Subgroups — #35921

Order 256.

2309 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 248 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#546	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
2	C₂×D₄²	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
3	#2657	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2656	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2541	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
6	#2540	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
7	#2539	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
8	#2433	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
9	#2397	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#392	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2275	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×D₄	C₂²	1	3	yes	—
14	C₂³×D₄	C₂²	1	6	yes	complemented
15	#546	—	2	24	no	—
16	D₄²	—	2	24	no	—
17	C₂×#127	C₂²	1	3	yes	complemented
18	C₂×#127	C₂²	1	6	yes	complemented
19	C₂×#124	C₂²	1	3	yes	complemented
20	C₂×#123	C₂²	1	6	yes	complemented
21	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	3	yes	complemented
22	C₂×#121	C₂²	1	6	yes	complemented
23	C₂×#121	C₂²	1	6	yes	complemented
24	C₂×#121	C₂²	1	6	yes	complemented
25	C₂×#121	C₂²	1	3	yes	complemented
26	C₂×#120	C₂²	1	6	yes	complemented
27	C₂×#120	C₂²	1	12	yes	complemented
28	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	3	yes	—
29	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	3	yes	complemented
30	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	3	yes	complemented
31	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	6	yes	complemented
32	#399	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
33	#399	C₂²	1	3	yes	complemented
34	#399	C₂²	1	6	yes	complemented
35	#392	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#392	C₂²	1	2	yes	complemented
37	#392	C₂²	1	6	yes	complemented
38	#392	C₂²	1	6	yes	complemented
39	#392	C₂²	1	3	yes	complemented
40	#392	C₂²	1	6	yes	complemented
41	#392	C₂²	1	6	yes	complemented
42	#390	C₂²	1	12	yes	complemented
43	#390	C₂²	1	6	yes	complemented
44	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	3	yes	complemented
45	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	6	yes	complemented
46	#376	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
47	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	complemented
48	C₂⁵	C₂³	1	6	yes	—
49	C₂×#41	—	2	12	no	—
50	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
52	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
53	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
54	C₂²×D₄	—	4	24	no	—
55	C₂²×D₄	C₂³	1	3	yes	—
56	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×D₄	C₂³	1	6	yes	—
58	C₂²×D₄	C₂³	1	3	yes	—
59	C₂²×D₄	C₂³	1	3	yes	—
60	C₂²×D₄	C₂³	1	12	yes	—
61	C₂²×D₄	C₂³	1	6	yes	—
62	C₂²×D₄	C₂³	1	6	yes	—
63	C₂²×D₄	C₂³	1	6	yes	—
64	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂³×C₄	C₂³	1	3	yes	—
68	C₂³×C₄	C₂³	1	6	yes	—
69	#127	—	2	12	no	—
70	#127	—	4	12	no	—
71	#124	—	2	12	no	—
72	#123	—	2	24	no	—
73	C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
74	#121	—	2	24	no	—
75	#121	—	2	24	no	—
76	#121	—	2	24	no	—
77	#121	—	2	12	no	—
78	#120	—	2	48	no	—
79	#120	—	2	24	no	—
80	C₄×D₄	—	2	12	no	—
81	C₄×D₄	—	2	12	no	—
82	C₄×D₄	D₄	1	24	yes	complemented
83	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
84	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
85	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
86	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
87	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
88	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
89	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
90	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
91	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
92	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
93	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
94	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
95	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
96	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
97	C₂×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
98	C₂×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
99	#95	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	#95	C₂³	1	6	yes	—
101	#95	C₂³	1	3	yes	—
102	C₂⁴	—	2	12	no	—
103	C₂⁴	—	2	12	no	—
104	C₂⁴	—	2	24	no	—
105	C₂⁴	—	4	12	no	—
106	C₂⁴	—	4	6	no	—
107	C₂⁴	C₂⁴	1	6	yes	—
108	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
109	C₂⁴	C₂⁴	1	3	yes	—
110	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
111	#41	—	4	16	no	—
112	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
113	C₂×D₄	—	2	12	no	—
114	C₂×D₄	—	2	24	no	—
115	C₂×D₄	—	2	12	no	—
116	C₂×D₄	—	2	12	no	—
117	C₂×D₄	—	2	6	no	—
118	C₂×D₄	—	2	24	no	—
119	C₂×D₄	—	2	6	no	—
120	C₂×D₄	—	2	6	no	—
121	C₂×D₄	—	2	24	no	—
122	C₂×D₄	—	2	6	no	—
123	C₂×D₄	—	2	12	no	—
124	C₂×D₄	—	2	12	no	—
125	C₂×D₄	—	2	12	no	—
126	C₂×D₄	—	2	12	no	—
127	C₂×D₄	—	4	12	no	—
128	C₂×D₄	—	4	12	no	—
129	C₂×D₄	—	4	3	no	—
130	C₂×D₄	—	4	6	no	—
131	C₂×D₄	—	4	12	no	—
132	C₂×D₄	—	4	6	no	—
133	C₂×D₄	—	4	96	no	—
134	C₂×D₄	—	4	48	no	—
135	C₂×D₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
136	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
137	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
138	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
139	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
140	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
141	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	24	yes	complemented
142	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
144	C₂²×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
145	C₂²×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
146	C₂²×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
147	C₂²×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
148	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
149	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
150	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
151	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
152	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	12	yes	complemented
153	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
154	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
155	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
156	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
157	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
158	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
159	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
160	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
161	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	24	yes	complemented
162	C₄²	—	4	6	no	—
163	C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	complemented
164	C₂³	—	2	6	no	—
165	C₂³	—	2	2	no	—
166	C₂³	—	2	3	no	—
167	C₂³	—	2	6	no	—
168	C₂³	—	2	6	no	—
169	C₂³	—	2	3	no	—
170	C₂³	—	2	6	no	—
171	C₂³	—	2	3	no	—
172	C₂³	—	2	12	no	—
173	C₂³	—	2	3	no	—
174	C₂³	—	2	12	no	—
175	C₂³	—	2	6	no	—
176	C₂³	—	2	1	no	—
177	C₂³	—	2	6	no	—
178	C₂³	—	4	48	no	—
179	C₂³	—	4	24	no	—
180	C₂³	—	4	24	no	—
181	C₂³	—	8	12	no	—
182	C₂³	—	8	24	no	—
183	C₂³	C₂²×D₄	1	12	yes	—
184	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
185	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
186	Q₈	—	4	4	no	—
187	D₄	—	2	24	no	—
188	D₄	—	4	12	no	—
189	D₄	—	4	48	no	—
190	D₄	—	4	24	no	—
191	D₄	—	4	24	no	—
192	D₄	—	4	8	no	—
193	D₄	—	4	12	no	—
194	D₄	—	8	12	no	—
195	D₄	—	8	12	no	—
196	D₄	#127	1	16	yes	complemented
197	C₂×C₄	—	2	3	no	—
198	C₂×C₄	—	2	12	no	—
199	C₂×C₄	—	2	6	no	—
200	C₂×C₄	—	2	3	no	—
201	C₂×C₄	—	2	3	no	—
202	C₂×C₄	—	2	6	no	—
203	C₂×C₄	—	2	6	no	—
204	C₂×C₄	—	2	3	no	—
205	C₂×C₄	—	4	24	no	—
206	C₂×C₄	—	4	8	no	—
207	C₂×C₄	—	4	12	no	—
208	C₂×C₄	—	4	4	no	—
209	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
210	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
211	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
212	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
213	C₂²	—	2	12	no	—
214	C₂²	—	2	12	no	—
215	C₂²	—	2	12	no	—
216	C₂²	—	2	6	no	—
217	C₂²	—	4	3	no	—
218	C₂²	—	4	3	no	—
219	C₂²	—	4	6	no	—
220	C₂²	—	4	1	no	—
221	C₂²	—	4	6	no	—
222	C₂²	—	4	12	no	—
223	C₂²	—	4	3	no	—
224	C₂²	—	4	6	no	—
225	C₂²	—	4	3	no	—
226	C₂²	—	4	12	no	—
227	C₂²	—	4	6	no	—
228	C₂²	—	8	48	no	—
229	C₂²	C₂×#127	1	8	yes	—
230	C₂²	C₂³×D₄	1	3	yes	—
231	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	3	yes	—
232	C₂²	#585	1	1	yes	characteristic
233	C₄	—	2	6	no	—
234	C₄	—	2	12	no	—
235	C₄	—	2	6	no	—
236	C₄	—	4	1	no	—
237	C₄	—	4	3	no	—
238	C₄	—	4	2	no	—
239	C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
240	C₂	—	2	8	no	—
241	C₂	—	4	6	no	—
242	C₂	—	8	1	no	—
243	C₂	—	8	6	no	—
244	C₂	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
245	C₂	#3484	1	3	yes	—
246	C₂	#3488	1	3	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#546	C₂	semidirect
2. C₂×D₄²	C₂	semidirect
3. #2657	C₂	semidirect
4. #2656	C₂	semidirect
5. #2541	C₂	semidirect
6. #2540	C₂	semidirect
7. #2539	C₂	semidirect
8. #2433	C₂	semidirect
9. #2397	C₂	semidirect
10. C₂×#392	C₂	semidirect
11. #2275	C₂	semidirect
14. C₂³×D₄	C₂²	semidirect
17. C₂×#127	C₂²	semidirect
18. C₂×#127	C₂²	semidirect
19. C₂×#124	C₂²	semidirect
20. C₂×#123	C₂²	semidirect
21. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
22. C₂×#121	C₂²	semidirect
23. C₂×#121	C₂²	semidirect
24. C₂×#121	C₂²	semidirect
25. C₂×#121	C₂²	semidirect
26. C₂×#120	C₂²	semidirect
27. C₂×#120	C₂²	semidirect
29. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
30. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
31. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
32. #399	C₂²	semidirect
33. #399	C₂²	semidirect
34. #399	C₂²	semidirect
36. #392	C₂²	semidirect
37. #392	C₂²	semidirect
38. #392	C₂²	semidirect
39. #392	C₂²	semidirect
40. #392	C₂²	semidirect
41. #392	C₂²	semidirect
42. #390	C₂²	semidirect
43. #390	C₂²	semidirect
44. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
45. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
46. #376	C₂²	semidirect
47. C₂×#95	C₂²	semidirect
82. C₄×D₄	D₄	semidirect
141. C₂²×C₄	C₂×D₄	semidirect
152. C₄⋊C₄	C₂×D₄	semidirect
161. C₂²⋊C₄	C₂×D₄	semidirect
163. C₄²	C₂×D₄	semidirect
196. D₄	#127	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#546	2
C₂×D₄²	2
#2657	2
#2656	2
#2541	2
#2540	2
#2539	2
#2433	2
#2397	2
C₂×#392	2
#2275	2