Subgroups — #358649

Order 512.

1646 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 413 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×#532	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₄×#423	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#1759	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#13757	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#11370	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11053	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#11011	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×C₄×#41	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×#104	C₂²	1	8	yes	—
12	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
13	C₄×C₄⋊Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
14	C₄×C₄⋊Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
15	C₄×#127	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
16	C₄×#127	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
17	C₄×#124	C₄	1	2	yes	complemented
18	C₄×#124	C₄	1	2	yes	complemented
19	C₄×#121	—	2	2	no	—
20	C₄×#121	—	2	2	no	—
21	#2297	C₂²	1	2	yes	—
22	#2293	—	2	2	no	—
23	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₄²×D₄	—	2	2	no	—
25	C₂×#376	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1767	—	2	2	no	—
28	C₄×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
29	#1759	—	2	16	no	—
30	C₂×#339	C₂²	1	8	yes	—
31	#1728	C₂²	1	2	yes	—
32	#1434	—	2	2	no	—
33	#1434	—	2	2	no	—
34	C₄×#95	C₂²	1	2	yes	—
35	C₄×#95	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
38	#532	—	2	8	no	—
39	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂×#121	—	2	2	no	—
43	C₄×#41	—	2	8	no	—
44	C₄×#41	—	2	8	no	—
45	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
47	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂×#117	—	2	2	no	—
55	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
57	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
58	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	#423	—	2	8	no	—
64	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
65	C₂×#104	—	2	16	no	—
66	C₂×#104	—	2	16	no	—
67	C₂×#104	—	2	16	no	—
68	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
69	C₂×#97	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
71	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	#391	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	#390	—	2	2	no	—
74	#390	—	2	2	no	—
75	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	#390	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	#389	—	2	2	no	—
78	#389	—	2	2	no	—
79	#388	—	2	4	no	—
80	#388	—	2	4	no	—
81	#386	—	2	4	no	—
82	#384	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
83	#384	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
84	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	#380	—	2	2	no	—
86	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
87	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
88	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
89	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
90	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
91	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
92	#376	—	2	4	no	—
93	#376	D₄	1	8	yes	complemented
94	C₂×#95	—	2	2	no	—
95	C₂×#95	—	2	2	no	—
96	C₂×#95	—	2	4	no	—
97	C₂×#95	—	2	4	no	—
98	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
99	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
100	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
101	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
102	C₄³	D₄	1	2	yes	—
103	C₄³	D₄	1	2	yes	—
104	#339	—	2	16	no	—
105	#336	—	2	4	no	—
106	C₂×#41	—	2	4	no	—
107	C₂×#41	—	2	4	no	—
108	C₂×#41	—	2	4	no	—
109	C₂×#41	—	2	8	no	—
110	C₂×#41	#41	1	8	yes	—
111	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
112	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
114	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
115	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
116	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
117	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
118	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
119	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
124	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
127	C₂×M₁₆	#41	1	8	yes	—
128	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
129	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
130	#127	—	2	4	no	—
131	#124	—	2	4	no	—
132	#124	—	2	4	no	—
133	#121	—	2	16	no	—
134	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
135	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
136	C₄×D₄	—	2	16	no	—
137	C₄×D₄	—	2	8	no	—
138	C₄×D₄	—	2	8	no	—
139	C₄×D₄	—	4	8	no	—
140	C₄×D₄	—	4	8	no	—
141	C₄×D₄	—	4	8	no	—
142	C₄×D₄	—	4	8	no	—
143	#117	—	2	4	no	—
144	#117	—	2	4	no	—
145	#117	—	4	4	no	—
146	#117	—	4	4	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
169	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
170	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
171	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
172	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
193	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
194	#104	—	2	64	no	—
195	#97	—	4	4	no	—
196	C₄×C₈	—	4	4	no	—
197	#95	—	2	4	no	—
198	#95	—	2	4	no	—
199	#95	—	2	4	no	—
200	#95	—	2	8	no	—
201	#95	—	2	8	no	—
202	#95	—	4	8	no	—
203	#95	—	4	8	no	—
204	C₂⁴	—	2	2	no	—
205	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
206	#41	—	2	16	no	—
207	#41	—	2	16	no	—
208	#41	—	4	8	no	—
209	#41	—	4	8	no	—
210	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
211	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
212	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
213	C₂×Q₈	#117	1	4	yes	—
214	C₂×D₄	—	2	8	no	—
215	C₂×D₄	—	2	8	no	—
216	C₂×D₄	—	2	2	no	—
217	C₂×D₄	—	2	4	no	—
218	C₂×D₄	—	2	4	no	—
219	C₂×D₄	—	4	4	no	—
220	C₂×D₄	—	4	4	no	—
221	C₂×D₄	—	4	4	no	—
222	C₂×D₄	—	4	4	no	—
223	C₂×D₄	#117	1	4	yes	—
224	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
248	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
257	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
264	M₁₆	—	2	16	no	—
265	M₁₆	—	4	8	no	—
266	C₂×C₈	—	2	8	no	—
267	C₂×C₈	—	4	4	no	—
268	C₂×C₈	—	4	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
275	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
282	C₄²	—	2	2	no	—
283	C₄²	—	2	2	no	—
284	C₄²	—	2	2	no	—
285	C₄²	—	2	2	no	—
286	C₄²	—	2	4	no	—
287	C₄²	—	2	4	no	—
288	C₄²	—	2	4	no	—
289	C₄²	—	2	4	no	—
290	C₄²	—	2	4	no	—
291	C₄²	—	2	4	no	—
292	C₄²	—	2	16	no	—
293	C₄²	—	4	2	no	—
294	C₄²	—	4	2	no	—
295	C₄²	—	4	2	no	—
296	C₄²	—	4	2	no	—
297	C₄²	—	4	2	no	—
298	C₄²	—	4	8	no	—
299	C₄²	—	4	2	no	—
300	C₄²	—	4	4	no	—
301	C₄²	—	4	4	no	—
302	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
303	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
304	C₄²	#124	1	2	yes	—
305	C₄²	#124	1	2	yes	—
306	C₄²	#127	1	2	yes	—
307	C₄²	#127	1	2	yes	—
308	C₂³	—	2	2	no	—
309	C₂³	—	2	2	no	—
310	C₂³	—	2	4	no	—
311	C₂³	—	4	4	no	—
312	C₂³	—	4	4	no	—
313	C₂³	—	4	2	no	—
314	C₂³	—	4	2	no	—
315	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
316	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
317	C₂³	#525	1	2	yes	—
318	C₂³	#532	1	2	yes	—
319	Q₈	—	2	8	no	—
320	Q₈	—	4	4	no	—
321	D₄	—	2	8	no	—
322	D₄	—	4	16	no	—
323	D₄	—	4	16	no	—
324	D₄	—	4	4	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	2	2	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	2	2	no	—
337	C₂×C₄	—	2	2	no	—
338	C₂×C₄	—	2	4	no	—
339	C₂×C₄	—	2	2	no	—
340	C₂×C₄	—	4	4	no	—
341	C₂×C₄	—	4	4	no	—
342	C₂×C₄	—	4	8	no	—
343	C₂×C₄	—	4	8	no	—
344	C₂×C₄	—	4	2	no	—
345	C₂×C₄	—	4	2	no	—
346	C₂×C₄	—	4	8	no	—
347	C₂×C₄	—	4	8	no	—
348	C₂×C₄	—	4	8	no	—
349	C₂×C₄	—	4	8	no	—
350	C₂×C₄	—	4	4	no	—
351	C₂×C₄	—	4	4	no	—
352	C₂×C₄	—	4	8	no	—
353	C₂×C₄	—	4	2	no	—
354	C₂×C₄	—	4	2	no	—
355	C₂×C₄	—	8	8	no	—
356	C₂×C₄	—	8	8	no	—
357	C₂×C₄	—	8	8	no	—
358	C₂×C₄	—	8	8	no	—
359	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	#421	1	4	yes	—
364	C₂×C₄	#421	1	4	yes	—
365	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	#525	1	8	yes	—
371	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	#529	1	8	yes	—
373	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
374	C₈	—	4	8	no	—
375	C₂²	—	2	4	no	—
376	C₂²	—	2	4	no	—
377	C₂²	—	2	2	no	—
378	C₂²	—	2	2	no	—
379	C₂²	—	4	8	no	—
380	C₂²	—	4	4	no	—
381	C₂²	—	8	4	no	—
382	C₂²	—	8	2	no	—
383	C₂²	—	8	2	no	—
384	C₂²	#2280	1	1	yes	characteristic
385	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
386	C₂²	#2297	1	1	yes	characteristic
387	C₂²	#2392	1	4	yes	—
388	C₂²	C₂×#421	1	2	yes	—
389	C₂²	C₂×#421	1	2	yes	—
390	C₄	—	2	4	no	—
391	C₄	—	2	4	no	—
392	C₄	—	2	2	no	—
393	C₄	—	2	2	no	—
394	C₄	—	2	2	no	—
395	C₄	—	2	2	no	—
396	C₄	—	4	2	no	—
397	C₄	—	4	4	no	—
398	C₄	—	4	2	no	—
399	C₄	—	8	8	no	—
400	C₄	—	8	2	no	—
401	C₄	—	8	2	no	—
402	C₄	#2290	1	4	yes	—
403	C₄	#2397	1	2	yes	—
404	C₄	#2398	1	2	yes	—
405	C₂	—	2	4	no	—
406	C₂	—	8	4	no	—
407	C₂	#13847	1	1	yes	characteristic
408	C₂	#20748	1	2	yes	—
409	C₂	#21209	1	1	yes	characteristic
410	C₂	#21209	1	1	yes	characteristic
411	C₂	#21383	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₄×#423	C₂	semidirect
3. C₂×#1759	C₂	semidirect
4. #13757	C₂	semidirect
5. #11370	C₂	semidirect
6. #11053	C₂	semidirect
13. C₄×C₄⋊Q₈	C₄	semidirect
14. C₄×C₄⋊Q₈	C₄	semidirect
15. C₄×#127	C₄	semidirect
16. C₄×#127	C₄	semidirect
17. C₄×#124	C₄	semidirect
18. C₄×#124	C₄	semidirect
93. #376	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×#532	2
C₄×#423	2
C₂×#1759	2
#13757	2
#11370	2
#11053	2
#11011	2