Subgroups — #358695

Order 512.

1438 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 364 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×#135	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₄×#108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#1759	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20375	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1746	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#11376	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#11125	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#11025	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂²×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₄×#41	C₂²	1	2	yes	—
11	C₄×#135	—	2	4	no	—
12	C₄×#135	—	2	4	no	—
13	C₂×C₄×Q₁₆	C₄	1	2	yes	complemented
14	C₂×C₄×SD₁₆	C₄	1	4	yes	complemented
15	C₂×C₄×D₈	C₄	1	2	yes	complemented
16	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×#104	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#416	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#408	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₄×#108	—	2	4	no	—
26	#1759	—	2	8	no	—
27	#1750	—	2	4	no	—
28	#1749	—	2	4	no	—
29	#1746	—	2	4	no	—
30	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
32	#1729	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂×#135	—	2	8	no	—
37	C₂×#135	—	2	2	no	—
38	C₂×#135	—	2	2	no	—
39	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
43	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₄×#41	—	2	4	no	—
47	C₄×#41	—	2	4	no	—
48	C₄×#41	—	2	4	no	—
49	C₄×#41	—	2	4	no	—
50	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
52	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₂×#117	—	2	2	no	—
54	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₄×Q₁₆	—	2	8	no	—
59	C₄×SD₁₆	—	2	16	no	—
60	C₄×D₈	—	2	8	no	—
61	C₂×#108	—	2	8	no	—
62	C₂×#108	—	2	4	no	—
63	#427	—	2	2	no	—
64	#427	—	2	2	no	—
65	C₂×#107	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂×#106	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂×#104	—	2	8	no	—
68	C₂×#104	—	2	8	no	—
69	C₂×#104	—	2	8	no	—
70	#416	—	2	4	no	—
71	#416	—	2	4	no	—
72	C₂×#103	C₂×C₄	1	4	yes	—
73	C₂×#102	C₂×C₄	1	4	yes	—
74	#408	—	2	8	no	—
75	#408	—	2	8	no	—
76	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
77	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
78	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
79	C₂×#97	—	2	2	no	—
80	C₂×#97	—	2	2	no	—
81	C₂×#97	—	2	2	no	—
82	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
83	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
84	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
85	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
88	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
89	#376	—	2	2	no	—
90	#376	D₄	1	4	yes	—
91	C₂×#95	—	2	2	no	—
92	#341	—	2	4	no	—
93	#339	—	2	8	no	—
94	#336	—	2	4	no	—
95	#336	—	2	4	no	—
96	#336	—	2	8	no	—
97	C₂×#41	—	2	4	no	—
98	C₂×#41	—	2	2	no	—
99	C₂×#41	—	2	2	no	—
100	C₂×#41	—	2	2	no	—
101	C₂×#41	—	2	2	no	—
102	C₂×#41	—	2	4	no	—
103	C₂×#41	—	2	4	no	—
104	C₂×#41	#41	1	8	yes	—
105	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
106	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
107	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
109	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
110	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
111	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
112	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
113	#135	—	2	16	no	—
114	#135	—	2	16	no	—
115	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
116	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
117	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
118	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
119	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
120	C₂×D₈	—	2	4	no	—
121	C₂×D₈	—	2	2	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
127	C₂×M₁₆	#41	1	8	yes	—
128	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
135	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
138	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
139	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
140	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
142	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
143	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
144	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
145	C₄×D₄	—	2	8	no	—
146	C₄×D₄	—	2	8	no	—
147	C₄×D₄	—	4	8	no	—
148	C₄×D₄	—	4	8	no	—
149	#117	—	2	2	no	—
150	#117	—	2	2	no	—
151	#117	—	2	2	no	—
152	#117	—	2	2	no	—
153	#117	—	4	4	no	—
154	#117	—	4	4	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
165	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
166	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
167	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
174	#108	—	2	16	no	—
175	#107	—	2	4	no	—
176	#106	—	2	4	no	—
177	#104	—	2	32	no	—
178	#103	—	2	8	no	—
179	#102	—	2	8	no	—
180	C₂²⋊C₈	—	2	32	no	—
181	#97	—	2	4	no	—
182	#97	—	2	4	no	—
183	#97	—	4	4	no	—
184	C₄×C₈	—	4	4	no	—
185	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
186	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
187	#95	—	2	8	no	—
188	C₂⁴	—	2	2	no	—
189	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
190	#41	—	2	8	no	—
191	#41	—	2	8	no	—
192	#41	—	2	8	no	—
193	#41	—	2	8	no	—
194	#41	—	4	4	no	—
195	#41	—	4	4	no	—
196	#41	—	4	4	no	—
197	#41	—	4	4	no	—
198	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
199	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
200	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
201	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
202	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
203	C₂×Q₈	#117	1	4	yes	—
204	C₂×D₄	—	2	8	no	—
205	C₂×D₄	—	2	2	no	—
206	C₂×D₄	—	2	2	no	—
207	C₂×D₄	—	2	2	no	—
208	C₂×D₄	—	2	2	no	—
209	C₂×D₄	—	2	2	no	—
210	C₂×D₄	—	4	2	no	—
211	C₂×D₄	—	4	2	no	—
212	C₂×D₄	—	4	4	no	—
213	C₂×D₄	#117	1	4	yes	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
225	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
226	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
229	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
238	Q₁₆	—	2	8	no	—
239	SD₁₆	—	2	16	no	—
240	D₈	—	2	8	no	—
241	M₁₆	—	2	8	no	—
242	M₁₆	—	2	8	no	—
243	M₁₆	—	4	4	no	—
244	M₁₆	—	4	4	no	—
245	C₂×C₈	—	2	2	no	—
246	C₂×C₈	—	2	2	no	—
247	C₂×C₈	—	2	4	no	—
248	C₂×C₈	—	2	4	no	—
249	C₂×C₈	—	2	4	no	—
250	C₂×C₈	—	2	4	no	—
251	C₂×C₈	—	2	4	no	—
252	C₂×C₈	—	2	4	no	—
253	C₂×C₈	—	2	8	no	—
254	C₂×C₈	—	2	8	no	—
255	C₂×C₈	—	4	2	no	—
256	C₂×C₈	—	4	4	no	—
257	C₂×C₈	—	4	4	no	—
258	C₂×C₈	—	4	4	no	—
259	C₂×C₈	—	4	2	no	—
260	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
261	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
262	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
263	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
269	C₄²	—	2	8	no	—
270	C₄²	—	4	2	no	—
271	C₄²	—	4	2	no	—
272	C₄²	—	4	2	no	—
273	C₄²	—	4	2	no	—
274	C₄²	—	4	8	no	—
275	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
276	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
277	C₄²	#121	1	2	yes	—
278	C₄²	#121	1	2	yes	—
279	C₄²	#127	1	2	yes	—
280	C₄²	#127	1	2	yes	—
281	C₂³	—	2	4	no	—
282	C₂³	—	2	4	no	—
283	C₂³	—	4	8	no	—
284	C₂³	—	4	2	no	—
285	C₂³	—	4	2	no	—
286	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
287	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
288	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
289	C₂³	#529	1	4	yes	—
290	Q₈	—	2	4	no	—
291	Q₈	—	2	4	no	—
292	Q₈	—	4	2	no	—
293	Q₈	—	4	2	no	—
294	D₄	—	2	4	no	—
295	D₄	—	2	4	no	—
296	D₄	—	4	8	no	—
297	D₄	—	4	8	no	—
298	D₄	—	4	2	no	—
299	D₄	—	4	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	4	no	—
303	C₂×C₄	—	4	4	no	—
304	C₂×C₄	—	4	4	no	—
305	C₂×C₄	—	4	2	no	—
306	C₂×C₄	—	4	2	no	—
307	C₂×C₄	—	4	8	no	—
308	C₂×C₄	—	4	8	no	—
309	C₂×C₄	—	4	8	no	—
310	C₂×C₄	—	4	4	no	—
311	C₂×C₄	—	4	8	no	—
312	C₂×C₄	—	4	4	no	—
313	C₂×C₄	—	8	16	no	—
314	C₂×C₄	—	8	8	no	—
315	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
317	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	#525	1	4	yes	—
323	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	#525	1	4	yes	—
326	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	#529	1	4	yes	—
328	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
330	C₈	—	2	2	no	—
331	C₈	—	2	2	no	—
332	C₈	—	2	4	no	—
333	C₈	—	4	4	no	—
334	C₈	—	4	8	no	—
335	C₂²	—	2	8	no	—
336	C₂²	—	2	2	no	—
337	C₂²	—	2	2	no	—
338	C₂²	—	4	4	no	—
339	C₂²	—	4	8	no	—
340	C₂²	—	8	4	no	—
341	C₂²	—	8	4	no	—
342	C₂²	#2290	1	2	yes	—
343	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	#2392	1	2	yes	—
345	C₂²	#2398	1	2	yes	—
346	C₂²	#2957	1	4	yes	—
347	C₄	—	2	4	no	—
348	C₄	—	2	4	no	—
349	C₄	—	4	4	no	—
350	C₄	—	8	4	no	—
351	C₄	—	8	4	no	—
352	C₄	#2280	1	1	yes	characteristic
353	C₄	#2290	1	2	yes	—
354	C₄	#2297	1	1	yes	characteristic
355	C₄	#2392	1	2	yes	—
356	C₄	#2397	1	2	yes	—
357	C₂	—	2	2	no	—
358	C₂	—	2	2	no	—
359	C₂	—	8	4	no	—
360	C₂	#13847	1	1	yes	characteristic
361	C₂	#21140	1	4	yes	—
362	C₂	#21240	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂²×#135	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×#97 ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×C₄×#108	C₂	semidirect
3. C₂×#1759	C₂	semidirect
4. #20375	C₂	semidirect
5. C₂×#1746	C₂	semidirect
6. #11376	C₂	semidirect
7. #11125	C₂	semidirect
13. C₂×C₄×Q₁₆	C₄	semidirect
14. C₂×C₄×SD₁₆	C₄	semidirect
15. C₂×C₄×D₈	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×#135	2
C₂×C₄×#108	2
C₂×#1759	2
#20375	2
C₂×#1746	2
#11376	2
#11125	2
#11025	2