Subgroups — #36033

Order 256.

1209 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 371 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#556	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#518	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#2638	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2621	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2580	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#2561	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2547	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#2482	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2480	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#2468	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#2447	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2435	C₂	1	2	yes	maximal
13	#2396	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	#2395	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
15	#2367	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
16	#2362	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
17	#2357	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
18	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#556	—	2	8	no	—
20	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
21	C₂×#126	C₂²	1	4	yes	complemented
22	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
26	#518	—	2	8	no	—
27	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
28	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
29	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	complemented
38	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
40	#400	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
41	#399	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#399	C₂²	1	2	yes	complemented
43	#398	C₂²	1	2	yes	complemented
44	#398	C₂²	1	2	yes	complemented
45	#398	C₂²	1	2	yes	complemented
46	#397	C₂²	1	2	yes	—
47	#397	C₂²	1	2	yes	—
48	#397	C₂²	1	2	yes	complemented
49	#397	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#397	C₂²	1	2	yes	complemented
51	#397	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#396	C₂²	1	2	yes	—
53	#395	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
54	#394	C₂²	1	4	yes	—
55	#394	C₂²	1	4	yes	—
56	#393	C₂²	1	1	yes	characteristic
57	#393	C₂²	1	2	yes	complemented
58	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
59	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
60	#390	C₂²	1	2	yes	—
61	#390	C₂²	1	2	yes	—
62	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
63	#388	C₂²	1	4	yes	—
64	#388	C₂²	1	4	yes	—
65	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
66	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
67	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
68	#387	C₂²	1	4	yes	complemented
69	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
70	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
71	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
72	#382	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
73	#381	C₂²	1	4	yes	complemented
74	#381	C₂²	1	2	yes	complemented
75	#380	C₂²	1	4	yes	complemented
76	#379	C₂²	1	4	yes	—
77	#379	C₂²	1	4	yes	—
78	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
79	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
80	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
81	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
82	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
83	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
84	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
85	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
89	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
90	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
91	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
99	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
100	#126	—	2	16	no	—
101	#124	—	2	8	no	—
102	#124	—	2	8	no	—
103	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
104	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
105	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
106	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
107	C₄×D₄	—	2	4	no	—
108	C₄×D₄	—	2	8	no	—
109	C₄×D₄	—	2	4	no	—
110	C₄×D₄	—	2	8	no	—
111	C₄×D₄	—	2	4	no	—
112	C₄×D₄	D₄	1	8	yes	—
113	#117	—	2	8	no	—
114	#117	—	2	4	no	—
115	#117	—	2	4	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
117	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
118	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
128	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
130	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
158	#95	C₂³	1	2	yes	—
159	#95	C₂³	1	2	yes	—
160	#95	C₂³	1	1	yes	characteristic
161	#95	C₂³	1	2	yes	—
162	#95	C₂³	1	2	yes	—
163	#95	C₂³	1	4	yes	—
164	#95	C₂³	1	4	yes	—
165	#95	C₂³	1	2	yes	—
166	#95	C₂³	1	1	yes	characteristic
167	#95	C₂³	1	4	yes	—
168	#95	C₂³	1	4	yes	—
169	#95	C₂³	1	4	yes	—
170	#95	C₂³	1	4	yes	—
171	#95	C₂³	1	2	yes	—
172	C₂⁴	—	2	4	no	—
173	C₂⁴	—	2	4	no	—
174	C₂⁴	—	2	4	no	—
175	C₂⁴	—	4	4	no	—
176	C₂⁴	—	4	4	no	—
177	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
178	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
179	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
180	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
181	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
182	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
183	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
184	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
185	C₂×D₄	—	2	32	no	—
186	C₂×D₄	—	2	4	no	—
187	C₂×D₄	—	2	4	no	—
188	C₂×D₄	—	2	2	no	—
189	C₂×D₄	—	2	4	no	—
190	C₂×D₄	—	2	2	no	—
191	C₂×D₄	—	2	2	no	—
192	C₂×D₄	—	2	2	no	—
193	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
194	C₂×D₄	#41	1	4	yes	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
204	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
205	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
220	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
221	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
222	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
223	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
224	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
225	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
226	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
227	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
228	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
229	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
230	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
231	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
232	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
233	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
234	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
235	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
237	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
252	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
253	C₄²	—	2	4	no	—
254	C₄²	—	2	2	no	—
255	C₄²	—	2	8	no	—
256	C₄²	—	2	4	no	—
257	C₄²	—	2	4	no	—
258	C₄²	—	4	4	no	—
259	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
260	C₂³	—	2	16	no	—
261	C₂³	—	2	1	no	—
262	C₂³	—	2	2	no	—
263	C₂³	—	2	1	no	—
264	C₂³	—	2	2	no	—
265	C₂³	—	2	2	no	—
266	C₂³	—	2	2	no	—
267	C₂³	—	2	4	no	—
268	C₂³	—	2	4	no	—
269	C₂³	—	2	4	no	—
270	C₂³	—	2	4	no	—
271	C₂³	—	2	2	no	—
272	C₂³	—	2	2	no	—
273	C₂³	—	8	4	no	—
274	C₂³	—	8	4	no	—
275	C₂³	—	8	8	no	—
276	C₂³	—	8	8	no	—
277	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
278	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
279	C₂³	C₂×#41	1	4	yes	—
280	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
281	Q₈	—	4	4	no	—
282	Q₈	—	4	8	no	—
283	D₄	—	2	16	no	—
284	D₄	—	2	8	no	—
285	D₄	—	2	8	no	—
286	C₂×C₄	—	2	1	no	—
287	C₂×C₄	—	2	1	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	8	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	1	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	1	no	—
296	C₂×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	4	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	4	8	no	—
317	C₂×C₄	—	8	4	no	—
318	C₂×C₄	—	8	4	no	—
319	C₂×C₄	—	8	4	no	—
320	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
327	C₂²	—	2	2	no	—
328	C₂²	—	2	4	no	—
329	C₂²	—	2	4	no	—
330	C₂²	—	2	4	no	—
331	C₂²	—	2	4	no	—
332	C₂²	—	2	4	no	—
333	C₂²	—	2	8	no	—
334	C₂²	—	4	2	no	—
335	C₂²	—	4	1	no	—
336	C₂²	—	4	2	no	—
337	C₂²	—	4	1	no	—
338	C₂²	—	4	4	no	—
339	C₂²	—	4	4	no	—
340	C₂²	—	4	4	no	—
341	C₂²	—	4	2	no	—
342	C₂²	—	8	16	no	—
343	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	#585	1	2	yes	—
347	C₂²	#585	1	2	yes	—
348	C₄	—	2	2	no	—
349	C₄	—	2	2	no	—
350	C₄	—	2	4	no	—
351	C₄	—	2	2	no	—
352	C₄	—	4	4	no	—
353	C₄	—	4	1	no	—
354	C₄	—	4	2	no	—
355	C₄	—	4	2	no	—
356	C₄	—	4	2	no	—
357	C₄	—	4	1	no	—
358	C₄	—	4	4	no	—
359	C₄	—	4	2	no	—
360	C₄	—	4	2	no	—
361	C₄	#525	1	4	yes	—
362	C₂	—	4	4	no	—
363	C₂	—	4	4	no	—
364	C₂	—	4	2	no	—
365	C₂	C₂×#525	1	1	yes	characteristic
366	C₂	#3485	1	1	yes	characteristic
367	C₂	#3500	1	1	yes	characteristic
368	C₂	#3510	1	2	yes	—
369	C₂	#3521	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂³×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#556	C₂	semidirect
3. #2638	C₂	semidirect
4. #2621	C₂	semidirect
5. #2580	C₂	semidirect
6. #2561	C₂	semidirect
7. #2547	C₂	semidirect
8. #2482	C₂	semidirect
9. #2480	C₂	semidirect
10. #2468	C₂	semidirect
11. #2447	C₂	semidirect
13. #2396	C₂	semidirect
14. #2395	C₂	semidirect
15. #2367	C₂	semidirect
16. #2362	C₂	semidirect
17. #2357	C₂	semidirect
20. C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
21. C₂×#126	C₂²	semidirect
25. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
27. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
28. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
37. C₂×#117	C₂²	semidirect
40. #400	C₂²	semidirect
42. #399	C₂²	semidirect
43. #398	C₂²	semidirect
44. #398	C₂²	semidirect
45. #398	C₂²	semidirect
48. #397	C₂²	semidirect
49. #397	C₂²	semidirect
50. #397	C₂²	semidirect
51. #397	C₂²	semidirect
53. #395	C₂²	semidirect
57. #393	C₂²	semidirect
58. #391	C₂²	semidirect
59. #391	C₂²	semidirect
62. #389	C₂²	semidirect
65. #388	C₂²	semidirect
66. #388	C₂²	semidirect
67. #388	C₂²	semidirect
68. #387	C₂²	semidirect
69. #385	C₂²	semidirect
70. #385	C₂²	semidirect
71. #385	C₂²	semidirect
72. #382	C₂²	semidirect
73. #381	C₂²	semidirect
74. #381	C₂²	semidirect
75. #380	C₂²	semidirect
78. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
79. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
80. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
81. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
83. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
84. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#556	2
C₂×#518	2
#2638	2
#2621	2
#2580	2
#2561	2
#2547	2
#2482	2
#2480	2
#2468	2
#2447	2
#2435	2
#2396	2
#2395	2
#2367	2
#2362	2
#2357	2