Subgroups — #358773

Order 512.

4010 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 321 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1736	C₂	1	4	yes	maximal
3	C₂×#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#13756	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11384	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	C₂⁴×Q₈	—	2	1	no	—
7	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂²×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
9	C₂²×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
10	C₂²×C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
11	C₂²×C₄⋊Q₈	C₄	1	8	yes	complemented
12	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂³×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
15	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#1736	—	2	16	no	—
18	C₂×#340	C₂²	1	16	yes	—
19	#1728	—	2	4	no	—
20	C₂×#336	C₂²	1	4	yes	—
21	C₄⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂²⋊#95	—	2	1	no	—
23	C₂²⋊#95	—	2	1	no	—
24	C₄×#95	—	2	2	no	—
25	C₂³×Q₈	—	2	16	no	—
26	C₂³×Q₈	—	2	8	no	—
27	C₂³×Q₈	—	2	4	no	—
28	C₂³×Q₈	—	4	16	no	—
29	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
30	C₂⁴×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
31	C₂⁴×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
32	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
34	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
35	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
36	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
37	C₂²×M₁₆	Q₈	1	8	yes	complemented
38	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
39	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	64	no	—
40	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	64	no	—
42	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
43	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
44	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
45	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
46	C₂×#117	—	2	4	no	—
47	C₂×#117	—	2	8	no	—
48	C₂×#117	—	2	8	no	—
49	C₂×#117	Q₈	1	8	yes	complemented
50	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
51	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
52	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
53	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
54	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
55	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
57	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	16	yes	—
58	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
61	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
62	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
63	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
65	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
66	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×#95	—	2	4	no	—
68	C₂×#95	—	2	4	no	—
69	#340	—	2	32	no	—
70	#336	—	2	8	no	—
71	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×Q₈	—	2	32	no	—
73	C₂²×Q₈	—	2	64	no	—
74	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
75	C₂²×Q₈	—	4	128	no	—
76	C₂²×Q₈	—	4	16	no	—
77	C₂²×Q₈	—	4	64	no	—
78	C₂²×Q₈	—	4	16	no	—
79	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
80	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
81	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
82	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
83	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
84	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
85	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
86	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
87	C₂³×C₄	—	4	16	no	—
88	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
96	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
97	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
98	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
99	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
100	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
101	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
102	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
103	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
104	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
105	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
110	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	complemented
111	C₄⋊Q₈	—	2	64	no	—
112	C₄⋊Q₈	—	2	128	no	—
113	C₄⋊Q₈	—	2	64	no	—
114	#117	—	2	32	no	—
115	#117	—	4	16	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
130	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	complemented
132	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
135	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
136	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
137	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
138	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
139	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
140	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
141	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
142	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
143	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
144	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
145	#95	—	4	8	no	—
146	#95	—	4	8	no	—
147	C₂⁴	—	2	4	no	—
148	C₂⁴	—	2	4	no	—
149	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
150	C₂⁴	#120	1	4	yes	—
151	C₂⁴	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
152	C₂⁴	#124	1	2	yes	—
153	C₂⁴	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
154	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂×Q₈	—	2	64	no	—
156	C₂×Q₈	—	4	256	no	—
157	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
158	C₂×Q₈	—	4	128	no	—
159	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
174	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
175	C₂²×C₄	—	4	64	no	—
176	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
177	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
178	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
180	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
181	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
183	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
184	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
185	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	8	yes	—
186	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	8	yes	—
187	C₂²×C₄	#120	1	8	yes	—
188	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
189	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	16	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	16	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
193	C₂²×C₄	#124	1	16	yes	—
194	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
195	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	16	yes	—
197	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
198	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
200	C₂²×C₄	#137	1	8	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
202	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
208	M₁₆	—	4	32	no	—
209	C₂×C₈	—	2	8	no	—
210	C₂×C₈	—	2	16	no	—
211	C₂×C₈	—	4	4	no	—
212	C₂×C₈	—	4	4	no	—
213	C₂×C₈	—	4	8	no	—
214	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
215	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
216	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
217	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
218	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
219	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
220	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
221	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
222	C₄²	—	2	8	no	—
223	C₄²	—	2	8	no	—
224	C₄²	—	2	16	no	—
225	C₄²	—	4	16	no	—
226	C₂³	—	2	16	no	—
227	C₂³	—	2	8	no	—
228	C₂³	—	2	4	no	—
229	C₂³	—	2	4	no	—
230	C₂³	—	2	8	no	—
231	C₂³	—	2	8	no	—
232	C₂³	—	2	8	no	—
233	C₂³	#379	1	4	yes	—
234	C₂³	#391	1	4	yes	—
235	C₂³	#391	1	4	yes	—
236	C₂³	#393	1	8	yes	—
237	C₂³	#395	1	8	yes	—
238	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂³	C₂×#120	1	2	yes	—
240	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
241	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
242	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
243	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
244	C₂³	C₂×#137	1	4	yes	—
245	Q₈	—	4	128	no	—
246	C₂×C₄	—	2	32	no	—
247	C₂×C₄	—	2	32	no	—
248	C₂×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂×C₄	—	2	16	no	—
251	C₂×C₄	—	2	16	no	—
252	C₂×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂×C₄	—	2	16	no	—
255	C₂×C₄	—	4	64	no	—
256	C₂×C₄	—	4	16	no	—
257	C₂×C₄	—	4	32	no	—
258	C₂×C₄	—	4	16	no	—
259	C₂×C₄	—	4	8	no	—
260	C₂×C₄	—	8	8	no	—
261	C₂×C₄	—	8	4	no	—
262	C₂×C₄	—	8	4	no	—
263	C₂×C₄	#379	1	4	yes	—
264	C₂×C₄	#391	1	4	yes	—
265	C₂×C₄	#391	1	4	yes	—
266	C₂×C₄	#391	1	32	yes	—
267	C₂×C₄	#393	1	16	yes	—
268	C₂×C₄	#393	1	8	yes	—
269	C₂×C₄	#395	1	16	yes	—
270	C₂×C₄	#395	1	8	yes	—
271	C₂×C₄	#418	1	8	yes	—
272	C₂×C₄	#419	1	8	yes	—
273	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
274	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
275	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
276	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
277	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
278	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
279	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
280	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₄	C₂×#124	1	4	yes	—
282	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
284	C₈	—	4	8	no	—
285	C₂²	—	2	16	no	—
286	C₂²	—	2	8	no	—
287	C₂²	—	2	8	no	—
288	C₂²	—	2	4	no	—
289	C₂²	—	2	4	no	—
290	C₂²	—	2	16	no	—
291	C₂²	#1446	1	8	yes	—
292	C₂²	C₂×#379	1	1	yes	characteristic
293	C₂²	C₂×#391	1	1	yes	characteristic
294	C₂²	C₂×#391	1	1	yes	characteristic
295	C₂²	C₂×#393	1	2	yes	—
296	C₂²	C₂×#395	1	2	yes	—
297	C₂²	C₂×#418	1	2	yes	—
298	C₂²	C₂×#419	1	2	yes	—
299	C₂²	#3003	1	4	yes	—
300	C₂²	#3004	1	4	yes	—
301	C₂²	#3079	1	8	yes	—
302	C₂²	#3141	1	4	yes	—
303	C₂²	#3165	1	4	yes	—
304	C₄	—	2	8	no	—
305	C₄	—	2	8	no	—
306	C₄	—	4	16	no	—
307	C₄	—	8	8	no	—
308	C₄	#1446	1	8	yes	—
309	C₄	C₂×#391	1	4	yes	—
310	C₄	C₂×#393	1	2	yes	—
311	C₄	C₂×#395	1	2	yes	—
312	C₂	—	2	8	no	—
313	C₂	C₂×#1446	1	1	yes	characteristic
314	C₂	#20598	1	1	yes	characteristic
315	C₂	#20599	1	1	yes	characteristic
316	C₂	#21313	1	2	yes	—
317	C₂	#21324	1	2	yes	—
318	C₂	#23452	1	4	yes	—
319	C₂	#23552	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁵	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #11384	C₂	semidirect
11. C₂²×C₄⋊Q₈	C₄	semidirect
37. C₂²×M₁₆	Q₈	semidirect
49. C₂×#117	Q₈	semidirect
110. C₂²×C₈	C₂×Q₈	semidirect
131. C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×C₄⋊Q₈	2
C₂×#1736	2
C₂×#1728	2
#13756	2
#11384	2