Subgroups — #35976

Order 256.

1330 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 387 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#546	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#520	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2624	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2623	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#2504	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#2498	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2486	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#2482	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2448	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2444	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#2421	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2418	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
13	#2395	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₂×#397	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
15	#2349	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
16	#2339	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
17	D₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
18	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#546	—	2	8	no	—
21	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#120	C₂²	1	2	yes	—
28	#520	—	2	8	no	—
29	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
30	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	complemented
35	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
36	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	complemented
37	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
38	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
39	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
41	#400	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#400	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
43	#399	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#399	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#399	C₂²	1	2	yes	complemented
46	#398	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
47	#398	C₂²	1	2	yes	complemented
48	#397	C₂²	1	1	yes	characteristic
49	#397	C₂²	1	4	yes	—
50	#397	C₂²	1	2	yes	—
51	#397	C₂²	1	2	yes	complemented
52	#397	C₂²	1	2	yes	complemented
53	#397	C₂²	1	4	yes	complemented
54	#397	C₂²	1	2	yes	complemented
55	#397	C₂²	1	2	yes	complemented
56	#394	C₂²	1	2	yes	—
57	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
58	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
59	#390	C₂²	1	2	yes	—
60	#390	C₂²	1	2	yes	—
61	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
62	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
63	#388	C₂²	1	4	yes	—
64	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
65	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
66	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
67	#386	C₂²	1	4	yes	—
68	#386	C₂²	1	4	yes	—
69	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
70	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
71	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
72	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
73	#382	C₂²	1	2	yes	complemented
74	#381	C₂²	1	2	yes	complemented
75	#381	C₂²	1	2	yes	complemented
76	#380	C₂²	1	2	yes	—
77	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
78	#380	C₂²	1	4	yes	complemented
79	#379	C₂²	1	4	yes	—
80	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
81	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
82	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
83	C₂×#95	C₂²	1	2	yes	complemented
84	C₂×#95	C₂²	1	4	yes	complemented
85	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×#41	—	2	8	no	—
87	C₂×#41	D₄	1	8	yes	—
88	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
90	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
91	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
104	#124	—	2	4	no	—
105	#123	—	2	8	no	—
106	#123	—	4	4	no	—
107	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
108	#121	—	2	8	no	—
109	#121	—	2	4	no	—
110	#120	—	2	8	no	—
111	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
112	C₄×D₄	—	2	8	no	—
113	C₄×D₄	—	2	4	no	—
114	C₄×D₄	—	2	16	no	—
115	C₄×D₄	—	2	8	no	—
116	C₄×D₄	—	2	4	no	—
117	#117	—	2	8	no	—
118	#117	—	2	4	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
130	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
132	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
133	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
159	#95	C₂³	1	1	yes	characteristic
160	#95	C₂³	1	2	yes	—
161	#95	C₂³	1	2	yes	—
162	#95	C₂³	1	4	yes	—
163	#95	C₂³	1	4	yes	—
164	#95	C₂³	1	4	yes	—
165	#95	C₂³	1	4	yes	—
166	#95	C₂³	1	2	yes	—
167	#95	C₂³	1	2	yes	—
168	#95	C₂³	1	1	yes	characteristic
169	#95	C₂³	1	2	yes	—
170	#95	C₂³	1	4	yes	—
171	#95	C₂³	1	4	yes	—
172	#95	C₂³	1	4	yes	—
173	C₂⁴	—	2	4	no	—
174	C₂⁴	—	2	4	no	—
175	C₂⁴	—	2	8	no	—
176	C₂⁴	—	4	4	no	—
177	C₂⁴	—	4	2	no	—
178	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
179	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
180	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
181	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
182	#41	—	2	32	no	—
183	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
184	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
185	C₂×D₄	—	2	8	no	—
186	C₂×D₄	—	2	2	no	—
187	C₂×D₄	—	2	4	no	—
188	C₂×D₄	—	2	8	no	—
189	C₂×D₄	—	2	2	no	—
190	C₂×D₄	—	2	4	no	—
191	C₂×D₄	—	2	2	no	—
192	C₂×D₄	—	2	4	no	—
193	C₂×D₄	—	4	1	no	—
194	C₂×D₄	—	4	4	no	—
195	C₂×D₄	—	4	16	no	—
196	C₂×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
197	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
198	C₂×D₄	#41	1	8	yes	—
199	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
214	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
229	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
230	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
232	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
238	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
239	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
261	C₄²	—	2	8	no	—
262	C₄²	—	2	4	no	—
263	C₄²	—	2	2	no	—
264	C₄²	—	2	4	no	—
265	C₂³	—	2	2	no	—
266	C₂³	—	2	2	no	—
267	C₂³	—	2	4	no	—
268	C₂³	—	2	1	no	—
269	C₂³	—	2	2	no	—
270	C₂³	—	2	2	no	—
271	C₂³	—	2	1	no	—
272	C₂³	—	2	2	no	—
273	C₂³	—	2	2	no	—
274	C₂³	—	2	1	no	—
275	C₂³	—	2	1	no	—
276	C₂³	—	2	2	no	—
277	C₂³	—	2	4	no	—
278	C₂³	—	2	2	no	—
279	C₂³	—	2	2	no	—
280	C₂³	—	2	4	no	—
281	C₂³	—	4	8	no	—
282	C₂³	—	4	16	no	—
283	C₂³	—	4	8	no	—
284	C₂³	—	8	4	no	—
285	C₂³	—	8	8	no	—
286	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
287	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
288	C₂³	C₂×#41	1	8	yes	—
289	C₂³	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
290	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
291	Q₈	—	2	8	no	—
292	D₄	—	2	16	no	—
293	D₄	—	4	4	no	—
294	D₄	—	4	8	no	—
295	D₄	—	4	4	no	—
296	D₄	—	8	4	no	—
297	D₄	#123	1	16	yes	complemented
298	C₂×C₄	—	2	16	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	8	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	1	no	—
304	C₂×C₄	—	2	1	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	1	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	1	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	2	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	4	no	—
323	C₂×C₄	—	2	4	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	1	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	4	no	—
329	C₂×C₄	—	4	4	no	—
330	C₂×C₄	—	8	8	no	—
331	C₂×C₄	—	8	4	no	—
332	C₂×C₄	—	8	4	no	—
333	C₂×C₄	—	8	8	no	—
334	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
335	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
338	C₂²	—	2	4	no	—
339	C₂²	—	2	4	no	—
340	C₂²	—	2	8	no	—
341	C₂²	—	2	8	no	—
342	C₂²	—	2	2	no	—
343	C₂²	—	2	2	no	—
344	C₂²	—	2	2	no	—
345	C₂²	—	2	2	no	—
346	C₂²	—	2	4	no	—
347	C₂²	—	4	1	no	—
348	C₂²	—	4	1	no	—
349	C₂²	—	4	2	no	—
350	C₂²	—	4	2	no	—
351	C₂²	—	4	2	no	—
352	C₂²	—	4	2	no	—
353	C₂²	—	4	2	no	—
354	C₂²	—	4	2	no	—
355	C₂²	—	4	4	no	—
356	C₂²	—	4	4	no	—
357	C₂²	—	8	16	no	—
358	C₂²	C₂×#123	1	8	yes	—
359	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	C₂²×#41	1	2	yes	—
361	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	#585	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	#585	1	2	yes	—
364	C₄	—	2	2	no	—
365	C₄	—	2	4	no	—
366	C₄	—	4	1	no	—
367	C₄	—	4	2	no	—
368	C₄	—	4	4	no	—
369	C₄	—	4	1	no	—
370	C₄	—	4	2	no	—
371	C₄	—	4	1	no	—
372	C₄	—	4	2	no	—
373	C₄	—	4	4	no	—
374	C₄	—	4	2	no	—
375	C₄	—	4	2	no	—
376	C₄	C₂×#123	1	4	yes	—
377	C₂	—	2	8	no	—
378	C₂	—	4	2	no	—
379	C₂	—	4	2	no	—
380	C₂	—	8	2	no	—
381	C₂	C₂²×#123	1	1	yes	characteristic
382	C₂	#3488	1	1	yes	characteristic
383	C₂	#3500	1	1	yes	characteristic
384	C₂	#3513	1	2	yes	—
385	C₂	#3521	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂×#546	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#520	C₂	semidirect
3. #2624	C₂	semidirect
4. #2623	C₂	semidirect
5. #2504	C₂	semidirect
6. #2498	C₂	semidirect
7. #2486	C₂	semidirect
8. #2482	C₂	semidirect
9. #2448	C₂	semidirect
10. #2444	C₂	semidirect
11. #2421	C₂	semidirect
12. #2418	C₂	semidirect
13. #2395	C₂	semidirect
14. C₂×#397	C₂	semidirect
15. #2349	C₂	semidirect
16. #2339	C₂	semidirect
17. D₄×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
29. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
34. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
35. C₂×#117	C₂²	semidirect
36. C₂×#117	C₂²	semidirect
37. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
38. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
41. #400	C₂²	semidirect
42. #400	C₂²	semidirect
44. #399	C₂²	semidirect
45. #399	C₂²	semidirect
46. #398	C₂²	semidirect
47. #398	C₂²	semidirect
51. #397	C₂²	semidirect
52. #397	C₂²	semidirect
53. #397	C₂²	semidirect
54. #397	C₂²	semidirect
55. #397	C₂²	semidirect
57. #394	C₂²	semidirect
58. #391	C₂²	semidirect
61. #389	C₂²	semidirect
62. #389	C₂²	semidirect
64. #388	C₂²	semidirect
65. #388	C₂²	semidirect
66. #387	C₂²	semidirect
69. #386	C₂²	semidirect
70. #386	C₂²	semidirect
71. #385	C₂²	semidirect
72. #385	C₂²	semidirect
73. #382	C₂²	semidirect
74. #381	C₂²	semidirect
75. #381	C₂²	semidirect
77. #380	C₂²	semidirect
78. #380	C₂²	semidirect
80. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
82. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
83. C₂×#95	C₂²	semidirect
84. C₂×#95	C₂²	semidirect
297. D₄	#123	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#546	2
C₂×#520	2
#2624	2
#2623	2
#2504	2
#2498	2
#2486	2
#2482	2
#2448	2
#2444	2
#2421	2
#2418	2
#2395	2
C₂×#397	2
#2349	2
#2339	2
D₄×C₂²⋊C₄	2