Subgroups — #360718

Order 512.

1568 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 380 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#423	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1855	C₂	1	4	yes	maximal
3	C₂×#1848	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20626	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×C₄×C₂²⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11326	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10844	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂³×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#108	C₂²	1	8	yes	—
11	C₂×#423	—	2	2	no	—
12	C₂×#423	—	2	8	no	—
13	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
18	C₂×#407	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
21	#1855	—	2	16	no	—
22	#1848	—	2	8	no	—
23	#1797	—	2	2	no	—
24	#1797	—	2	2	no	—
25	C₄×C₂²⋊C₈	C₄	1	2	yes	—
26	C₄×C₂²⋊C₈	C₄	1	2	yes	—
27	C₄×C₂²⋊C₈	C₄	1	2	yes	—
28	C₄×C₂²⋊C₈	C₄	1	2	yes	—
29	C₂×#341	C₂²	1	8	yes	—
30	#1728	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂⁴×C₄	Q₈	1	2	yes	—
33	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
35	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
36	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
37	C₂²×M₁₆	—	4	4	no	—
38	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
41	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
42	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
43	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
44	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
45	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
50	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
51	C₂²×C₄²	Q₈	1	2	yes	—
52	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂×#108	—	2	16	no	—
55	C₂×#108	—	2	16	no	—
56	C₂×#108	—	4	8	no	—
57	#423	—	2	16	no	—
58	#423	—	2	8	no	—
59	#423	—	2	4	no	—
60	#423	—	2	4	no	—
61	#423	—	2	4	no	—
62	#423	D₄	1	8	yes	—
63	C₂×C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
64	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
66	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
68	#407	—	2	8	no	—
69	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
70	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
71	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
72	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
73	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	8	yes	—
74	C₂×C₂²⋊C₈	Q₈	1	8	yes	—
75	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
76	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
77	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
78	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
79	#341	—	2	16	no	—
80	#336	—	2	4	no	—
81	#336	C₂×C₄	1	4	yes	—
82	#336	C₂×C₄	1	4	yes	—
83	C₂⁵	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
84	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
85	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
86	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
87	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
88	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
89	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
90	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
91	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
93	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
94	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
98	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
103	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
104	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
105	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
106	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
107	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
108	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
109	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
110	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
111	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
112	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
115	C₂×M₁₆	—	4	32	no	—
116	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
117	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
118	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
119	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
127	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
128	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
129	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
130	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
131	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
132	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
133	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
140	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
141	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
142	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
144	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
145	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
146	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
147	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
155	#108	—	4	32	no	—
156	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
157	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
158	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
159	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
160	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
161	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
162	C₂²⋊C₈	C₄⋊C₄	1	16	yes	—
163	C₂²⋊C₈	C₄⋊C₄	1	16	yes	—
164	C₄×C₈	—	2	8	no	—
165	C₄×C₈	—	2	8	no	—
166	C₂⁴	—	2	2	no	—
167	C₂⁴	—	2	2	no	—
168	C₂⁴	—	2	4	no	—
169	C₂⁴	—	4	2	no	—
170	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂⁴	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
173	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
174	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
209	C₂²×C₄	#108	1	8	yes	complemented
210	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
219	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
232	M₁₆	—	2	16	no	—
233	M₁₆	—	4	16	no	—
234	M₁₆	—	4	8	no	—
235	M₁₆	—	4	8	no	—
236	M₁₆	—	4	8	no	—
237	C₂×C₈	—	2	8	no	—
238	C₂×C₈	—	2	8	no	—
239	C₂×C₈	—	2	8	no	—
240	C₂×C₈	—	2	8	no	—
241	C₂×C₈	—	2	8	no	—
242	C₂×C₈	—	2	8	no	—
243	C₂×C₈	—	2	8	no	—
244	C₂×C₈	—	4	16	no	—
245	C₂×C₈	—	4	4	no	—
246	C₂×C₈	—	4	4	no	—
247	C₂×C₈	—	4	2	no	—
248	C₂×C₈	—	4	2	no	—
249	C₂×C₈	—	4	2	no	—
250	C₂×C₈	—	4	2	no	—
251	C₂×C₈	—	4	2	no	—
252	C₂×C₈	—	4	2	no	—
253	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
254	C₄²	—	2	2	no	—
255	C₄²	—	2	2	no	—
256	C₄²	—	2	2	no	—
257	C₄²	—	2	2	no	—
258	C₄²	—	2	4	no	—
259	C₄²	—	2	4	no	—
260	C₄²	—	2	4	no	—
261	C₄²	—	2	4	no	—
262	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
263	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
264	C₄²	#120	1	4	yes	—
265	C₄²	#123	1	4	yes	—
266	C₂³	—	2	1	no	—
267	C₂³	—	2	2	no	—
268	C₂³	—	2	2	no	—
269	C₂³	—	2	2	no	—
270	C₂³	—	2	1	no	—
271	C₂³	—	2	1	no	—
272	C₂³	—	2	8	no	—
273	C₂³	—	2	2	no	—
274	C₂³	—	2	2	no	—
275	C₂³	—	2	8	no	—
276	C₂³	—	2	1	no	—
277	C₂³	—	4	4	no	—
278	C₂³	—	4	8	no	—
279	C₂³	—	4	8	no	—
280	C₂³	#384	1	2	yes	—
281	C₂³	#384	1	2	yes	—
282	C₂³	C₂×#108	1	4	yes	—
283	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
284	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
285	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
286	C₂³	#544	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	—	2	1	no	—
288	C₂×C₄	—	2	1	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	8	no	—
293	C₂×C₄	—	2	1	no	—
294	C₂×C₄	—	2	1	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	8	no	—
297	C₂×C₄	—	2	8	no	—
298	C₂×C₄	—	2	16	no	—
299	C₂×C₄	—	2	16	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	4	8	no	—
312	C₂×C₄	—	4	8	no	—
313	C₂×C₄	—	4	8	no	—
314	C₂×C₄	—	4	8	no	—
315	C₂×C₄	#384	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	#384	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	#385	1	4	yes	—
318	C₂×C₄	#385	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×#108	1	4	yes	—
320	C₂×C₄	C₂×#108	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	#430	1	4	yes	—
322	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
332	C₂×C₄	#547	1	4	yes	—
333	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	4	yes	—
334	C₂×C₄	#554	1	4	yes	—
335	C₈	—	2	16	no	—
336	C₈	—	4	8	no	—
337	C₈	—	8	2	no	—
338	C₈	—	8	2	no	—
339	C₂²	—	2	2	no	—
340	C₂²	—	2	2	no	—
341	C₂²	—	2	2	no	—
342	C₂²	—	2	2	no	—
343	C₂²	—	2	4	no	—
344	C₂²	—	2	4	no	—
345	C₂²	—	2	4	no	—
346	C₂²	—	2	4	no	—
347	C₂²	—	2	2	no	—
348	C₂²	—	2	2	no	—
349	C₂²	—	2	2	no	—
350	C₂²	—	4	16	no	—
351	C₂²	—	4	2	no	—
352	C₂²	—	4	2	no	—
353	C₂²	#1848	1	4	yes	complemented
354	C₂²	C₂×#384	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	C₂×#385	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	#2317	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	#2440	1	4	yes	—
358	C₂²	C₂²×#108	1	2	yes	—
359	C₂²	C₂×#430	1	2	yes	—
360	C₄	—	2	2	no	—
361	C₄	—	2	2	no	—
362	C₄	—	2	4	no	—
363	C₄	—	2	4	no	—
364	C₄	—	4	2	no	—
365	C₄	#1855	1	8	yes	complemented
366	C₄	D₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
367	C₄	#2433	1	1	yes	characteristic
368	C₄	#2434	1	1	yes	characteristic
369	C₄	#2501	1	1	yes	characteristic
370	C₄	#2502	1	1	yes	characteristic
371	C₂	—	2	4	no	—
372	C₂	—	2	4	no	—
373	C₂	—	4	2	no	—
374	C₂	#13880	1	1	yes	characteristic
375	C₂	C₂×#1848	1	1	yes	characteristic
376	C₂	#20806	1	1	yes	characteristic
377	C₂	C₂×#1855	1	2	yes	—
378	C₂	#21993	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄
prime radical	C₂⁵	C₂×Q₈
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1848	C₂	semidirect
6. #11326	C₂	semidirect
7. #10844	C₂	semidirect
209. C₂²×C₄	#108	semidirect
353. C₂²	#1848	semidirect
365. C₄	#1855	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#423	2
C₂×#1855	2
C₂×#1848	2
#20626	2
C₂×C₄×C₂²⋊C₈	2
#11326	2
#10844	2