Subgroups — #360710

Order 512.

1858 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 411 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#382	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1853	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1852	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1846	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×C₄×C₂²⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#14682	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#11325	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10842	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#107	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂²×#106	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#382	—	2	2	no	—
17	C₂×#382	—	2	8	no	—
18	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#380	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×#95	—	2	2	no	—
24	#1853	—	2	8	no	—
25	#1852	—	2	8	no	—
26	#1846	—	2	8	no	—
27	C₄×C₂²⋊C₈	C₄	1	8	yes	complemented
28	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
31	C₄⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
32	#1434	—	2	2	no	—
33	C₂²⋊#95	—	2	2	no	—
34	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
35	C₂⁴×C₄	D₄	1	2	yes	—
36	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
40	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
41	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
42	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
43	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
44	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
48	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
49	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
50	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
52	C₂²×C₄²	Q₈	1	4	yes	—
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×#107	—	2	8	no	—
56	C₂×#107	—	2	8	no	—
57	C₂×#107	—	4	4	no	—
58	C₂×#106	—	2	8	no	—
59	C₂×#106	—	2	8	no	—
60	C₂×#106	—	4	4	no	—
61	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
63	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
64	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
65	C₂×C₂²⋊C₈	Q₈	1	4	yes	—
66	C₂×C₂²⋊C₈	Q₈	1	4	yes	—
67	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
68	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
69	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
70	#382	—	2	16	no	—
71	#382	—	2	8	no	—
72	#382	—	2	4	no	—
73	#382	—	2	4	no	—
74	#382	—	2	4	no	—
75	#382	D₄	1	8	yes	—
76	#380	—	2	4	no	—
77	#380	—	2	4	no	—
78	C₂×#95	—	2	16	no	—
79	C₂×#95	—	2	4	no	—
80	C₂×#95	—	2	4	no	—
81	C₂×#95	—	2	4	no	—
82	C₂×#95	—	2	2	no	—
83	C₂×#95	—	2	2	no	—
84	C₂×#95	—	2	2	no	—
85	#340	—	2	8	no	—
86	#340	—	2	8	no	—
87	#336	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
88	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
90	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
91	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
92	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
93	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
94	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
95	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
96	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
97	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
98	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
99	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
100	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
101	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
102	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
103	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
104	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
105	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
106	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
108	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
111	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
112	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
113	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
114	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
115	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
124	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
125	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
126	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
127	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
128	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
129	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
157	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
164	#107	—	4	16	no	—
165	#106	—	4	16	no	—
166	C₂²⋊C₈	C₄⋊C₄	1	16	yes	—
167	C₂²⋊C₈	C₄⋊C₄	1	16	yes	—
168	C₄×C₈	—	2	16	no	—
169	#95	—	2	16	no	—
170	#95	—	2	16	no	—
171	#95	—	4	8	no	—
172	#95	—	4	4	no	—
173	#95	—	4	4	no	—
174	#95	—	4	4	no	—
175	C₂⁴	—	2	1	no	—
176	C₂⁴	—	2	1	no	—
177	C₂⁴	—	2	1	no	—
178	C₂⁴	—	2	1	no	—
179	C₂⁴	—	2	4	no	—
180	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
181	C₂⁴	#127	1	2	yes	—
182	C₂⁴	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
183	C₂⁴	#135	1	8	yes	—
184	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
230	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
231	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
232	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
237	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
238	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
239	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
241	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
242	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
253	C₂×C₈	—	2	4	no	—
254	C₂×C₈	—	2	4	no	—
255	C₂×C₈	—	2	4	no	—
256	C₂×C₈	—	2	4	no	—
257	C₂×C₈	—	2	4	no	—
258	C₂×C₈	—	2	4	no	—
259	C₂×C₈	—	2	4	no	—
260	C₂×C₈	—	2	4	no	—
261	C₂×C₈	—	2	4	no	—
262	C₂×C₈	—	2	4	no	—
263	C₂×C₈	—	2	4	no	—
264	C₂×C₈	—	2	4	no	—
265	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
266	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
267	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
269	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
275	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
277	C₄²	—	2	4	no	—
278	C₄²	—	2	4	no	—
279	C₄²	—	2	16	no	—
280	C₄²	C₄×D₄	1	8	yes	—
281	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
282	C₂³	—	2	2	no	—
283	C₂³	—	2	8	no	—
284	C₂³	—	2	4	no	—
285	C₂³	—	2	4	no	—
286	C₂³	—	2	4	no	—
287	C₂³	—	2	2	no	—
288	C₂³	—	2	2	no	—
289	C₂³	—	2	8	no	—
290	C₂³	—	2	8	no	—
291	C₂³	—	2	8	no	—
292	C₂³	—	2	2	no	—
293	C₂³	—	2	2	no	—
294	C₂³	—	2	2	no	—
295	C₂³	#384	1	4	yes	—
296	C₂³	#427	1	8	yes	—
297	C₂³	#495	1	8	yes	—
298	C₂³	#499	1	8	yes	—
299	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
300	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
301	C₂³	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
302	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
303	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
304	C₂³	#535	1	1	yes	characteristic
305	C₂³	#536	1	1	yes	characteristic
306	C₂³	C₂×#135	1	4	yes	—
307	C₂³	#575	1	4	yes	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	8	no	—
310	C₂×C₄	—	2	4	no	—
311	C₂×C₄	—	2	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	8	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	8	no	—
319	C₂×C₄	—	2	8	no	—
320	C₂×C₄	—	2	8	no	—
321	C₂×C₄	—	2	8	no	—
322	C₂×C₄	—	2	4	no	—
323	C₂×C₄	—	2	4	no	—
324	C₂×C₄	—	2	4	no	—
325	C₂×C₄	—	4	32	no	—
326	C₂×C₄	—	4	4	no	—
327	C₂×C₄	—	4	4	no	—
328	C₂×C₄	—	4	8	no	—
329	C₂×C₄	—	4	16	no	—
330	C₂×C₄	—	8	32	no	—
331	C₂×C₄	—	8	4	no	—
332	C₂×C₄	—	8	4	no	—
333	C₂×C₄	—	8	8	no	—
334	C₂×C₄	—	8	4	no	—
335	C₂×C₄	—	8	2	no	—
336	C₂×C₄	—	8	2	no	—
337	C₂×C₄	—	8	2	no	—
338	C₂×C₄	—	8	2	no	—
339	C₂×C₄	—	8	2	no	—
340	C₂×C₄	—	8	4	no	—
341	C₂×C₄	—	8	4	no	—
342	C₂×C₄	—	8	4	no	—
343	C₂×C₄	—	8	2	no	—
344	C₂×C₄	#384	1	4	yes	—
345	C₂×C₄	#385	1	8	yes	—
346	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
362	C₈	—	2	8	no	—
363	C₈	—	2	8	no	—
364	C₂²	—	2	8	no	—
365	C₂²	—	2	8	no	—
366	C₂²	—	2	4	no	—
367	C₂²	—	2	4	no	—
368	C₂²	—	2	8	no	—
369	C₂²	—	2	8	no	—
370	C₂²	—	2	8	no	—
371	C₂²	—	2	8	no	—
372	C₂²	#1846	1	8	yes	complemented
373	C₂²	C₂×#384	1	1	yes	characteristic
374	C₂²	C₂×#385	1	1	yes	characteristic
375	C₂²	#2317	1	1	yes	characteristic
376	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
377	C₂²	#2434	1	1	yes	characteristic
378	C₂²	#2501	1	1	yes	characteristic
379	C₂²	#2502	1	1	yes	characteristic
380	C₂²	C₂×#427	1	2	yes	—
381	C₂²	#2911	1	2	yes	—
382	C₂²	#3002	1	4	yes	—
383	C₂²	#3091	1	4	yes	—
384	C₂²	C₂×#495	1	2	yes	—
385	C₂²	#3153	1	2	yes	—
386	C₂²	C₂×#499	1	2	yes	—
387	C₂²	#3166	1	2	yes	—
388	C₂²	#3211	1	4	yes	—
389	C₂²	#3232	1	4	yes	—
390	C₄	—	2	4	no	—
391	C₄	—	2	8	no	—
392	C₄	—	4	4	no	—
393	C₄	—	8	8	no	—
394	C₄	—	16	2	no	—
395	C₄	—	16	2	no	—
396	C₄	D₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
397	C₄	D₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
398	C₄	#2440	1	2	yes	—
399	C₄	#2440	1	2	yes	—
400	C₂	—	2	8	no	—
401	C₂	#13880	1	1	yes	characteristic
402	C₂	C₂×#1846	1	1	yes	characteristic
403	C₂	#20801	1	1	yes	characteristic
404	C₂	#20843	1	2	yes	—
405	C₂	#21983	1	2	yes	—
406	C₂	#25724	1	2	yes	—
407	C₂	#25815	1	2	yes	—
408	C₂	#27912	1	2	yes	—
409	C₂	#27952	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁵	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. C₂×#1846	C₂	semidirect
7. #11325	C₂	semidirect
8. #10842	C₂	semidirect
27. C₄×C₂²⋊C₈	C₄	semidirect
69. C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	semidirect
87. #336	C₂×C₄	semidirect
372. C₂²	#1846	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#382	2
C₂×#1853	2
C₂×#1852	2
C₂×#1846	2
C₂×C₄×C₂²⋊C₈	2
#14682	2
#11325	2
#10842	2