Subgroups — #358945

Order 512.

1234 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 368 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#34026	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₄×#413	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₄×#410	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#11348	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#11347	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11149	C₂	1	2	yes	maximal
7	#11148	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₄×#339	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₄×H(3,ℤ/4)	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#413	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#410	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
14	#2298	C₄	1	4	yes	complemented
15	#2297	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#2297	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#2296	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#2296	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#2295	—	2	2	no	—
20	#2293	—	2	2	no	—
21	#2290	—	2	4	no	—
22	C₄×#117	C₄	1	4	yes	complemented
23	C₄×#117	C₂²	1	2	yes	—
24	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₄×#101	—	2	2	no	—
27	C₄×#100	—	2	2	no	—
28	C₄×#99	—	2	4	no	—
29	#1742	C₂²	1	2	yes	—
30	#1740	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
37	C₄×#41	—	2	2	no	—
38	C₄×#41	—	2	4	no	—
39	C₄×#41	—	2	2	no	—
40	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
41	C₂×C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
42	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
43	C₂×#117	—	2	4	no	—
44	C₂×#117	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
46	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
50	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	#413	—	2	8	no	—
55	C₂×#101	—	2	2	no	—
56	C₂×#100	—	2	2	no	—
57	#410	—	2	8	no	—
58	C₂×#99	—	2	4	no	—
59	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
60	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
61	C₂×#97	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
63	#391	—	2	1	no	—
64	#391	—	2	1	no	—
65	#390	—	2	1	no	—
66	#390	—	2	1	no	—
67	#389	—	2	2	no	—
68	#389	—	2	2	no	—
69	#388	—	2	4	no	—
70	#388	—	2	4	no	—
71	#387	—	2	4	no	—
72	#387	—	2	4	no	—
73	#386	—	2	2	no	—
74	#386	—	2	2	no	—
75	#385	—	2	2	no	—
76	#385	—	2	2	no	—
77	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
78	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
79	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
80	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
81	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
82	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
83	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
84	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
85	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
86	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
87	#376	—	2	4	no	—
88	#376	—	2	2	no	—
89	#376	C₂×C₄	1	2	yes	—
90	C₄³	—	2	2	no	—
91	C₄³	—	2	2	no	—
92	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
94	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	#343	—	2	4	no	—
96	#342	—	2	4	no	—
97	#339	—	2	8	no	—
98	#339	—	2	8	no	—
99	H(3,ℤ/4)	—	2	8	no	—
100	H(3,ℤ/4)	—	2	8	no	—
101	C₂×#41	—	2	2	no	—
102	C₂×#41	—	2	2	no	—
103	C₂×#41	—	2	4	no	—
104	C₂×#41	—	2	4	no	—
105	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
107	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
109	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
110	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
111	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
112	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
113	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
114	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
119	C₂×M₁₆	#41	1	8	yes	—
120	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
121	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
122	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
123	C₄×D₄	—	2	8	no	—
124	C₄×D₄	—	2	8	no	—
125	C₄×D₄	—	2	4	no	—
126	C₄×D₄	—	2	4	no	—
127	#117	—	2	2	no	—
128	#117	—	2	2	no	—
129	#117	—	2	4	no	—
130	#117	—	2	4	no	—
131	#117	—	2	4	no	—
132	#117	—	2	4	no	—
133	#117	—	2	4	no	—
134	#117	—	2	4	no	—
135	#117	—	2	4	no	—
136	#117	—	4	16	no	—
137	#117	#41	1	8	yes	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
144	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
157	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
158	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
165	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
166	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
167	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
177	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
178	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
179	#101	—	2	8	no	—
180	#100	—	2	8	no	—
181	#99	—	2	16	no	—
182	#97	—	4	4	no	—
183	C₄×C₈	—	4	4	no	—
184	#95	—	2	4	no	—
185	#95	—	2	4	no	—
186	#95	—	2	4	no	—
187	#95	—	2	4	no	—
188	#95	—	2	4	no	—
189	#95	—	4	4	no	—
190	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
191	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
192	#41	—	4	4	no	—
193	#41	—	4	4	no	—
194	#41	—	4	4	no	—
195	#41	—	4	4	no	—
196	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
197	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
198	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
199	C₂×D₄	—	2	4	no	—
200	C₂×D₄	—	2	4	no	—
201	C₂×D₄	—	2	4	no	—
202	C₂×D₄	—	2	2	no	—
203	C₂×D₄	—	2	2	no	—
204	C₂×D₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
222	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
227	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
234	M₁₆	—	2	8	no	—
235	M₁₆	—	2	8	no	—
236	M₁₆	—	4	4	no	—
237	M₁₆	—	4	4	no	—
238	C₂×C₈	—	2	8	no	—
239	C₂×C₈	—	4	4	no	—
240	C₂×C₈	—	4	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
244	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
257	C₄²	—	2	8	no	—
258	C₄²	—	2	2	no	—
259	C₄²	—	2	2	no	—
260	C₄²	—	2	4	no	—
261	C₄²	—	2	4	no	—
262	C₄²	—	2	4	no	—
263	C₄²	—	2	4	no	—
264	C₄²	—	2	4	no	—
265	C₄²	—	2	4	no	—
266	C₄²	—	2	8	no	—
267	C₄²	—	4	4	no	—
268	C₄²	—	4	4	no	—
269	C₄²	—	4	4	no	—
270	C₄²	—	4	8	no	—
271	C₄²	—	4	2	no	—
272	C₄²	—	4	4	no	—
273	C₄²	—	4	2	no	—
274	C₄²	—	8	8	no	—
275	C₄²	#117	1	2	yes	—
276	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
277	C₄²	#117	1	2	yes	—
278	C₄²	#117	1	2	yes	—
279	C₄²	#117	1	1	yes	characteristic
280	C₄²	#123	1	4	yes	—
281	C₄²	#123	1	4	yes	—
282	C₂³	—	2	2	no	—
283	C₂³	—	2	2	no	—
284	C₂³	—	2	2	no	—
285	C₂³	—	4	2	no	—
286	C₂³	—	4	4	no	—
287	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
288	C₂³	C₂×#123	1	2	yes	—
289	C₂³	#525	1	2	yes	—
290	C₂³	#532	1	2	yes	—
291	Q₈	—	4	4	no	—
292	D₄	—	4	8	no	—
293	D₄	—	4	4	no	—
294	C₂×C₄	—	2	4	no	—
295	C₂×C₄	—	2	8	no	—
296	C₂×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂×C₄	—	2	4	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	4	2	no	—
303	C₂×C₄	—	4	4	no	—
304	C₂×C₄	—	4	8	no	—
305	C₂×C₄	—	4	2	no	—
306	C₂×C₄	—	4	2	no	—
307	C₂×C₄	—	4	8	no	—
308	C₂×C₄	—	4	8	no	—
309	C₂×C₄	—	4	2	no	—
310	C₂×C₄	—	4	2	no	—
311	C₂×C₄	—	4	8	no	—
312	C₂×C₄	—	4	4	no	—
313	C₂×C₄	—	4	4	no	—
314	C₂×C₄	—	4	4	no	—
315	C₂×C₄	—	4	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	4	no	—
317	C₂×C₄	—	4	8	no	—
318	C₂×C₄	—	4	2	no	—
319	C₂×C₄	—	4	2	no	—
320	C₂×C₄	—	8	8	no	—
321	C₂×C₄	#381	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	#381	1	4	yes	—
323	C₂×C₄	#381	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	#529	1	4	yes	—
331	C₂×C₄	#529	1	4	yes	—
332	C₂×C₄	#529	1	4	yes	—
333	C₂×C₄	#529	1	4	yes	—
334	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
335	C₈	—	4	8	no	—
336	C₂²	—	2	2	no	—
337	C₂²	—	2	4	no	—
338	C₂²	—	4	2	no	—
339	C₂²	—	4	2	no	—
340	C₂²	—	4	2	no	—
341	C₂²	—	4	4	no	—
342	C₂²	—	8	2	no	—
343	C₂²	—	8	2	no	—
344	C₂²	C₂×#381	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	#2297	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	#2297	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	#2395	1	4	yes	—
348	C₄	—	2	2	no	—
349	C₄	—	2	4	no	—
350	C₄	—	4	4	no	—
351	C₄	—	4	4	no	—
352	C₄	—	4	2	no	—
353	C₄	—	4	4	no	—
354	C₄	—	8	2	no	—
355	C₄	—	8	2	no	—
356	C₄	—	8	8	no	—
357	C₄	#1827	1	4	yes	—
358	C₄	#2298	1	2	yes	—
359	C₄	#2298	1	2	yes	—
360	C₄	#2395	1	4	yes	—
361	C₂	—	2	1	no	—
362	C₂	—	2	1	no	—
363	C₂	—	2	4	no	—
364	C₂	—	8	2	no	—
365	C₂	#13853	1	1	yes	characteristic
366	C₂	C₂×#1827	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₄²	#117
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#381
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₄² ◁ C₄×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #11348	C₂	semidirect
5. #11347	C₂	semidirect
8. C₄×#339	C₂	semidirect
9. C₄×H(3,ℤ/4)	C₂	semidirect
14. #2298	C₄	semidirect
22. C₄×#117	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#34026	2
C₄×#413	2
C₄×#410	2
#11348	2
#11347	2
#11149	2
#11148	2
C₄×#339	2
C₄×H(3,ℤ/4)	2