Subgroups — #360724

Order 512.

1674 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 374 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#34181	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1856	C₂	1	4	yes	maximal
3	#20801	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×C₄×#100	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#13941	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11342	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10851	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×#518	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#428	C₂²	1	8	yes	—
11	C₂²×#100	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
13	#2349	—	2	4	no	—
14	D₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
15	#2316	C₂²	1	2	yes	—
16	#2315	—	2	2	no	—
17	C₂×#390	C₂²	1	2	yes	—
18	#2285	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#380	—	2	2	no	—
21	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#1856	—	2	16	no	—
23	#1847	—	2	4	no	—
24	#1846	—	2	4	no	—
25	C₄×#100	C₄	1	8	yes	complemented
26	C₂×#343	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#339	C₂²	1	8	yes	—
28	#1439	—	2	2	no	—
29	C₄⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂²⋊#95	—	2	2	no	—
31	C₂³×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
32	C₂⁴×C₄	D₄	1	2	yes	—
33	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
34	#518	—	2	8	no	—
35	#518	—	4	4	no	—
36	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
37	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
38	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
39	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
40	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	4	yes	—
42	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
43	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
44	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
48	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
49	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
50	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	#428	—	2	16	no	—
53	#428	—	4	8	no	—
54	C₂×#107	—	2	8	no	—
55	C₂×#106	—	2	8	no	—
56	C₂×#100	C₂×C₄	1	8	yes	—
57	C₂×#100	D₄	1	8	yes	—
58	C₂×#100	Q₈	1	8	yes	—
59	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
60	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
61	C₂×#97	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
63	#390	—	2	8	no	—
64	#389	—	2	8	no	—
65	#385	—	2	16	no	—
66	#384	D₄	1	4	yes	—
67	#382	—	2	2	no	—
68	#382	—	2	2	no	—
69	#382	D₄	1	4	yes	—
70	#380	—	2	4	no	—
71	#380	—	2	4	no	—
72	#380	—	2	2	no	—
73	#380	—	2	4	no	—
74	#380	—	2	2	no	—
75	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
76	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
77	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
78	C₂×#95	—	2	4	no	—
79	C₂×#95	—	2	1	no	—
80	C₂×#95	—	2	1	no	—
81	C₂×#95	—	2	1	no	—
82	C₂×#95	—	2	4	no	—
83	#343	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
84	#339	—	2	16	no	—
85	C₂⁵	C₂×D₄	1	2	yes	—
86	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
87	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
88	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
89	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
90	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
91	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
92	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
93	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
94	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
95	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
96	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
97	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
98	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
99	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
100	C₂³×C₄	—	8	4	no	—
101	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
106	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
107	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
108	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
109	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
110	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
111	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	8	yes	—
112	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
113	C₄×D₄	—	2	8	no	—
114	C₄×D₄	—	2	8	no	—
115	C₄×D₄	—	2	8	no	—
116	C₄×D₄	—	2	8	no	—
117	C₄×D₄	—	4	16	no	—
118	C₄×D₄	—	4	16	no	—
119	#117	—	2	8	no	—
120	#117	—	2	8	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
134	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
145	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
149	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
153	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
154	#107	—	4	16	no	—
155	#106	—	4	16	no	—
156	#100	C₄⋊C₄	1	32	yes	complemented
157	#97	—	2	8	no	—
158	C₄×C₈	—	2	8	no	—
159	#95	—	2	8	no	—
160	#95	—	2	4	no	—
161	#95	—	2	4	no	—
162	#95	—	4	1	no	—
163	#95	—	4	2	no	—
164	#95	—	4	1	no	—
165	#95	—	4	2	no	—
166	#95	—	8	4	no	—
167	C₂⁴	—	2	2	no	—
168	C₂⁴	—	2	2	no	—
169	C₂⁴	—	2	2	no	—
170	C₂⁴	—	2	2	no	—
171	C₂⁴	—	4	4	no	—
172	C₂⁴	—	4	4	no	—
173	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
174	C₂⁴	#127	1	4	yes	—
175	C₂⁴	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
176	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂×D₄	—	2	4	no	—
178	C₂×D₄	—	2	4	no	—
179	C₂×D₄	—	2	4	no	—
180	C₂×D₄	—	2	4	no	—
181	C₂×D₄	—	2	8	no	—
182	C₂×D₄	—	2	8	no	—
183	C₂×D₄	—	2	8	no	—
184	C₂×D₄	—	2	8	no	—
185	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
186	C₂×D₄	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
211	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
212	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
213	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
214	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
230	M₁₆	—	2	8	no	—
231	M₁₆	—	2	8	no	—
232	M₁₆	—	2	8	no	—
233	M₁₆	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	complemented
234	C₂×C₈	—	2	8	no	—
235	C₂×C₈	—	2	8	no	—
236	C₂×C₈	—	2	8	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
238	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
239	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
243	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
244	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
245	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
251	C₄²	—	4	8	no	—
252	C₄²	—	4	8	no	—
253	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
254	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
255	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
256	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
257	C₂³	—	2	2	no	—
258	C₂³	—	2	2	no	—
259	C₂³	—	2	4	no	—
260	C₂³	—	2	4	no	—
261	C₂³	—	2	4	no	—
262	C₂³	—	2	4	no	—
263	C₂³	—	2	4	no	—
264	C₂³	—	2	4	no	—
265	C₂³	—	4	8	no	—
266	C₂³	—	4	4	no	—
267	C₂³	—	4	4	no	—
268	C₂³	—	4	8	no	—
269	C₂³	—	4	4	no	—
270	C₂³	—	4	4	no	—
271	C₂³	—	8	2	no	—
272	C₂³	—	8	2	no	—
273	C₂³	—	8	4	no	—
274	C₂³	—	8	4	no	—
275	C₂³	#384	1	8	yes	—
276	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
277	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
278	C₂³	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
279	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
280	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
281	C₂³	#535	1	1	yes	characteristic
282	C₂³	#536	1	1	yes	characteristic
283	D₄	—	2	16	no	—
284	D₄	—	2	16	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	4	2	no	—
290	C₂×C₄	—	4	2	no	—
291	C₂×C₄	—	4	2	no	—
292	C₂×C₄	—	4	2	no	—
293	C₂×C₄	—	4	16	no	—
294	C₂×C₄	—	4	4	no	—
295	C₂×C₄	—	4	4	no	—
296	C₂×C₄	—	4	4	no	—
297	C₂×C₄	—	4	4	no	—
298	C₂×C₄	—	4	4	no	—
299	C₂×C₄	—	4	8	no	—
300	C₂×C₄	—	4	8	no	—
301	C₂×C₄	—	4	8	no	—
302	C₂×C₄	—	8	8	no	—
303	C₂×C₄	—	8	2	no	—
304	C₂×C₄	—	8	2	no	—
305	C₂×C₄	—	8	2	no	—
306	C₂×C₄	—	8	2	no	—
307	C₂×C₄	—	8	2	no	—
308	C₂×C₄	—	8	4	no	—
309	C₂×C₄	—	8	4	no	—
310	C₂×C₄	—	8	2	no	—
311	C₂×C₄	—	8	2	no	—
312	C₂×C₄	—	8	2	no	—
313	C₂×C₄	—	16	16	no	—
314	C₂×C₄	#385	1	4	yes	—
315	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
324	C₂×C₄	#547	1	4	yes	—
325	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	4	yes	—
326	C₂×C₄	#554	1	4	yes	—
327	C₈	—	2	16	no	—
328	C₂²	—	2	1	no	—
329	C₂²	—	2	1	no	—
330	C₂²	—	2	1	no	—
331	C₂²	—	2	1	no	—
332	C₂²	—	2	2	no	—
333	C₂²	—	2	2	no	—
334	C₂²	—	2	2	no	—
335	C₂²	—	2	2	no	—
336	C₂²	—	2	8	no	—
337	C₂²	—	4	8	no	—
338	C₂²	—	4	4	no	—
339	C₂²	—	4	4	no	—
340	C₂²	—	4	8	no	—
341	C₂²	—	4	8	no	—
342	C₂²	—	8	4	no	—
343	C₂²	—	8	4	no	—
344	C₂²	—	8	4	no	—
345	C₂²	C₂×#384	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	C₂×#385	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	#2317	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	#2434	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	#2501	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	#2502	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	#3018	1	2	yes	—
353	C₂²	#3019	1	2	yes	—
354	C₄	—	2	4	no	—
355	C₄	—	2	2	no	—
356	C₄	—	2	2	no	—
357	C₄	—	4	4	no	—
358	C₄	—	8	4	no	—
359	C₄	—	8	8	no	—
360	C₄	—	16	2	no	—
361	C₄	D₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
362	C₄	#2440	1	4	yes	—
363	C₂	—	2	1	no	—
364	C₂	—	2	1	no	—
365	C₂	—	2	1	no	—
366	C₂	—	2	1	no	—
367	C₂	—	4	8	no	—
368	C₂	#13880	1	1	yes	characteristic
369	C₂	#20855	1	1	yes	characteristic
370	C₂	#20856	1	1	yes	characteristic
371	C₂	#25743	1	2	yes	—
372	C₂	#25828	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#120
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₄	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20801	C₂	semidirect
6. #11342	C₂	semidirect
7. #10851	C₂	semidirect
25. C₄×#100	C₄	semidirect
60. C₄×M₁₆	C₂×C₄	semidirect
83. #343	C₂×C₄	semidirect
156. #100	C₄⋊C₄	semidirect
233. M₁₆	C₂×C₄⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#34181	2
C₂×#1856	2
#20801	2
C₂×C₄×#100	2
#13941	2
#11342	2
#10851	2