Subgroups — #358775

Order 512.

3218 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 354 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#533	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1736	C₂	1	4	yes	maximal
3	C₂×#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×C₄⋊#95	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11385	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#11384	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂×#533	—	2	4	no	—
9	C₂×#533	—	2	16	no	—
10	C₂×#533	C₄	1	8	yes	complemented
11	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×#125	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
14	C₂²×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
15	C₂²×#117	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×#95	—	2	2	no	—
19	#1736	—	2	16	no	—
20	C₂×#340	C₂²	1	16	yes	—
21	#1728	—	2	4	no	—
22	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
24	C₄⋊#95	—	2	2	no	—
25	C₄⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
26	C₄⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
28	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
29	C₂⁴×C₄	D₄	1	2	yes	—
30	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
32	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
33	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
34	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
35	C₂²×M₁₆	Q₈	1	8	yes	complemented
36	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
37	#533	—	2	64	no	—
38	#533	—	2	64	no	—
39	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
40	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
42	C₂×#125	—	2	16	no	—
43	C₂×#125	—	2	4	no	—
44	C₂×#125	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
45	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	32	no	—
46	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
47	C₂×C₄×Q₈	—	2	32	no	—
48	C₂×C₄×Q₈	—	2	16	no	—
49	C₂×#117	—	2	4	no	—
50	C₂×#117	—	2	8	no	—
51	C₂×#117	C₂×C₄	1	8	yes	—
52	C₂×#117	D₄	1	16	yes	—
53	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
54	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
55	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
57	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
58	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
59	C₂²×C₄⋊C₄	Q₈	1	8	yes	complemented
60	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
63	C₂²×C₄²	—	2	8	no	—
64	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
65	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
66	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
67	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
68	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×#95	—	2	4	no	—
71	C₂×#95	—	2	4	no	—
72	C₂×#95	—	4	8	no	—
73	#340	—	2	32	no	—
74	#336	—	2	4	no	—
75	#336	—	2	4	no	—
76	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
78	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
79	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
80	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
81	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
82	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
83	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
84	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
85	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
86	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
87	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
88	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
89	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
90	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
91	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
92	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
93	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
96	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
97	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
100	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
102	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
103	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
104	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
105	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
106	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
107	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
108	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
109	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
114	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
115	C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
116	C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
117	#125	—	2	32	no	—
118	#125	—	2	32	no	—
119	C₂²⋊Q₈	—	2	128	no	—
120	C₄×Q₈	—	2	128	no	—
121	#117	—	2	16	no	—
122	#117	—	2	32	no	—
123	#117	C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
139	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
140	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
143	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
150	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	#95	—	4	8	no	—
156	#95	—	4	8	no	—
157	C₂⁴	—	2	2	no	—
158	C₂⁴	—	2	2	no	—
159	C₂⁴	—	2	4	no	—
160	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
161	C₂⁴	#120	1	4	yes	—
162	C₂⁴	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
163	C₂⁴	#124	1	2	yes	—
164	C₂⁴	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
165	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
167	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
168	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
169	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
170	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
182	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
185	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
188	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
189	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
192	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
194	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
195	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
196	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
197	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	8	yes	—
202	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	8	yes	—
203	C₂²×C₄	#120	1	8	yes	—
204	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	16	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	16	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
209	C₂²×C₄	#124	1	16	yes	—
210	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
211	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	16	yes	—
213	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
214	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	#137	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
224	M₁₆	—	4	32	no	—
225	C₂×C₈	—	2	8	no	—
226	C₂×C₈	—	2	16	no	—
227	C₂×C₈	—	4	4	no	—
228	C₂×C₈	—	4	4	no	—
229	C₂×C₈	—	4	8	no	—
230	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
232	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
235	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
236	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
237	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
238	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
239	C₄²	—	2	4	no	—
240	C₄²	—	2	4	no	—
241	C₄²	—	2	4	no	—
242	C₄²	—	2	4	no	—
243	C₄²	—	2	16	no	—
244	C₄²	—	2	32	no	—
245	C₂³	—	2	8	no	—
246	C₂³	—	2	8	no	—
247	C₂³	—	2	2	no	—
248	C₂³	—	2	2	no	—
249	C₂³	—	2	4	no	—
250	C₂³	—	2	4	no	—
251	C₂³	—	2	4	no	—
252	C₂³	—	2	4	no	—
253	C₂³	—	2	4	no	—
254	C₂³	—	2	8	no	—
255	C₂³	—	2	8	no	—
256	C₂³	#379	1	4	yes	—
257	C₂³	#391	1	4	yes	—
258	C₂³	#391	1	4	yes	—
259	C₂³	#393	1	8	yes	—
260	C₂³	#395	1	8	yes	—
261	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
262	C₂³	C₂×#120	1	2	yes	—
263	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
264	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
265	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
266	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
267	C₂³	C₂×#137	1	2	yes	—
268	C₂³	#575	1	4	yes	—
269	Q₈	—	4	64	no	—
270	C₂×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂×C₄	—	2	8	no	—
272	C₂×C₄	—	2	8	no	—
273	C₂×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂×C₄	—	2	16	no	—
278	C₂×C₄	—	4	32	no	—
279	C₂×C₄	—	4	8	no	—
280	C₂×C₄	—	4	8	no	—
281	C₂×C₄	—	4	4	no	—
282	C₂×C₄	—	4	16	no	—
283	C₂×C₄	—	4	4	no	—
284	C₂×C₄	—	4	16	no	—
285	C₂×C₄	—	4	16	no	—
286	C₂×C₄	—	4	8	no	—
287	C₂×C₄	—	8	32	no	—
288	C₂×C₄	—	8	4	no	—
289	C₂×C₄	—	8	4	no	—
290	C₂×C₄	—	8	8	no	—
291	C₂×C₄	#379	1	4	yes	—
292	C₂×C₄	#391	1	4	yes	—
293	C₂×C₄	#391	1	4	yes	—
294	C₂×C₄	#391	1	32	yes	—
295	C₂×C₄	#393	1	16	yes	—
296	C₂×C₄	#393	1	8	yes	—
297	C₂×C₄	#395	1	16	yes	—
298	C₂×C₄	#395	1	8	yes	—
299	C₂×C₄	#417	1	8	yes	—
300	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
306	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
307	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	C₂×#124	1	4	yes	—
309	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
311	C₈	—	4	8	no	—
312	C₂²	—	2	16	no	—
313	C₂²	—	2	8	no	—
314	C₂²	—	2	4	no	—
315	C₂²	—	2	4	no	—
316	C₂²	—	2	8	no	—
317	C₂²	—	2	8	no	—
318	C₂²	—	2	8	no	—
319	C₂²	#1446	1	8	yes	—
320	C₂²	C₂×#379	1	1	yes	characteristic
321	C₂²	C₂×#391	1	1	yes	characteristic
322	C₂²	C₂×#391	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	C₂×#393	1	2	yes	—
324	C₂²	C₂×#395	1	2	yes	—
325	C₂²	C₂×#417	1	2	yes	—
326	C₂²	#2896	1	2	yes	—
327	C₂²	#3006	1	4	yes	—
328	C₂²	#3007	1	4	yes	—
329	C₂²	#3077	1	4	yes	—
330	C₂²	#3078	1	4	yes	—
331	C₂²	#3138	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	#3139	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	#3140	1	2	yes	—
334	C₂²	#3165	1	2	yes	—
335	C₂²	#3166	1	2	yes	—
336	C₄	—	2	8	no	—
337	C₄	—	4	4	no	—
338	C₄	—	4	16	no	—
339	C₄	—	8	8	no	—
340	C₄	#1446	1	8	yes	—
341	C₄	C₂×#391	1	4	yes	—
342	C₄	C₂×#393	1	2	yes	—
343	C₄	C₂×#395	1	2	yes	—
344	C₂	—	2	8	no	—
345	C₂	C₂×#1446	1	1	yes	characteristic
346	C₂	#20601	1	2	yes	—
347	C₂	#21312	1	2	yes	—
348	C₂	#21322	1	1	yes	characteristic
349	C₂	#21323	1	1	yes	characteristic
350	C₂	#23454	1	2	yes	—
351	C₂	#23455	1	2	yes	—
352	C₂	#23554	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁵	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #11385	C₂	semidirect
6. #11384	C₂	semidirect
10. C₂×#533	C₄	semidirect
35. C₂²×M₁₆	Q₈	semidirect
41. C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
44. C₂×#125	C₂×C₄	semidirect
59. C₂²×C₄⋊C₄	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#533	2
C₂×#1736	2
C₂×#1728	2
C₂×C₄⋊#95	2
#11385	2
#11384	2