Subgroups — #360721

Order 512.

1724 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 436 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#34181	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1856	C₂	1	4	yes	maximal
3	#20800	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×C₄×#100	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#13906	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11342	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10851	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×#518	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#428	C₂²	1	8	yes	—
11	C₂²×#100	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
13	#2349	—	2	4	no	—
14	D₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
15	D₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
16	#2316	C₂²	1	2	yes	—
17	#2315	—	2	2	no	—
18	C₂×#390	C₂²	1	2	yes	—
19	#2285	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#380	—	2	2	no	—
22	C₂×#380	—	2	2	no	—
23	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#1856	—	2	16	no	—
25	#1847	—	2	4	no	—
26	#1845	—	2	2	no	—
27	#1844	—	2	2	no	—
28	C₄×#100	C₄	1	8	yes	complemented
29	C₂×#343	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#339	C₂²	1	8	yes	—
31	#1439	—	2	2	no	—
32	C₄⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂³×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
34	C₂⁴×C₄	D₄	1	2	yes	—
35	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
36	#518	—	2	8	no	—
37	#518	—	4	4	no	—
38	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
39	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
40	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
41	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
42	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
43	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	4	yes	—
45	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
49	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
50	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
51	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
54	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
55	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	#428	—	2	16	no	—
59	#428	—	4	8	no	—
60	C₂×#107	—	2	8	no	—
61	C₂×#106	—	2	8	no	—
62	C₂×#100	C₂×C₄	1	8	yes	—
63	C₂×#100	D₄	1	8	yes	—
64	C₂×#100	Q₈	1	8	yes	—
65	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
66	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
67	C₂×#97	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
69	#390	—	2	8	no	—
70	#389	—	2	4	no	—
71	#389	—	2	4	no	—
72	#385	—	2	8	no	—
73	#385	—	2	8	no	—
74	#384	—	2	2	no	—
75	#384	—	2	2	no	—
76	#384	D₄	1	2	yes	—
77	#384	D₄	1	2	yes	—
78	#382	D₄	1	4	yes	—
79	#380	—	2	4	no	—
80	#380	—	2	4	no	—
81	#380	—	2	2	no	—
82	#380	—	2	4	no	—
83	#380	—	2	2	no	—
84	#380	—	4	8	no	—
85	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
86	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
87	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
88	C₂×#95	—	2	4	no	—
89	C₂×#95	—	2	4	no	—
90	C₂×#95	—	2	1	no	—
91	#343	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
92	#339	—	2	16	no	—
93	C₂⁵	C₂×D₄	1	2	yes	—
94	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
95	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
96	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
97	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
98	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
99	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
100	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
101	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
102	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
103	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
104	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
105	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
106	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
107	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
108	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
109	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
110	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
111	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
112	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
114	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
116	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
119	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
120	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
121	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	8	yes	—
122	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
123	C₄×D₄	—	2	8	no	—
124	C₄×D₄	—	2	8	no	—
125	C₄×D₄	—	2	8	no	—
126	C₄×D₄	—	2	8	no	—
127	C₄×D₄	—	4	16	no	—
128	C₄×D₄	—	4	16	no	—
129	#117	—	2	8	no	—
130	#117	—	2	8	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
154	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
155	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
166	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
170	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
174	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
175	#107	—	4	16	no	—
176	#106	—	4	16	no	—
177	#100	C₄⋊C₄	1	32	yes	complemented
178	#97	—	2	8	no	—
179	C₄×C₈	—	2	8	no	—
180	#95	—	2	8	no	—
181	#95	—	2	4	no	—
182	#95	—	2	4	no	—
183	#95	—	4	8	no	—
184	#95	—	4	2	no	—
185	C₂⁴	—	2	2	no	—
186	C₂⁴	—	2	2	no	—
187	C₂⁴	—	2	2	no	—
188	C₂⁴	—	2	2	no	—
189	C₂⁴	—	4	2	no	—
190	C₂⁴	—	4	2	no	—
191	C₂⁴	—	4	2	no	—
192	C₂⁴	—	4	2	no	—
193	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
194	C₂⁴	#127	1	4	yes	—
195	C₂⁴	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
196	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂×D₄	—	2	4	no	—
198	C₂×D₄	—	2	4	no	—
199	C₂×D₄	—	2	4	no	—
200	C₂×D₄	—	2	4	no	—
201	C₂×D₄	—	2	8	no	—
202	C₂×D₄	—	2	8	no	—
203	C₂×D₄	—	2	8	no	—
204	C₂×D₄	—	2	8	no	—
205	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
206	C₂×D₄	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
237	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
243	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
259	M₁₆	—	2	8	no	—
260	M₁₆	—	2	8	no	—
261	M₁₆	—	2	8	no	—
262	M₁₆	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	complemented
263	C₂×C₈	—	2	8	no	—
264	C₂×C₈	—	2	8	no	—
265	C₂×C₈	—	2	8	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
274	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
275	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
276	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
277	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
278	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
279	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
280	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
286	C₄²	—	4	8	no	—
287	C₄²	—	4	8	no	—
288	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
289	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
290	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
291	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
292	C₂³	—	2	1	no	—
293	C₂³	—	2	1	no	—
294	C₂³	—	2	1	no	—
295	C₂³	—	2	1	no	—
296	C₂³	—	2	4	no	—
297	C₂³	—	2	4	no	—
298	C₂³	—	2	4	no	—
299	C₂³	—	2	4	no	—
300	C₂³	—	2	4	no	—
301	C₂³	—	2	4	no	—
302	C₂³	—	4	4	no	—
303	C₂³	—	4	4	no	—
304	C₂³	—	4	4	no	—
305	C₂³	—	4	4	no	—
306	C₂³	—	4	4	no	—
307	C₂³	—	4	4	no	—
308	C₂³	—	4	2	no	—
309	C₂³	—	4	2	no	—
310	C₂³	—	4	2	no	—
311	C₂³	—	4	2	no	—
312	C₂³	—	8	2	no	—
313	C₂³	—	8	2	no	—
314	C₂³	—	8	2	no	—
315	C₂³	—	8	2	no	—
316	C₂³	—	8	2	no	—
317	C₂³	—	8	2	no	—
318	C₂³	#384	1	8	yes	—
319	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
320	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
321	C₂³	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
322	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
323	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
324	C₂³	#535	1	1	yes	characteristic
325	C₂³	#536	1	1	yes	characteristic
326	D₄	—	2	16	no	—
327	D₄	—	2	16	no	—
328	C₂×C₄	—	2	1	no	—
329	C₂×C₄	—	2	1	no	—
330	C₂×C₄	—	2	2	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	2	4	no	—
333	C₂×C₄	—	2	4	no	—
334	C₂×C₄	—	2	4	no	—
335	C₂×C₄	—	4	2	no	—
336	C₂×C₄	—	4	2	no	—
337	C₂×C₄	—	4	2	no	—
338	C₂×C₄	—	4	2	no	—
339	C₂×C₄	—	4	16	no	—
340	C₂×C₄	—	4	4	no	—
341	C₂×C₄	—	4	4	no	—
342	C₂×C₄	—	4	4	no	—
343	C₂×C₄	—	4	4	no	—
344	C₂×C₄	—	4	4	no	—
345	C₂×C₄	—	4	4	no	—
346	C₂×C₄	—	4	4	no	—
347	C₂×C₄	—	4	4	no	—
348	C₂×C₄	—	4	4	no	—
349	C₂×C₄	—	4	4	no	—
350	C₂×C₄	—	8	8	no	—
351	C₂×C₄	—	8	2	no	—
352	C₂×C₄	—	8	2	no	—
353	C₂×C₄	—	8	2	no	—
354	C₂×C₄	—	8	2	no	—
355	C₂×C₄	—	8	2	no	—
356	C₂×C₄	—	8	4	no	—
357	C₂×C₄	—	8	4	no	—
358	C₂×C₄	—	8	2	no	—
359	C₂×C₄	—	8	2	no	—
360	C₂×C₄	—	8	2	no	—
361	C₂×C₄	—	16	8	no	—
362	C₂×C₄	—	16	8	no	—
363	C₂×C₄	#385	1	4	yes	—
364	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
365	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	#453	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	#455	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
374	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
375	C₂×C₄	#547	1	4	yes	—
376	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	4	yes	—
377	C₂×C₄	#554	1	4	yes	—
378	C₈	—	2	16	no	—
379	C₂²	—	2	1	no	—
380	C₂²	—	2	1	no	—
381	C₂²	—	2	1	no	—
382	C₂²	—	2	1	no	—
383	C₂²	—	2	1	no	—
384	C₂²	—	2	1	no	—
385	C₂²	—	2	1	no	—
386	C₂²	—	2	1	no	—
387	C₂²	—	2	1	no	—
388	C₂²	—	2	1	no	—
389	C₂²	—	2	1	no	—
390	C₂²	—	2	1	no	—
391	C₂²	—	2	8	no	—
392	C₂²	—	4	8	no	—
393	C₂²	—	4	4	no	—
394	C₂²	—	4	4	no	—
395	C₂²	—	4	4	no	—
396	C₂²	—	4	4	no	—
397	C₂²	—	4	4	no	—
398	C₂²	—	4	4	no	—
399	C₂²	—	8	4	no	—
400	C₂²	—	8	4	no	—
401	C₂²	—	8	4	no	—
402	C₂²	C₂×#384	1	1	yes	characteristic
403	C₂²	C₂×#385	1	1	yes	characteristic
404	C₂²	#2317	1	1	yes	characteristic
405	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
406	C₂²	#2434	1	1	yes	characteristic
407	C₂²	#2501	1	1	yes	characteristic
408	C₂²	#2502	1	1	yes	characteristic
409	C₂²	C₂×#453	1	1	yes	characteristic
410	C₂²	C₂×#455	1	1	yes	characteristic
411	C₂²	#3021	1	1	yes	characteristic
412	C₂²	#3022	1	1	yes	characteristic
413	C₄	—	2	2	no	—
414	C₄	—	2	4	no	—
415	C₄	—	4	4	no	—
416	C₄	—	8	4	no	—
417	C₄	—	8	4	no	—
418	C₄	—	8	4	no	—
419	C₄	—	16	2	no	—
420	C₄	#1856	1	4	yes	complemented
421	C₄	D₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
422	C₄	#2440	1	4	yes	—
423	C₂	—	2	1	no	—
424	C₂	—	2	1	no	—
425	C₂	—	2	1	no	—
426	C₂	—	2	1	no	—
427	C₂	—	4	8	no	—
428	C₂	#13880	1	1	yes	characteristic
429	C₂	C₂×#1856	1	1	yes	characteristic
430	C₂	#20858	1	1	yes	characteristic
431	C₂	#25738	1	1	yes	characteristic
432	C₂	#25739	1	1	yes	characteristic
433	C₂	#25823	1	1	yes	characteristic
434	C₂	#25824	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#120
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₄	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20800	C₂	semidirect
6. #11342	C₂	semidirect
7. #10851	C₂	semidirect
28. C₄×#100	C₄	semidirect
66. C₄×M₁₆	C₂×C₄	semidirect
91. #343	C₂×C₄	semidirect
177. #100	C₄⋊C₄	semidirect
262. M₁₆	C₂×C₄⋊C₄	semidirect
420. C₄	#1856	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#34181	2
C₂×#1856	2
#20800	2
C₂×C₄×#100	2
#13906	2
#11342	2
#10851	2