Subgroups — #360658

Order 512.

1322 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 431 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#34188	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20764	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20648	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×C₄×#104	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#14687	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#11079	C₂	1	4	yes	maximal
7	#10892	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10857	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#10839	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#104	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#417	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#2355	—	2	2	no	—
16	#2354	—	2	2	no	—
17	#2352	—	2	4	no	—
18	#2314	—	2	2	no	—
19	#2311	C₂²	1	2	yes	—
20	#2285	—	2	2	no	—
21	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#382	C₂²	1	4	yes	—
25	#2274	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1836	—	2	2	no	—
28	#1834	—	2	2	no	—
29	#1803	—	2	2	no	—
30	#1802	—	2	2	no	—
31	C₄×#104	C₄	1	8	yes	complemented
32	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
33	#1736	C₂²	1	4	yes	—
34	#1736	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
36	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
37	C₄⋊#95	—	2	4	no	—
38	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
41	C₄×#41	—	2	2	no	—
42	C₄×#41	—	2	2	no	—
43	C₄×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₄×#41	Q₈	1	4	yes	—
45	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
46	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
48	C₂×#117	—	2	4	no	—
49	C₂×#117	—	2	1	no	—
50	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
53	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
54	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
57	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	#423	—	2	2	no	—
61	#423	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
63	C₂×#104	—	2	4	no	—
64	C₂×#104	—	2	4	no	—
65	C₂×#104	C₂×C₄	1	8	yes	—
66	#417	—	4	4	no	—
67	C₂×#103	—	2	2	no	—
68	C₂×#102	—	2	2	no	—
69	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
70	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
71	C₂×#97	—	2	1	no	—
72	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
73	#391	—	2	2	no	—
74	#390	—	2	2	no	—
75	#388	—	2	8	no	—
76	#387	—	2	8	no	—
77	#386	—	2	4	no	—
78	#384	—	2	1	no	—
79	#384	—	2	2	no	—
80	#384	—	2	1	no	—
81	#384	—	2	2	no	—
82	#384	—	2	1	no	—
83	#384	—	2	1	no	—
84	#384	D₄	1	2	yes	—
85	#382	—	2	4	no	—
86	#382	—	2	8	no	—
87	#382	—	4	4	no	—
88	#382	D₄	1	2	yes	—
89	#380	—	2	4	no	—
90	#380	—	2	2	no	—
91	#380	—	2	4	no	—
92	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
93	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
94	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
95	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
96	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
97	C₂×#95	—	2	8	no	—
98	C₄³	—	2	2	no	—
99	C₄³	C₂×C₄	1	4	yes	—
100	#343	—	4	4	no	—
101	#340	—	2	4	no	—
102	#340	—	2	8	no	—
103	#339	—	2	8	no	—
104	#339	C₂×C₄	1	8	yes	—
105	C₂×#41	—	2	1	no	—
106	C₂×#41	—	2	1	no	—
107	C₂×#41	—	2	2	no	—
108	C₂×#41	—	2	2	no	—
109	C₂×#41	—	2	2	no	—
110	C₂×#41	—	2	2	no	—
111	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
112	C₂×#41	C₂×Q₈	1	2	yes	—
113	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
115	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
117	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
118	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
119	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
120	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
123	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
132	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
133	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
135	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
136	C₄×Q₈	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
137	C₄×D₄	—	2	8	no	—
138	C₄×D₄	—	2	8	no	—
139	C₄×D₄	—	2	4	no	—
140	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
141	#117	—	2	1	no	—
142	#117	—	2	1	no	—
143	#117	—	2	4	no	—
144	#117	—	2	4	no	—
145	#117	—	2	4	no	—
146	#117	—	2	4	no	—
147	#117	—	8	8	no	—
148	#117	C₂²×C₄	1	2	yes	—
149	#117	C₂×Q₈	1	2	yes	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
168	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
175	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
181	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
183	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
184	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
185	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
187	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
191	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
192	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
193	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
194	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
195	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
196	#104	—	2	16	no	—
197	#103	—	4	4	no	—
198	#102	—	4	4	no	—
199	#97	—	2	4	no	—
200	C₄×C₈	—	2	4	no	—
201	#95	—	2	8	no	—
202	#95	—	2	8	no	—
203	#95	—	2	4	no	—
204	#95	—	4	16	no	—
205	C₂⁴	—	2	1	no	—
206	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
207	#41	—	2	4	no	—
208	#41	—	2	4	no	—
209	#41	—	2	4	no	—
210	#41	—	2	4	no	—
211	#41	—	4	2	no	—
212	#41	—	4	2	no	—
213	#41	—	4	2	no	—
214	#41	—	4	2	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
216	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
218	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
219	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
220	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
221	C₂×D₄	—	2	2	no	—
222	C₂×D₄	—	2	2	no	—
223	C₂×D₄	—	2	1	no	—
224	C₂×D₄	—	2	1	no	—
225	C₂×D₄	—	2	1	no	—
226	C₂×D₄	—	2	1	no	—
227	C₂×D₄	—	2	1	no	—
228	C₂×D₄	—	4	2	no	—
229	C₂×D₄	—	4	2	no	—
230	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
254	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
255	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
268	M₁₆	—	2	4	no	—
269	M₁₆	—	2	4	no	—
270	M₁₆	—	4	2	no	—
271	M₁₆	—	4	2	no	—
272	M₁₆	—	4	4	no	—
273	M₁₆	—	4	4	no	—
274	C₂×C₈	—	2	4	no	—
275	C₂×C₈	—	4	2	no	—
276	C₂×C₈	—	4	2	no	—
277	C₂×C₈	—	4	2	no	—
278	C₂×C₈	—	4	2	no	—
279	C₂×C₈	—	4	2	no	—
280	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
282	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
283	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
284	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
285	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
287	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
288	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
290	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
291	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
293	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
295	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
296	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
301	C₄²	—	2	2	no	—
302	C₄²	—	2	4	no	—
303	C₄²	—	2	2	no	—
304	C₄²	—	2	4	no	—
305	C₄²	—	2	4	no	—
306	C₄²	—	2	8	no	—
307	C₄²	—	4	16	no	—
308	C₄²	—	4	2	no	—
309	C₄²	—	4	2	no	—
310	C₄²	—	8	8	no	—
311	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
312	C₄²	#117	1	8	yes	complemented
313	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
314	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
315	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
316	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
317	C₄²	#123	1	4	yes	—
318	C₂³	—	2	2	no	—
319	C₂³	—	2	2	no	—
320	C₂³	—	2	2	no	—
321	C₂³	—	4	1	no	—
322	C₂³	—	4	1	no	—
323	C₂³	—	4	2	no	—
324	C₂³	—	4	2	no	—
325	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
326	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
327	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
328	C₂³	#546	1	2	yes	—
329	C₂³	#548	1	2	yes	—
330	Q₈	—	2	2	no	—
331	Q₈	—	2	2	no	—
332	Q₈	—	4	1	no	—
333	Q₈	—	4	1	no	—
334	D₄	—	2	2	no	—
335	D₄	—	2	2	no	—
336	D₄	—	4	4	no	—
337	D₄	—	4	4	no	—
338	D₄	—	4	1	no	—
339	D₄	—	4	1	no	—
340	C₂×C₄	—	2	2	no	—
341	C₂×C₄	—	2	2	no	—
342	C₂×C₄	—	2	8	no	—
343	C₂×C₄	—	2	8	no	—
344	C₂×C₄	—	2	8	no	—
345	C₂×C₄	—	2	4	no	—
346	C₂×C₄	—	2	2	no	—
347	C₂×C₄	—	4	8	no	—
348	C₂×C₄	—	4	8	no	—
349	C₂×C₄	—	4	4	no	—
350	C₂×C₄	—	4	4	no	—
351	C₂×C₄	—	4	1	no	—
352	C₂×C₄	—	4	1	no	—
353	C₂×C₄	—	4	2	no	—
354	C₂×C₄	—	4	2	no	—
355	C₂×C₄	—	4	4	no	—
356	C₂×C₄	—	4	16	no	—
357	C₂×C₄	—	4	4	no	—
358	C₂×C₄	—	4	4	no	—
359	C₂×C₄	—	4	4	no	—
360	C₂×C₄	—	4	4	no	—
361	C₂×C₄	—	4	8	no	—
362	C₂×C₄	—	4	4	no	—
363	C₂×C₄	—	8	8	no	—
364	C₂×C₄	—	8	8	no	—
365	C₂×C₄	—	8	2	no	—
366	C₂×C₄	—	8	4	no	—
367	C₂×C₄	#385	1	4	yes	—
368	C₂×C₄	#385	1	4	yes	—
369	C₂×C₄	#454	1	4	yes	—
370	C₂×C₄	#455	1	4	yes	—
371	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	C₂×#117	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
376	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
379	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
380	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
381	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
382	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
383	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
384	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
385	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
386	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
387	C₂×C₄	#555	1	2	yes	—
388	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
389	C₈	—	4	4	no	—
390	C₈	—	8	2	no	—
391	C₂²	—	2	4	no	—
392	C₂²	—	2	2	no	—
393	C₂²	—	2	2	no	—
394	C₂²	—	2	2	no	—
395	C₂²	—	2	2	no	—
396	C₂²	—	4	2	no	—
397	C₂²	—	4	4	no	—
398	C₂²	—	8	2	no	—
399	C₂²	—	8	1	no	—
400	C₂²	—	8	1	no	—
401	C₂²	C₂×#385	1	1	yes	characteristic
402	C₂²	#2352	1	2	yes	—
403	C₂²	#2431	1	1	yes	characteristic
404	C₂²	#2432	1	1	yes	characteristic
405	C₂²	#2439	1	2	yes	—
406	C₂²	C₂×#455	1	2	yes	—
407	C₂²	C₂×#454	1	2	yes	—
408	C₄	—	2	4	no	—
409	C₄	—	4	8	no	—
410	C₄	—	4	2	no	—
411	C₄	—	4	4	no	—
412	C₄	—	8	4	no	—
413	C₄	—	8	4	no	—
414	C₄	—	16	2	no	—
415	C₄	#1860	1	8	yes	—
416	C₄	#2285	1	1	yes	characteristic
417	C₄	#2317	1	1	yes	characteristic
418	C₄	#2354	1	2	yes	—
419	C₄	#2441	1	2	yes	—
420	C₄	#2499	1	1	yes	characteristic
421	C₄	#2500	1	1	yes	characteristic
422	C₂	—	2	2	no	—
423	C₂	—	2	2	no	—
424	C₂	—	8	2	no	—
425	C₂	#13879	1	1	yes	characteristic
426	C₂	C₂×#1860	1	2	yes	—
427	C₂	#25590	1	1	yes	characteristic
428	C₂	#25591	1	1	yes	characteristic
429	C₂	#25667	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#120
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20764	C₂	semidirect
5. #14687	C₂	semidirect
7. #10892	C₂	semidirect
8. #10857	C₂	semidirect
9. #10839	C₂	semidirect
31. C₄×#104	C₄	semidirect
312. C₄²	#117	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#34188	2
#20764	2
#20648	2
C₂×C₄×#104	2
#14687	2
#11079	2
#10892	2
#10857	2
#10839	2