Subgroups — #358844

Order 512.

2890 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 367 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#539	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₄×#99	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#13776	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#11381	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#10980	C₂	1	2	yes	maximal
6	#10966	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂×#539	—	2	16	no	—
8	C₂×#539	—	2	8	no	—
9	C₂²×#126	C₄	1	2	yes	complemented
10	C₂²×#125	C₄	1	2	yes	complemented
11	C₂²×#123	C₄	1	2	yes	complemented
12	C₂²×#123	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₄	1	2	yes	complemented
14	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×#99	C₂²	1	8	yes	—
19	C₂×#381	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
21	C₄×#99	—	2	16	no	—
22	C₂×#342	C₂²	1	8	yes	—
23	#1436	—	2	8	no	—
24	C₂²⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
26	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
27	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
28	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
29	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
30	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
31	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
32	#539	—	2	64	no	—
33	#539	—	2	64	no	—
34	C₂×#126	—	2	8	no	—
35	C₂×#126	—	2	8	no	—
36	C₂×#126	—	2	8	no	—
37	C₂×#125	—	2	8	no	—
38	C₂×#125	—	2	8	no	—
39	C₂×#125	—	2	8	no	—
40	C₂×#123	—	2	8	no	—
41	C₂×#123	—	2	8	no	—
42	C₂×#123	—	2	8	no	—
43	C₂×#123	—	2	8	no	—
44	C₂×#123	—	2	8	no	—
45	C₂×#123	—	2	8	no	—
46	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
47	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
48	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
49	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
50	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
51	C₂×#121	—	2	8	no	—
52	C₂×#121	—	2	4	no	—
53	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
54	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
55	C₂×C₄×D₄	D₄	1	16	yes	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
57	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	8	yes	—
66	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
71	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
73	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	C₂×#99	—	2	16	no	—
75	C₂×#99	—	2	32	no	—
76	#381	—	2	16	no	—
77	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
78	C₂×#95	—	2	8	no	—
79	C₂×#95	—	2	4	no	—
80	C₂×#95	—	2	8	no	—
81	#342	—	2	16	no	—
82	C₂⁵	C₂²×C₄	1	2	yes	—
83	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
85	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
86	C₂²×Q₈	—	8	2	no	—
87	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
88	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
89	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
90	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
91	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
92	C₂²×D₄	—	8	2	no	—
93	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
94	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
95	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
96	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
97	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
98	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
99	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
100	C₂³×C₄	—	8	2	no	—
101	C₂³×C₄	—	8	2	no	—
102	C₂³×C₄	—	8	4	no	—
103	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
104	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
105	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
106	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
111	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
112	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
113	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
114	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
115	#126	—	2	64	no	—
116	#125	—	2	64	no	—
117	#123	—	2	64	no	—
118	#123	—	2	64	no	—
119	C₂²⋊Q₈	—	2	64	no	—
120	C₂²⋊Q₈	—	2	32	no	—
121	#121	—	2	32	no	—
122	C₄×D₄	—	2	32	no	—
123	C₄×D₄	—	2	32	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
146	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
147	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	#41	1	16	yes	—
167	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
169	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
170	C₂×C₄²	—	8	8	no	—
171	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
172	#99	—	2	64	no	—
173	#95	—	2	32	no	—
174	#95	—	4	8	no	—
175	#95	—	8	8	no	—
176	C₂⁴	—	2	2	no	—
177	C₂⁴	—	2	2	no	—
178	C₂⁴	—	2	8	no	—
179	C₂⁴	—	4	2	no	—
180	C₂⁴	—	4	2	no	—
181	C₂⁴	—	4	4	no	—
182	C₂⁴	—	4	4	no	—
183	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
184	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
186	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
187	C₂⁴	C₂×#41	1	8	yes	—
188	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
189	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
190	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
191	C₂×D₄	—	2	16	no	—
192	C₂×D₄	—	2	16	no	—
193	C₂×D₄	—	2	16	no	—
194	C₂×D₄	—	2	8	no	—
195	C₂×D₄	—	4	8	no	—
196	C₂×D₄	—	4	8	no	—
197	C₂×D₄	—	4	8	no	—
198	C₂×D₄	—	4	8	no	—
199	C₂×D₄	—	8	4	no	—
200	C₂×D₄	—	8	8	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
232	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
233	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
234	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
235	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
236	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
237	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
246	C₂²×C₄	#120	1	8	yes	—
247	C₂²×C₄	#120	1	8	yes	—
248	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
252	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
254	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
255	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
263	C₄²	—	2	16	no	—
264	C₄²	—	8	16	no	—
265	C₂³	—	2	4	no	—
266	C₂³	—	2	2	no	—
267	C₂³	—	2	4	no	—
268	C₂³	—	2	2	no	—
269	C₂³	—	2	4	no	—
270	C₂³	—	2	8	no	—
271	C₂³	—	4	4	no	—
272	C₂³	—	4	4	no	—
273	C₂³	—	4	16	no	—
274	C₂³	—	4	4	no	—
275	C₂³	—	4	4	no	—
276	C₂³	—	4	4	no	—
277	C₂³	—	4	4	no	—
278	C₂³	—	4	4	no	—
279	C₂³	—	4	4	no	—
280	C₂³	—	4	4	no	—
281	C₂³	—	4	4	no	—
282	C₂³	—	8	16	no	—
283	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
284	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
285	C₂³	C₄×#41	1	4	yes	—
286	C₂³	C₂×#120	1	4	yes	—
287	C₂³	#525	1	4	yes	—
288	C₂³	#525	1	8	yes	—
289	C₂³	#532	1	4	yes	—
290	C₂³	#532	1	8	yes	—
291	Q₈	—	8	8	no	—
292	D₄	—	4	32	no	—
293	D₄	—	8	8	no	—
294	C₂×C₄	—	2	8	no	—
295	C₂×C₄	—	2	4	no	—
296	C₂×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂×C₄	—	2	4	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	8	no	—
304	C₂×C₄	—	2	8	no	—
305	C₂×C₄	—	4	8	no	—
306	C₂×C₄	—	4	4	no	—
307	C₂×C₄	—	4	4	no	—
308	C₂×C₄	—	4	8	no	—
309	C₂×C₄	—	4	4	no	—
310	C₂×C₄	—	4	4	no	—
311	C₂×C₄	—	4	4	no	—
312	C₂×C₄	—	4	4	no	—
313	C₂×C₄	—	4	4	no	—
314	C₂×C₄	—	4	4	no	—
315	C₂×C₄	—	4	16	no	—
316	C₂×C₄	—	4	4	no	—
317	C₂×C₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	—	4	4	no	—
319	C₂×C₄	—	4	4	no	—
320	C₂×C₄	—	4	4	no	—
321	C₂×C₄	—	4	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	32	no	—
323	C₂×C₄	—	4	16	no	—
324	C₂×C₄	—	8	16	no	—
325	C₂×C₄	—	8	8	no	—
326	C₂×C₄	—	8	8	no	—
327	C₂×C₄	—	8	8	no	—
328	C₂×C₄	—	8	16	no	—
329	C₂×C₄	#379	1	8	yes	—
330	C₂²	—	2	2	no	—
331	C₂²	—	2	4	no	—
332	C₂²	—	2	2	no	—
333	C₂²	—	2	4	no	—
334	C₂²	—	2	8	no	—
335	C₂²	—	2	8	no	—
336	C₂²	—	2	8	no	—
337	C₂²	—	4	8	no	—
338	C₂²	—	4	8	no	—
339	C₂²	—	4	4	no	—
340	C₂²	—	4	4	no	—
341	C₂²	—	4	4	no	—
342	C₂²	—	8	8	no	—
343	C₂²	—	8	8	no	—
344	C₂²	—	8	8	no	—
345	C₂²	C₂×#379	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	#2297	1	4	yes	—
347	C₂²	#2297	1	2	yes	—
348	C₂²	#2388	1	8	yes	—
349	C₂²	#2883	1	2	yes	—
350	C₂²	#2884	1	2	yes	—
351	C₄	—	2	8	no	—
352	C₄	—	4	4	no	—
353	C₄	—	4	4	no	—
354	C₄	—	4	2	no	—
355	C₄	—	4	2	no	—
356	C₄	—	4	4	no	—
357	C₄	—	4	4	no	—
358	C₄	—	8	16	no	—
359	C₂	—	2	8	no	—
360	C₂	—	2	4	no	—
361	C₂	—	8	4	no	—
362	C₂	#13851	1	1	yes	characteristic
363	C₂	#20585	1	1	yes	characteristic
364	C₂	#20587	1	1	yes	characteristic
365	C₂	#21423	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂⁴	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂⁵	C₂⁴
prime radical	C₂²×#121	C₂²
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁵ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×C₄×#99	C₂	semidirect
3. #13776	C₂	semidirect
4. #11381	C₂	semidirect
6. #10966	C₂	semidirect
9. C₂²×#126	C₄	semidirect
10. C₂²×#125	C₄	semidirect
11. C₂²×#123	C₄	semidirect
13. C₂²×C₂²⋊Q₈	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#539	2
C₂×C₄×#99	2
#13776	2
#11381	2
#10980	2
#10966	2