Subgroups — #358768

Order 512.

2950 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 245 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#533	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1742	C₂	1	4	yes	maximal
3	C₂×#1728	C₂	1	2	yes	maximal
4	#11383	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#11382	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₂³×M₁₆	C₂²	1	4	yes	—
7	C₂×#533	—	2	4	no	—
8	C₂×#533	—	2	4	no	—
9	C₂×#533	—	2	16	no	—
10	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×#125	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₄	1	4	yes	—
13	C₂²×C₄×Q₈	C₄	1	4	yes	—
14	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#1742	—	2	16	no	—
17	C₂×#343	C₂²	1	16	yes	—
18	#1728	—	2	4	no	—
19	#1728	C₂²	1	4	yes	—
20	#1728	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#336	—	2	4	no	—
22	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
23	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
24	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
25	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
26	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
27	C₂²×M₁₆	—	2	16	no	—
28	C₂²×M₁₆	—	2	16	no	—
29	C₂²×M₁₆	Q₈	1	16	yes	complemented
30	C₂²×M₁₆	C₂³	1	8	yes	—
31	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
32	#533	—	2	64	no	—
33	#533	—	2	64	no	—
34	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
35	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
36	C₂×#125	—	2	16	no	—
37	C₂×#125	—	2	8	no	—
38	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
39	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	32	no	—
40	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
41	C₂×C₄×Q₈	—	2	32	no	—
42	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
43	C₂×#117	—	2	4	no	—
44	C₂×#117	—	2	8	no	—
45	C₂×#117	—	2	4	no	—
46	C₂×#117	D₄	1	16	yes	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
52	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
55	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	#343	—	2	32	no	—
59	#336	—	2	8	no	—
60	#336	—	2	8	no	—
61	C₂⁵	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
63	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
64	C₂²×Q₈	—	4	16	no	—
65	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
66	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
67	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
68	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
69	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
70	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
71	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
73	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
74	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
75	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
76	C₂³×C₄	#41	1	8	yes	—
77	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
78	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
79	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
80	C₂×M₁₆	—	2	64	no	—
81	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
82	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
83	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
84	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
85	C₂×M₁₆	—	4	32	no	—
86	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	16	yes	—
87	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
88	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
89	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
90	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
91	C₄⋊Q₈	—	2	64	no	—
92	#125	—	2	64	no	—
93	C₂²⋊Q₈	—	2	128	no	—
94	C₄×Q₈	—	2	64	no	—
95	C₄×Q₈	—	2	64	no	—
96	#117	—	2	32	no	—
97	#117	—	2	32	no	—
98	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
99	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
100	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
101	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
102	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
103	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
104	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
105	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
106	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
107	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
108	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
109	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
110	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
111	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
112	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
113	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
114	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
115	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
116	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
117	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
118	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
119	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
120	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
121	C₂⁴	—	4	4	no	—
122	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
123	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
124	C₂⁴	C₄×Q₈	1	8	yes	—
125	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
127	C₂×Q₈	—	4	64	no	—
128	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
129	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
130	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
131	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
132	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
133	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
134	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
135	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
136	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
137	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
138	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
139	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
140	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
141	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
142	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
143	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
144	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
146	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	8	yes	—
148	C₂²×C₄	#120	1	8	yes	—
149	C₂²×C₄	#120	1	8	yes	—
150	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
151	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
152	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	32	yes	—
153	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
154	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
155	C₂²×C₄	#124	1	16	yes	—
156	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
157	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	16	yes	—
158	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
159	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
160	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
161	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
162	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
163	M₁₆	—	2	32	no	—
164	M₁₆	—	4	16	no	—
165	M₁₆	—	4	32	no	—
166	C₂×C₈	—	2	16	no	—
167	C₂×C₈	—	4	8	no	—
168	C₂×C₈	—	4	8	no	—
169	C₂×C₈	—	4	32	no	—
170	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
171	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
172	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
173	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
174	C₄²	—	2	8	no	—
175	C₄²	—	2	8	no	—
176	C₄²	—	2	8	no	—
177	C₄²	—	2	8	no	—
178	C₄²	—	2	16	no	—
179	C₄²	—	2	16	no	—
180	C₂³	—	2	4	no	—
181	C₂³	—	2	8	no	—
182	C₂³	—	4	8	no	—
183	C₂³	—	4	16	no	—
184	C₂³	#379	1	4	yes	—
185	C₂³	#391	1	4	yes	—
186	C₂³	#391	1	4	yes	—
187	C₂³	#391	1	16	yes	—
188	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
189	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	4	yes	—
191	Q₈	—	4	64	no	—
192	C₂×C₄	—	2	16	no	—
193	C₂×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂×C₄	—	2	8	no	—
196	C₂×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂×C₄	—	2	16	no	—
198	C₂×C₄	—	4	32	no	—
199	C₂×C₄	—	4	8	no	—
200	C₂×C₄	—	4	16	no	—
201	C₂×C₄	—	4	16	no	—
202	C₂×C₄	—	4	16	no	—
203	C₂×C₄	#379	1	2	yes	—
204	C₂×C₄	#379	1	2	yes	—
205	C₂×C₄	#391	1	16	yes	—
206	C₂×C₄	#391	1	4	yes	—
207	C₂×C₄	#391	1	4	yes	—
208	C₂×C₄	#393	1	16	yes	—
209	C₂×C₄	#393	1	16	yes	—
210	C₂×C₄	#395	1	16	yes	—
211	C₂×C₄	#395	1	16	yes	—
212	C₂×C₄	#413	1	8	yes	—
213	C₂×C₄	C₂×#120	1	4	yes	—
214	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
215	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
216	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
217	C₂×C₄	C₂×#124	1	4	yes	—
218	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
219	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
220	C₈	—	4	16	no	—
221	C₂²	—	2	8	no	—
222	C₂²	—	2	8	no	—
223	C₂²	—	2	8	no	—
224	C₂²	—	2	4	no	—
225	C₂²	—	2	8	no	—
226	C₂²	—	4	16	no	—
227	C₂²	#1446	1	8	yes	—
228	C₂²	C₂×#379	1	1	yes	characteristic
229	C₂²	C₂×#391	1	4	yes	—
230	C₂²	C₂×#391	1	2	yes	—
231	C₂²	C₂×#413	1	4	yes	—
232	C₄	—	2	8	no	—
233	C₄	—	4	4	no	—
234	C₄	—	4	16	no	—
235	C₄	#1446	1	4	yes	—
236	C₄	#1446	1	4	yes	—
237	C₄	C₂×#393	1	4	yes	—
238	C₄	C₂×#395	1	4	yes	—
239	C₂	—	2	8	no	—
240	C₂	—	2	4	no	—
241	C₂	C₂×#1446	1	1	yes	characteristic
242	C₂	#20591	1	2	yes	—
243	C₂	#21337	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄
commutator	C₂⁴	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂⁵	C₂²×C₄
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #11383	C₂	semidirect
5. #11382	C₂	semidirect
29. C₂²×M₁₆	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#533	2
C₂×#1742	2
C₂×#1728	2
#11383	2
#11382	2