no	—
73	#336	—	2	16	no	—
74	C₂⁵	#41	1	1	yes	characteristic
75	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
76	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
77	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
78	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
79	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
80	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
81	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
82	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
83	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
84	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
85	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
86	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
87	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
88	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
89	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
90	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
92	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
93	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
94	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
95	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
96	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
97	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
98	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
99	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
100	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
101	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
102	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
103	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
104	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
105	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
106	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
107	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
108	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
109	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
110	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
111	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
112	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
113	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
114	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
115	C₂×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
116	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	8	yes	—
117	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
125	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
126	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
127	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
128	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
129	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
130	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
131	#117	—	2	8	no	—
132	#117	—	2	8	no	—
133	#117	—	2	4	no	—
134	#117	—	2	4	no	—
135	#117	—	2	4	no	—
136	#117	—	2	4	no	—
137	#117	—	4	4	no	—
138	#117	—	4	4	no	—
139	#117	—	4	4	no	—
140	#117	—	4	4	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
156	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
157	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
158	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
159	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
160	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
161	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
162	#107	—	2	16	no	—
163	#106	—	2	16	no	—
164	C₂⁴	—	4	4	no	—
165	C₂⁴	C₄×D₄	1	2	yes	—
166	C₂⁴	#121	1	2	yes	—
167	C₂⁴	#124	1	2	yes	—
168	C₂⁴	#125	1	4	yes	—
169	C₂⁴	#126	1	4	yes	—
170	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
174	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
175	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
177	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
178	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
179	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
180	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
181	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
182	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
183	C₂²×C₄	#117	1	4	yes	—
184	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
185	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
186	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
187	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
188	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
189	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
194	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
195	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
196	C₂²×C₄	#123	1	8	yes	—
197	C₂²×C₄	#123	1	8	yes	—
198	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
199	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
200	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
201	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
202	C₂²×C₄	#125	1	8	yes	—
203	C₂²×C₄	#125	1	4	yes	—
204	C₂²×C₄	#126	1	8	yes	—
205	C₂²×C₄	#126	1	4	yes	—
206	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
207	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
218	M₁₆	—	2	32	no	—
219	M₁₆	—	2	8	no	—
220	M₁₆	—	2	8	no	—
221	M₁₆	—	4	4	no	—
222	M₁₆	—	4	4	no	—
223	M₁₆	—	4	16	no	—
224	M₁₆	—	4	16	no	—
225	C₂×C₈	—	2	8	no	—
226	C₂×C₈	—	2	4	no	—
227	C₂×C₈	—	2	4	no	—
228	C₂×C₈	—	2	8	no	—
229	C₂×C₈	—	2	4	no	—
230	C₂×C₈	—	2	8	no	—
231	C₂×C₈	—	2	8	no	—
232	C₂×C₈	—	4	2	no	—
233	C₂×C₈	—	4	4	no	—
234	C₂×C₈	—	4	2	no	—
235	C₂×C₈	—	4	4	no	—
236	C₂×C₈	—	4	4	no	—
237	C₂×C₈	—	4	16	no	—
238	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
239	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
245	C₄²	—	2	8	no	—
246	C₄²	—	4	4	no	—
247	C₄²	—	4	2	no	—
248	C₄²	—	4	2	no	—
249	C₄²	—	4	4	no	—
250	C₄²	—	4	8	no	—
251	C₄²	—	4	8	no	—
252	C₂³	—	2	4	no	—
253	C₂³	—	2	8	no	—
254	C₂³	—	4	4	no	—
255	C₂³	—	4	8	no	—
256	C₂³	—	4	4	no	—
257	C₂³	—	4	8	no	—
258	C₂³	#387	1	4	yes	—
259	C₂³	#387	1	4	yes	—
260	C₂³	#390	1	4	yes	—
261	C₂³	#397	1	4	yes	—
262	C₂³	#398	1	4	yes	—
263	C₂³	#400	1	8	yes	—
264	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
266	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
267	C₂³	C₂×#125	1	2	yes	—
268	C₂³	C₂×#126	1	2	yes	—
269	C₂×C₄	—	2	8	no	—
270	C₂×C₄	—	4	16	no	—
271	C₂×C₄	—	4	4	no	—
272	C₂×C₄	—	4	32	no	—
273	C₂×C₄	—	4	4	no	—
274	C₂×C₄	—	4	16	no	—
275	C₂×C₄	—	4	8	no	—
276	C₂×C₄	—	8	16	no	—
277	C₂×C₄	#381	1	8	yes	—
278	C₂×C₄	#387	1	4	yes	—
279	C₂×C₄	#387	1	4	yes	—
280	C₂×C₄	#387	1	8	yes	—
281	C₂×C₄	#387	1	8	yes	—
282	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
283	C₂×C₄	#391	1	8	yes	—
284	C₂×C₄	#397	1	8	yes	—
285	C₂×C₄	#397	1	4	yes	—
286	C₂×C₄	#398	1	8	yes	—
287	C₂×C₄	#398	1	4	yes	—
288	C₂×C₄	#399	1	8	yes	—
289	C₂×C₄	#399	1	8	yes	—
290	C₂×C₄	#400	1	8	yes	—
291	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	C₂×#125	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	C₂×#126	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
309	C₈	—	2	8	no	—
310	C₈	—	4	4	no	—
311	C₈	—	4	8	no	—
312	C₂²	—	2	4	no	—
313	C₂²	—	2	4	no	—
314	C₂²	—	2	8	no	—
315	C₂²	—	2	8	no	—
316	C₂²	—	2	2	no	—
317	C₂²	—	2	8	no	—
318	C₂²	—	2	2	no	—
319	C₂²	—	4	4	no	—
320	C₂²	—	4	4	no	—
321	C₂²	—	4	8	no	—
322	C₂²	#1445	1	8	yes	—
323	C₂²	C₂×#387	1	2	yes	—
324	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	C₂×#397	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	C₂×#398	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	C₂×#400	1	2	yes	—
328	C₂²	#2956	1	4	yes	—
329	C₄	—	4	8	no	—
330	C₄	—	8	8	no	—
331	C₄	#1445	1	8	yes	—
332	C₄	C₂×#381	1	1	yes	characteristic
333	C₄	C₂×#387	1	2	yes	—
334	C₄	C₂×#391	1	1	yes	characteristic
335	C₄	C₂×#397	1	1	yes	characteristic
336	C₄	C₂×#398	1	1	yes	characteristic
337	C₄	C₂×#399	1	2	yes	—
338	C₂	—	2	1	no	—
339	C₂	—	2	1	no	—
340	C₂	—	2	2	no	—
341	C₂	—	2	8	no	—
342	C₂	C₂×#1445	1	1	yes	characteristic
343	C₂	#21042	1	4	yes	—
344	C₂	#21241	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂⁵	#41
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂³×M₁₆ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
6. #11376	C₂	semidirect
14. C₂×#428	C₄	semidirect
68. C₂×#107	C₂×C₄	semidirect
69. C₂×#106	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2911	2
C₂×#1738	2
C₂²×#339	2
#20335	2
C₂×#1728	2
#11376	2