Subgroups — #358697

Order 512.

2010 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 376 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₄×#106	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×C₄×#102	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1744	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₄×#390	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11377	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#11121	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#11022	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂³×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×C₄×D₈	—	2	4	no	—
12	C₂×C₄×D₈	—	2	4	no	—
13	C₂×C₄×D₈	C₄	1	8	yes	complemented
14	C₂²×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×#102	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂²×#102	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#390	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
23	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₄×#106	—	2	4	no	—
25	C₄×#102	—	2	8	no	—
26	#1744	—	2	4	no	—
27	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
31	#1437	—	2	4	no	—
32	C₄⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
34	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
35	C₂²×D₈	—	2	8	no	—
36	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
37	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
38	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
39	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
43	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
44	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
45	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
46	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
47	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
51	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
52	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
53	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
54	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₄×D₈	—	2	32	no	—
58	C₂×#107	—	2	2	no	—
59	C₂×#107	—	2	2	no	—
60	C₂×#107	C₂×C₄	1	4	yes	—
61	C₂×#106	—	2	4	no	—
62	C₂×#106	—	2	8	no	—
63	C₂×#102	—	2	8	no	—
64	C₂×#102	—	2	4	no	—
65	C₂×#102	—	2	4	no	—
66	C₂×#102	—	2	8	no	—
67	C₂×#102	—	2	8	no	—
68	C₂×#102	C₂×C₄	1	8	yes	—
69	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
72	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
73	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
74	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
75	#390	—	2	8	no	—
76	#390	—	2	8	no	—
77	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
78	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
79	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
80	C₂×#95	—	2	8	no	—
81	C₂×#95	—	2	2	no	—
82	C₄³	—	2	2	no	—
83	C₄³	—	2	2	no	—
84	#340	—	2	8	no	—
85	#340	—	2	4	no	—
86	#336	—	2	4	no	—
87	#336	—	2	4	no	—
88	C₂⁵	—	2	2	no	—
89	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
90	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
91	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
92	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
93	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
94	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
95	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
96	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
97	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
98	C₂²×D₄	#41	1	8	yes	—
99	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
100	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
101	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
102	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
103	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
104	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
105	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
106	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
107	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
110	C₂×D₈	—	2	16	no	—
111	C₂×D₈	—	2	16	no	—
112	C₂×D₈	—	2	16	no	—
113	C₂×D₈	—	2	8	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
120	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
121	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
122	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
123	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
124	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
126	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
127	C₄×D₄	—	2	16	no	—
128	C₄×D₄	—	2	16	no	—
129	C₄×D₄	—	4	8	no	—
130	C₄×D₄	—	4	8	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
142	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	8	yes	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
157	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
158	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
159	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
164	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
165	#107	—	2	8	no	—
166	#106	—	2	16	no	—
167	#102	—	2	32	no	—
168	#102	—	2	16	no	—
169	C₄×C₈	—	2	8	no	—
170	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
171	#95	—	4	16	no	—
172	#95	—	4	4	no	—
173	C₂⁴	—	2	4	no	—
174	C₂⁴	—	2	8	no	—
175	C₂⁴	—	4	2	no	—
176	C₂⁴	—	4	4	no	—
177	C₂⁴	—	4	2	no	—
178	C₂⁴	—	4	8	no	—
179	C₂⁴	—	4	4	no	—
180	C₂⁴	—	4	4	no	—
181	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×D₄	—	2	4	no	—
183	C₂×D₄	—	2	4	no	—
184	C₂×D₄	—	2	4	no	—
185	C₂×D₄	—	2	4	no	—
186	C₂×D₄	—	2	4	no	—
187	C₂×D₄	—	2	8	no	—
188	C₂×D₄	—	2	8	no	—
189	C₂×D₄	—	2	8	no	—
190	C₂×D₄	—	2	8	no	—
191	C₂×D₄	—	2	8	no	—
192	C₂×D₄	—	4	2	no	—
193	C₂×D₄	—	4	4	no	—
194	C₂×D₄	—	4	4	no	—
195	C₂×D₄	—	4	2	no	—
196	C₂×D₄	—	4	4	no	—
197	C₂×D₄	—	4	4	no	—
198	C₂×D₄	—	4	4	no	—
199	C₂×D₄	#117	1	8	yes	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
217	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
218	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
219	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
220	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	#135	1	8	yes	—
227	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
236	D₈	—	2	32	no	—
237	C₂×C₈	—	2	4	no	—
238	C₂×C₈	—	2	4	no	—
239	C₂×C₈	—	2	4	no	—
240	C₂×C₈	—	2	4	no	—
241	C₂×C₈	—	2	4	no	—
242	C₂×C₈	—	2	4	no	—
243	C₂×C₈	—	2	4	no	—
244	C₂×C₈	—	2	8	no	—
245	C₂×C₈	—	4	2	no	—
246	C₂×C₈	—	4	4	no	—
247	C₂×C₈	—	4	2	no	—
248	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
249	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
250	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
252	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	4	64	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
260	C₄²	—	2	16	no	—
261	C₄²	—	4	2	no	—
262	C₄²	—	4	4	no	—
263	C₄²	—	4	2	no	—
264	C₄²	—	4	8	no	—
265	C₄²	—	8	8	no	—
266	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
267	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
268	C₄²	#121	1	4	yes	—
269	C₄²	#124	1	4	yes	—
270	C₂³	—	2	8	no	—
271	C₂³	—	4	16	no	—
272	C₂³	—	4	16	no	—
273	C₂³	—	4	8	no	—
274	C₂³	—	4	8	no	—
275	C₂³	—	4	8	no	—
276	C₂³	—	4	8	no	—
277	C₂³	—	4	4	no	—
278	C₂³	—	4	4	no	—
279	C₂³	—	8	8	no	—
280	C₂³	—	8	8	no	—
281	C₂³	—	8	4	no	—
282	C₂³	—	8	2	no	—
283	C₂³	—	8	2	no	—
284	C₂³	—	8	4	no	—
285	C₂³	—	8	4	no	—
286	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
287	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
288	C₂³	#525	1	4	yes	—
289	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
290	C₂³	C₂×#135	1	4	yes	—
291	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
292	D₄	—	2	8	no	—
293	D₄	—	2	8	no	—
294	D₄	—	4	8	no	—
295	D₄	—	4	8	no	—
296	D₄	—	4	4	no	—
297	D₄	—	4	4	no	—
298	C₂×C₄	—	2	4	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	16	no	—
302	C₂×C₄	—	2	8	no	—
303	C₂×C₄	—	4	8	no	—
304	C₂×C₄	—	4	4	no	—
305	C₂×C₄	—	4	4	no	—
306	C₂×C₄	—	4	16	no	—
307	C₂×C₄	—	4	8	no	—
308	C₂×C₄	—	4	8	no	—
309	C₂×C₄	—	4	4	no	—
310	C₂×C₄	—	8	8	no	—
311	C₂×C₄	—	8	4	no	—
312	C₂×C₄	—	8	4	no	—
313	C₂×C₄	—	8	2	no	—
314	C₂×C₄	—	8	2	no	—
315	C₂×C₄	—	8	4	no	—
316	C₂×C₄	—	8	32	no	—
317	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
318	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	#442	1	8	yes	—
320	C₂×C₄	#469	1	8	yes	—
321	C₂×C₄	#496	1	8	yes	—
322	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	#525	1	4	yes	—
329	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	#529	1	4	yes	—
333	C₂×C₄	#529	1	4	yes	—
334	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
335	C₈	—	2	4	no	—
336	C₈	—	2	4	no	—
337	C₈	—	4	4	no	—
338	C₂²	—	4	8	no	—
339	C₂²	—	4	16	no	—
340	C₂²	—	8	8	no	—
341	C₂²	—	8	16	no	—
342	C₂²	—	8	4	no	—
343	C₂²	—	8	4	no	—
344	C₂²	—	8	8	no	—
345	C₂²	—	8	8	no	—
346	C₂²	#2290	1	2	yes	—
347	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	#2392	1	2	yes	—
349	C₂²	#2397	1	2	yes	—
350	C₂²	C₄×#135	1	2	yes	—
351	C₂²	C₂×#442	1	2	yes	—
352	C₂²	#3050	1	2	yes	—
353	C₂²	C₂×#469	1	2	yes	—
354	C₂²	#3105	1	8	yes	—
355	C₂²	#3106	1	8	yes	—
356	C₂²	#3147	1	2	yes	—
357	C₂²	C₂×#496	1	2	yes	—
358	C₄	—	2	4	no	—
359	C₄	—	4	8	no	—
360	C₄	—	8	4	no	—
361	C₄	—	8	8	no	—
362	C₄	#1972	1	8	yes	—
363	C₄	#2280	1	1	yes	characteristic
364	C₄	#2290	1	2	yes	—
365	C₄	#2297	1	1	yes	characteristic
366	C₄	#2392	1	2	yes	—
367	C₄	#2398	1	2	yes	—
368	C₂	—	8	8	no	—
369	C₂	#13847	1	1	yes	characteristic
370	C₂	#21118	1	4	yes	—
371	C₂	#21224	1	1	yes	characteristic
372	C₂	C₂×#1972	1	1	yes	characteristic
373	C₂	#23697	1	4	yes	—
374	C₂	#23796	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³×C₄	C₂×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂⁴	C₂²×D₄
prime radical	C₂³×D₈	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₄ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×C₄×#106	C₂	semidirect
3. C₂×C₄×#102	C₂	semidirect
4. C₂×#1744	C₂	semidirect
5. C₄×#390	C₂	semidirect
6. #11377	C₂	semidirect
7. #11121	C₂	semidirect
13. C₂×C₄×D₈	C₄	semidirect
170. C₄×C₈	C₂²⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×D₈	2
C₂×C₄×#106	2
C₂×C₄×#102	2
C₂×#1744	2
C₄×#390	2
#11377	2
#11121	2
#11022	2