Subgroups — #359702

Order 512.

2638 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 351 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2921	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2309	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20683	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1783	C₂	1	2	yes	maximal
5	#11044	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#10962	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10728	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂⁴×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#2921	—	2	8	no	—
12	C₂×#433	—	2	4	no	—
13	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	complemented
14	C₂²×#100	C₂²	1	8	yes	—
15	C₂×#407	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#407	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
18	#2309	—	2	4	no	—
19	#2309	—	2	4	no	—
20	C₂×#390	C₄	1	4	yes	—
21	C₂×#390	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#390	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#379	C₄	1	4	yes	—
24	#1818	—	2	4	no	—
25	#1783	—	2	8	no	—
26	C₂×#343	C₂²	1	8	yes	complemented
27	#1728	C₂²	1	2	yes	complemented
28	#1728	C₂²	1	2	yes	complemented
29	C₂⁶	C₂×C₄	1	2	yes	—
30	C₂³×D₄	—	2	8	no	—
31	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
32	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
33	C₂³×D₄	—	2	4	no	—
34	C₂³×D₄	—	2	4	no	—
35	C₂³×D₄	—	4	4	no	—
36	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
41	C₂×#117	—	2	4	no	—
42	C₂×#117	—	2	4	no	—
43	C₂×#117	—	2	2	no	—
44	C₂×#117	—	2	2	no	—
45	C₂×#117	—	4	4	no	—
46	C₂×#117	D₄	1	4	yes	—
47	C₂×#117	D₄	1	4	yes	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
53	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
54	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	#433	—	2	32	no	—
58	#423	—	2	8	no	—
59	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
60	C₂×#100	—	2	16	no	—
61	C₂×#100	—	2	16	no	—
62	C₂×#100	—	4	8	no	—
63	#407	—	2	4	no	—
64	#407	—	2	4	no	—
65	#407	—	2	4	no	—
66	#407	D₄	1	8	yes	—
67	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
68	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
69	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
70	C₂×#97	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
72	#390	—	2	16	no	—
73	#390	—	2	4	no	—
74	#390	—	2	4	no	—
75	#390	—	2	4	no	—
76	#390	—	2	4	no	—
77	#379	—	2	16	no	—
78	#343	—	4	8	no	—
79	#336	—	2	4	no	—
80	#336	—	2	4	no	—
81	C₂⁵	—	2	4	no	—
82	C₂⁵	—	2	8	no	—
83	C₂⁵	—	2	8	no	—
84	C₂⁵	—	4	4	no	—
85	C₂⁵	—	8	8	no	—
86	C₂⁵	C₂²×C₄	1	4	yes	—
87	C₂⁵	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
89	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
90	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
91	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
92	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
93	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
94	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
95	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
96	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
97	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
98	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
99	C₂²×D₄	—	4	32	no	—
100	C₂²×D₄	—	4	32	no	—
101	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
102	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
103	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
104	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
105	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
106	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
107	C₂²×D₄	#41	1	8	yes	—
108	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
109	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
110	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
112	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
113	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
114	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
115	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
116	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
117	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
118	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
119	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
126	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
127	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
129	#117	—	2	8	no	—
130	#117	—	2	16	no	—
131	#117	—	2	8	no	—
132	#117	—	4	8	no	—
133	#117	—	4	8	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
147	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
153	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
157	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
158	#100	—	4	32	no	—
159	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
160	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
161	#97	—	2	8	no	—
162	C₄×C₈	—	2	8	no	—
163	C₂⁴	—	2	2	no	—
164	C₂⁴	—	2	2	no	—
165	C₂⁴	—	2	16	no	—
166	C₂⁴	—	2	4	no	—
167	C₂⁴	—	2	4	no	—
168	C₂⁴	—	2	8	no	—
169	C₂⁴	—	2	8	no	—
170	C₂⁴	—	4	4	no	—
171	C₂⁴	—	4	32	no	—
172	C₂⁴	—	4	8	no	—
173	C₂⁴	—	4	8	no	—
174	C₂⁴	—	4	8	no	—
175	C₂⁴	—	4	8	no	—
176	C₂⁴	—	8	16	no	—
177	C₂⁴	—	8	32	no	—
178	C₂⁴	—	8	32	no	—
179	C₂⁴	—	8	32	no	—
180	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
181	C₂⁴	#117	1	8	yes	—
182	C₂⁴	C₄×D₄	1	4	yes	—
183	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×D₄	—	2	16	no	—
185	C₂×D₄	—	2	8	no	—
186	C₂×D₄	—	2	8	no	—
187	C₂×D₄	—	2	16	no	—
188	C₂×D₄	—	2	16	no	—
189	C₂×D₄	—	4	32	no	—
190	C₂×D₄	—	4	8	no	—
191	C₂×D₄	—	4	32	no	—
192	C₂×D₄	—	4	64	no	—
193	C₂×D₄	—	4	32	no	—
194	C₂×D₄	—	4	2	no	—
195	C₂×D₄	—	4	4	no	—
196	C₂×D₄	—	4	2	no	—
197	C₂×D₄	—	4	4	no	—
198	C₂×D₄	—	4	4	no	—
199	C₂×D₄	—	4	8	no	—
200	C₂×D₄	—	4	8	no	—
201	C₂×D₄	—	4	8	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
217	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
221	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
223	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
229	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
230	M₁₆	—	2	16	no	—
231	M₁₆	—	4	8	no	—
232	M₁₆	—	4	8	no	—
233	M₁₆	—	4	8	no	—
234	C₂×C₈	—	2	8	no	—
235	C₂×C₈	—	4	4	no	—
236	C₂×C₈	—	4	4	no	—
237	C₂×C₈	—	4	4	no	—
238	C₂×C₈	—	4	4	no	—
239	C₂×C₈	—	4	4	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
247	C₄²	—	2	2	no	—
248	C₄²	—	2	2	no	—
249	C₄²	—	2	4	no	—
250	C₄²	—	2	4	no	—
251	C₄²	—	2	2	no	—
252	C₄²	—	2	2	no	—
253	C₄²	—	4	8	no	—
254	C₂³	—	2	4	no	—
255	C₂³	—	2	2	no	—
256	C₂³	—	2	8	no	—
257	C₂³	—	2	8	no	—
258	C₂³	—	2	2	no	—
259	C₂³	—	2	8	no	—
260	C₂³	—	2	16	no	—
261	C₂³	—	4	8	no	—
262	C₂³	—	4	8	no	—
263	C₂³	—	4	8	no	—
264	C₂³	—	4	32	no	—
265	C₂³	—	4	16	no	—
266	C₂³	—	4	16	no	—
267	C₂³	—	4	4	no	—
268	C₂³	—	4	8	no	—
269	C₂³	—	4	8	no	—
270	C₂³	—	4	8	no	—
271	C₂³	—	4	4	no	—
272	C₂³	—	8	8	no	—
273	C₂³	—	8	8	no	—
274	C₂³	—	8	16	no	—
275	C₂³	—	8	32	no	—
276	C₂³	—	8	32	no	—
277	C₂³	—	8	128	no	—
278	C₂³	—	8	32	no	—
279	C₂³	#386	1	4	yes	—
280	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
281	C₂³	C₂×#117	1	2	yes	—
282	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
283	C₂³	#518	1	2	yes	—
284	D₄	—	4	32	no	—
285	D₄	—	4	8	no	—
286	D₄	—	4	16	no	—
287	D₄	—	4	8	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	8	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	8	no	—
292	C₂×C₄	—	2	16	no	—
293	C₂×C₄	—	2	8	no	—
294	C₂×C₄	—	2	8	no	—
295	C₂×C₄	—	2	8	no	—
296	C₂×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂×C₄	—	4	4	no	—
299	C₂×C₄	—	4	8	no	—
300	C₂×C₄	—	8	4	no	—
301	C₂×C₄	—	8	4	no	—
302	C₂×C₄	—	8	8	no	—
303	C₂×C₄	#386	1	4	yes	—
304	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	#546	1	8	yes	—
312	C₂×C₄	#551	1	8	yes	—
313	C₈	—	4	8	no	—
314	C₈	—	8	4	no	—
315	C₂²	—	2	4	no	—
316	C₂²	—	2	4	no	—
317	C₂²	—	2	4	no	—
318	C₂²	—	2	4	no	—
319	C₂²	—	2	8	no	—
320	C₂²	—	4	16	no	—
321	C₂²	—	4	4	no	—
322	C₂²	—	4	4	no	—
323	C₂²	—	4	8	no	—
324	C₂²	—	4	16	no	—
325	C₂²	—	8	16	no	—
326	C₂²	—	8	16	no	—
327	C₂²	—	8	64	no	—
328	C₂²	—	8	4	no	—
329	C₂²	—	8	4	no	—
330	C₂²	—	8	8	no	—
331	C₂²	#2280	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	C₂×#386	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	#2309	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	#2342	1	4	yes	—
335	C₂²	#2888	1	4	yes	—
336	C₄	—	2	4	no	—
337	C₄	—	4	4	no	—
338	C₄	—	4	4	no	—
339	C₄	—	8	4	no	—
340	C₄	#2404	1	2	yes	—
341	C₄	#2411	1	4	yes	—
342	C₄	#2482	1	2	yes	—
343	C₂	—	2	4	no	—
344	C₂	—	4	4	no	—
345	C₂	—	8	8	no	—
346	C₂	#13868	1	1	yes	characteristic
347	C₂	#20729	1	2	yes	—
348	C₂	#20990	1	2	yes	—
349	C₂	#21801	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
commutator	C₂⁴	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁴×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×#117 ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#2921	C₂	semidirect
3. #20683	C₂	semidirect
5. #11044	C₂	semidirect
6. #10962	C₂	semidirect
7. #10728	C₂	semidirect
13. C₂×#423	C₂²	semidirect
17. C₂×C₄×M₁₆	C₂²	semidirect
26. C₂×#343	C₂²	semidirect
27. #1728	C₂²	semidirect
28. #1728	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2921	2
C₂×#2309	2
#20683	2
C₂×#1783	2
#11044	2
#10962	2
#10728	2