Subgroups — #358685

Order 512.

1842 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 382 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×#532	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₄×#104	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#20364	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₄²×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#11359	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11075	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#11011	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×C₄×#41	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×#104	C₂²	1	8	yes	—
11	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
12	C₄×C₄⋊Q₈	C₄	1	2	yes	complemented
13	C₄×#127	C₄	1	2	yes	complemented
14	C₄×#124	C₄	1	4	yes	complemented
15	C₄×#121	—	2	2	no	—
16	C₄×#121	—	2	2	no	—
17	#2297	C₂²	1	2	yes	—
18	#2293	—	2	2	no	—
19	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₄²×D₄	—	2	2	no	—
21	C₂×C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
22	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄³	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₄×#104	—	2	16	no	—
26	#1745	—	2	2	no	—
27	#1744	—	2	2	no	—
28	C₂×#339	C₂²	1	8	yes	—
29	#1728	C₂²	1	2	yes	—
30	#1728	C₂²	1	2	yes	—
31	C₄×#95	—	2	2	no	—
32	C₄×#95	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
34	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
35	#532	—	2	8	no	—
36	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂×#121	—	2	2	no	—
40	C₄×#41	—	2	8	no	—
41	C₄×#41	—	2	8	no	—
42	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
44	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
45	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂×#117	—	2	2	no	—
49	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
51	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
52	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
53	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
54	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×#104	—	2	16	no	—
60	C₂×#104	—	2	16	no	—
61	C₂×#104	—	2	16	no	—
62	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
63	C₄×M₁₆	D₄	1	8	yes	complemented
64	C₂×#97	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
66	#391	C₂×C₄	1	4	yes	—
67	#390	—	2	2	no	—
68	#390	—	2	2	no	—
69	#390	C₂×C₄	1	4	yes	—
70	#389	—	2	2	no	—
71	#389	—	2	2	no	—
72	#388	—	2	4	no	—
73	#388	—	2	4	no	—
74	#386	—	2	2	no	—
75	#386	—	2	2	no	—
76	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	#380	—	2	2	no	—
79	C₄×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
80	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
81	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
82	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
83	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
84	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
85	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
86	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
87	C₂×#95	—	2	2	no	—
88	C₂×#95	—	2	4	no	—
89	C₄³	—	2	8	no	—
90	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
91	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	C₄³	D₄	1	2	yes	—
93	C₄³	D₄	1	2	yes	—
94	#339	—	2	16	no	—
95	#336	—	2	4	no	—
96	#336	—	2	4	no	—
97	C₂×#41	—	2	4	no	—
98	C₂×#41	—	2	4	no	—
99	C₂×#41	—	2	4	no	—
100	C₂×#41	—	2	8	no	—
101	C₂×#41	#41	1	8	yes	—
102	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
103	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
105	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
106	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
107	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
108	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
109	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
111	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
112	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
114	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
117	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
118	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
119	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
120	#127	—	2	4	no	—
121	#124	—	2	4	no	—
122	#124	—	2	4	no	—
123	#121	—	2	16	no	—
124	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
125	C₄×D₄	—	2	16	no	—
126	C₄×D₄	—	2	16	no	—
127	C₄×D₄	—	4	8	no	—
128	C₄×D₄	—	4	8	no	—
129	C₄×D₄	—	4	8	no	—
130	C₄×D₄	—	4	8	no	—
131	#117	—	2	4	no	—
132	#117	—	2	4	no	—
133	#117	—	4	8	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
155	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
156	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
157	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
158	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
159	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
167	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄²	#41	1	8	yes	—
177	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
178	#104	—	2	64	no	—
179	#97	—	2	8	no	—
180	C₄×C₈	—	2	8	no	—
181	#95	—	2	16	no	—
182	#95	—	2	8	no	—
183	#95	—	2	4	no	—
184	#95	—	2	4	no	—
185	#95	—	2	4	no	—
186	C₂⁴	—	2	2	no	—
187	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
188	#41	—	2	16	no	—
189	#41	—	2	16	no	—
190	#41	—	4	8	no	—
191	#41	—	4	8	no	—
192	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
193	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
194	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
195	C₂×Q₈	#117	1	4	yes	—
196	C₂×D₄	—	2	8	no	—
197	C₂×D₄	—	2	8	no	—
198	C₂×D₄	—	2	2	no	—
199	C₂×D₄	—	2	4	no	—
200	C₂×D₄	—	2	4	no	—
201	C₂×D₄	—	4	4	no	—
202	C₂×D₄	—	4	4	no	—
203	C₂×D₄	—	4	2	no	—
204	C₂×D₄	—	4	2	no	—
205	C₂×D₄	—	4	4	no	—
206	C₂×D₄	#117	1	4	yes	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
229	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
236	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
243	M₁₆	—	2	16	no	—
244	M₁₆	—	4	8	no	—
245	C₂×C₈	—	2	8	no	—
246	C₂×C₈	—	4	4	no	—
247	C₂×C₈	—	4	4	no	—
248	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
260	C₄²	—	2	2	no	—
261	C₄²	—	2	2	no	—
262	C₄²	—	2	4	no	—
263	C₄²	—	2	4	no	—
264	C₄²	—	2	4	no	—
265	C₄²	—	2	4	no	—
266	C₄²	—	2	4	no	—
267	C₄²	—	2	4	no	—
268	C₄²	—	2	4	no	—
269	C₄²	—	2	4	no	—
270	C₄²	—	2	16	no	—
271	C₄²	—	4	2	no	—
272	C₄²	—	4	2	no	—
273	C₄²	—	4	32	no	—
274	C₄²	—	4	4	no	—
275	C₄²	—	4	8	no	—
276	C₄²	—	4	8	no	—
277	C₄²	#104	1	8	yes	complemented
278	C₄²	C₄×D₄	1	8	yes	—
279	C₄²	#121	1	4	yes	—
280	C₄²	#121	1	4	yes	—
281	C₂³	—	2	2	no	—
282	C₂³	—	2	2	no	—
283	C₂³	—	2	4	no	—
284	C₂³	—	4	4	no	—
285	C₂³	—	4	4	no	—
286	C₂³	—	4	2	no	—
287	C₂³	—	4	2	no	—
288	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
289	C₂³	#525	1	2	yes	—
290	C₂³	#525	1	2	yes	—
291	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
292	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
293	Q₈	—	2	8	no	—
294	Q₈	—	4	4	no	—
295	D₄	—	2	8	no	—
296	D₄	—	4	16	no	—
297	D₄	—	4	8	no	—
298	D₄	—	4	8	no	—
299	D₄	—	4	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	8	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	8	no	—
308	C₂×C₄	—	2	8	no	—
309	C₂×C₄	—	2	16	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	4	8	no	—
318	C₂×C₄	—	4	16	no	—
319	C₂×C₄	—	4	16	no	—
320	C₂×C₄	—	4	8	no	—
321	C₂×C₄	—	4	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	8	no	—
323	C₂×C₄	—	4	2	no	—
324	C₂×C₄	—	4	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	16	no	—
326	C₂×C₄	—	4	4	no	—
327	C₂×C₄	—	4	4	no	—
328	C₂×C₄	—	4	4	no	—
329	C₂×C₄	—	8	16	no	—
330	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
331	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
332	C₂×C₄	C₂×#104	1	4	yes	—
333	C₂×C₄	C₂×#104	1	4	yes	—
334	C₂×C₄	C₂×#104	1	4	yes	—
335	C₂×C₄	#421	1	4	yes	—
336	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	#525	1	8	yes	—
342	C₂×C₄	#529	1	8	yes	—
343	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
344	C₈	—	4	8	no	—
345	C₂²	—	2	2	no	—
346	C₂²	—	2	2	no	—
347	C₂²	—	2	4	no	—
348	C₂²	—	2	2	no	—
349	C₂²	—	2	2	no	—
350	C₂²	—	4	8	no	—
351	C₂²	—	4	4	no	—
352	C₂²	—	8	4	no	—
353	C₂²	—	8	2	no	—
354	C₂²	—	8	2	no	—
355	C₂²	#2280	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	#2297	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	#2397	1	2	yes	—
359	C₂²	#2398	1	2	yes	—
360	C₂²	C₂²×#104	1	2	yes	—
361	C₂²	C₂×#421	1	2	yes	—
362	C₄	—	2	4	no	—
363	C₄	—	2	4	no	—
364	C₄	—	2	4	no	—
365	C₄	—	4	16	no	—
366	C₄	—	4	2	no	—
367	C₄	—	4	4	no	—
368	C₄	—	4	2	no	—
369	C₄	—	8	4	no	—
370	C₄	#1980	1	8	yes	—
371	C₄	#2290	1	4	yes	—
372	C₄	#2392	1	4	yes	—
373	C₂	—	2	2	no	—
374	C₂	—	2	2	no	—
375	C₂	—	8	4	no	—
376	C₂	#13847	1	1	yes	characteristic
377	C₂	#20747	1	2	yes	—
378	C₂	C₂×#1980	1	2	yes	—
379	C₂	#21415	1	1	yes	characteristic
380	C₂	#21416	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄²	C₂×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄² ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×C₄×#104	C₂	semidirect
3. #20364	C₂	semidirect
4. C₄²×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
5. #11359	C₂	semidirect
6. #11075	C₂	semidirect
12. C₄×C₄⋊Q₈	C₄	semidirect
13. C₄×#127	C₄	semidirect
14. C₄×#124	C₄	semidirect
63. C₄×M₁₆	D₄	semidirect
277. C₄²	#104	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×#532	2
C₂×C₄×#104	2
#20364	2
C₄²×C₄⋊C₄	2
#11359	2
#11075	2
#11011	2