Subgroups — #360723

Order 512.

1472 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 383 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#34182	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1857	C₂	1	4	yes	maximal
3	#20800	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×C₄×#101	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#13926	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11342	C₂	1	4	yes	maximal
7	#10851	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₂×#519	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#428	C₂²	1	8	yes	—
11	C₂²×#101	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
13	#2351	—	2	4	no	—
14	Q₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
15	Q₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
16	#2316	—	2	2	no	—
17	#2316	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#391	C₂²	1	2	yes	—
19	#2285	—	2	2	no	—
20	#2285	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1857	—	2	16	no	—
24	#1847	—	2	4	no	—
25	#1845	—	2	2	no	—
26	#1844	—	2	2	no	—
27	C₄×#101	C₄	1	8	yes	complemented
28	C₂×#343	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#339	C₂²	1	8	yes	—
30	#1441	—	2	2	no	—
31	C₄⋊#95	—	2	2	no	—
32	C₄⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
35	#519	—	2	8	no	—
36	#519	—	4	4	no	—
37	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
38	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
39	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
40	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
41	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
42	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
43	C₂×C₄×Q₈	Q₈	1	4	yes	—
44	C₂×#117	—	2	4	no	—
45	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
49	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
50	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	#428	—	2	16	no	—
56	#428	—	4	8	no	—
57	C₂×#107	—	2	8	no	—
58	C₂×#106	—	2	8	no	—
59	C₂×#101	C₂×C₄	1	8	yes	—
60	C₂×#101	D₄	1	8	yes	—
61	C₂×#101	Q₈	1	8	yes	—
62	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
63	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
64	C₂×#97	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
66	#391	—	2	8	no	—
67	#389	—	2	8	no	—
68	#389	—	2	8	no	—
69	#389	—	2	4	no	—
70	#389	—	2	4	no	—
71	#384	—	2	2	no	—
72	#384	—	2	2	no	—
73	#384	—	2	2	no	—
74	#384	—	2	2	no	—
75	#384	D₄	1	2	yes	—
76	#384	D₄	1	2	yes	—
77	#382	—	2	4	no	—
78	#382	D₄	1	4	yes	—
79	#380	—	2	2	no	—
80	#380	—	2	4	no	—
81	#380	—	2	2	no	—
82	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
83	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
84	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
85	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
86	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
87	C₂×#95	—	2	4	no	—
88	C₂×#95	—	2	1	no	—
89	C₂×#95	—	2	4	no	—
90	#343	C₂×C₄	1	8	yes	—
91	#339	—	2	16	no	—
92	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
93	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
94	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
95	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
96	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
97	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
98	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
99	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
100	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
101	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
102	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
104	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
105	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
107	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
108	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
109	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
110	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
111	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
112	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	8	yes	—
113	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
114	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
115	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
116	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
117	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
118	C₄×Q₈	—	4	16	no	—
119	C₄×Q₈	—	4	16	no	—
120	#117	—	2	8	no	—
121	#117	—	2	8	no	—
122	#117	—	4	8	no	—
123	#117	—	4	8	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
148	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
150	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
151	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
157	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
158	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
166	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
167	#107	—	4	16	no	—
168	#106	—	4	16	no	—
169	#101	C₄⋊C₄	1	32	yes	complemented
170	#97	—	2	8	no	—
171	C₄×C₈	—	2	8	no	—
172	#95	—	2	8	no	—
173	#95	—	2	4	no	—
174	#95	—	2	4	no	—
175	#95	—	4	2	no	—
176	#95	—	4	8	no	—
177	#95	—	8	4	no	—
178	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
180	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
181	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
182	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
183	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
184	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
185	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
186	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
187	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
188	C₂×Q₈	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
215	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
225	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
234	M₁₆	—	2	8	no	—
235	M₁₆	—	2	8	no	—
236	M₁₆	—	2	8	no	—
237	M₁₆	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
238	C₂×C₈	—	2	8	no	—
239	C₂×C₈	—	2	8	no	—
240	C₂×C₈	—	2	8	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
250	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
251	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
252	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
253	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
254	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
255	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
256	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
257	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
258	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
261	C₄²	—	2	8	no	—
262	C₄²	—	2	8	no	—
263	C₄²	—	4	16	no	—
264	C₄²	—	4	8	no	—
265	C₄²	—	4	8	no	—
266	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
267	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
268	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
269	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
270	C₂³	—	2	1	no	—
271	C₂³	—	2	1	no	—
272	C₂³	—	2	1	no	—
273	C₂³	—	2	1	no	—
274	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
275	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
276	C₂³	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
277	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
278	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
279	C₂³	#535	1	1	yes	characteristic
280	C₂³	#536	1	1	yes	characteristic
281	Q₈	—	2	16	no	—
282	Q₈	—	2	16	no	—
283	C₂×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	2	1	no	—
289	C₂×C₄	—	2	1	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂×C₄	—	2	4	no	—
294	C₂×C₄	—	2	4	no	—
295	C₂×C₄	—	2	4	no	—
296	C₂×C₄	—	4	2	no	—
297	C₂×C₄	—	4	2	no	—
298	C₂×C₄	—	4	2	no	—
299	C₂×C₄	—	4	2	no	—
300	C₂×C₄	—	4	4	no	—
301	C₂×C₄	—	4	4	no	—
302	C₂×C₄	—	4	4	no	—
303	C₂×C₄	—	4	4	no	—
304	C₂×C₄	—	4	4	no	—
305	C₂×C₄	—	4	4	no	—
306	C₂×C₄	—	4	4	no	—
307	C₂×C₄	—	4	4	no	—
308	C₂×C₄	—	4	4	no	—
309	C₂×C₄	—	4	4	no	—
310	C₂×C₄	—	8	2	no	—
311	C₂×C₄	—	8	2	no	—
312	C₂×C₄	—	8	2	no	—
313	C₂×C₄	—	8	2	no	—
314	C₂×C₄	—	8	2	no	—
315	C₂×C₄	—	8	4	no	—
316	C₂×C₄	—	8	4	no	—
317	C₂×C₄	—	8	2	no	—
318	C₂×C₄	—	8	2	no	—
319	C₂×C₄	—	8	2	no	—
320	C₂×C₄	#384	1	8	yes	—
321	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	#385	1	4	yes	—
323	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	#454	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	#456	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
333	C₂×C₄	#547	1	4	yes	—
334	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	4	yes	—
335	C₂×C₄	#554	1	4	yes	—
336	C₈	—	2	16	no	—
337	C₂²	—	2	1	no	—
338	C₂²	—	2	1	no	—
339	C₂²	—	2	1	no	—
340	C₂²	—	2	1	no	—
341	C₂²	—	2	1	no	—
342	C₂²	—	2	1	no	—
343	C₂²	—	2	1	no	—
344	C₂²	—	2	1	no	—
345	C₂²	—	2	1	no	—
346	C₂²	—	2	1	no	—
347	C₂²	—	2	1	no	—
348	C₂²	—	2	1	no	—
349	C₂²	C₂×#384	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	C₂×#385	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	#2317	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	#2434	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	#2501	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	#2502	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	C₂×#454	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	C₂×#456	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	#3021	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	#3022	1	1	yes	characteristic
360	C₄	—	2	8	no	—
361	C₄	—	2	2	no	—
362	C₄	—	2	4	no	—
363	C₄	—	4	4	no	—
364	C₄	—	8	4	no	—
365	C₄	—	8	4	no	—
366	C₄	—	8	4	no	—
367	C₄	—	16	2	no	—
368	C₄	#1857	1	4	yes	complemented
369	C₄	D₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
370	C₄	#2440	1	4	yes	—
371	C₂	—	2	1	no	—
372	C₂	—	2	1	no	—
373	C₂	—	2	1	no	—
374	C₂	—	2	1	no	—
375	C₂	#13880	1	1	yes	characteristic
376	C₂	C₂×#1857	1	1	yes	characteristic
377	C₂	#20858	1	1	yes	characteristic
378	C₂	#25740	1	1	yes	characteristic
379	C₂	#25741	1	1	yes	characteristic
380	C₂	#25825	1	1	yes	characteristic
381	C₂	#25826	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#120
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
27. C₄×#101	C₄	semidirect
169. #101	C₄⋊C₄	semidirect
368. C₄	#1857	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#34182	2
C₂×#1857	2
#20800	2
C₂×C₄×#101	2
#13926	2
#11342	2
#10851	2