Subgroups — #360725

Order 512.

1347 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 385 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60099	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1858	C₂	1	4	yes	maximal
3	#20806	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20629	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₄×#413	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#11343	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10853	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×#568	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#430	C₂²	1	8	yes	—
11	#2906	—	2	4	no	—
12	#2906	—	2	4	no	—
13	#2905	—	2	2	no	—
14	#2905	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#423	—	2	2	no	—
16	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#413	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
22	#1858	—	2	16	no	—
23	#1849	—	2	4	no	—
24	#1848	—	2	4	no	—
25	#1798	—	2	2	no	—
26	#1797	—	2	2	no	—
27	C₄×#101	C₄	1	2	yes	—
28	C₄×#101	C₄	1	2	yes	—
29	C₄×#100	C₄	1	2	yes	—
30	C₄×#100	C₄	1	2	yes	—
31	#1742	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#341	C₂²	1	8	yes	—
33	#1729	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
35	#568	—	2	8	no	—
36	#568	—	4	4	no	—
37	C₂×#131	—	2	8	no	—
38	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
39	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
41	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
42	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
43	C₄×#41	—	2	2	no	—
44	C₄×#41	—	2	2	no	—
45	C₄×#41	—	2	2	no	—
46	C₄×#41	—	2	2	no	—
47	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	2	yes	—
52	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	2	yes	—
53	C₂×#117	D₄	1	2	yes	—
54	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	#430	—	2	16	no	—
58	#430	—	4	8	no	—
59	C₂×#108	—	2	16	no	—
60	#424	—	2	16	no	—
61	#424	—	2	8	no	—
62	#423	—	2	4	no	—
63	#423	—	2	4	no	—
64	#423	—	2	2	no	—
65	#423	—	2	4	no	—
66	#423	—	2	2	no	—
67	#423	—	2	2	no	—
68	#423	—	2	2	no	—
69	#423	D₄	1	4	yes	—
70	#423	D₄	1	4	yes	—
71	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
72	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
73	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
76	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
77	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
78	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
79	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
81	#413	D₄	1	8	yes	—
82	#413	Q₈	1	8	yes	—
83	C₂×#101	C₂×C₄	1	4	yes	—
84	C₂×#100	C₂×C₄	1	4	yes	—
85	#408	—	2	8	no	—
86	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
87	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
88	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
89	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
90	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
91	C₂×#97	—	2	2	no	—
92	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
93	#343	C₂×C₄	1	4	yes	—
94	#343	C₂×C₄	1	4	yes	—
95	#341	—	2	16	no	—
96	#336	—	2	4	no	—
97	C₂×#41	—	2	2	no	—
98	C₂×#41	—	2	2	no	—
99	C₂×#41	—	2	2	no	—
100	C₂×#41	—	2	2	no	—
101	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
102	C₂×#41	C₂×Q₈	1	4	yes	—
103	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
106	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
107	C₂³×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
108	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
110	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
111	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
112	#131	—	4	32	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
123	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
124	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
125	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	8	yes	—
126	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
127	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
128	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	8	yes	—
129	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
137	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
138	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
139	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
140	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
141	C₄×D₄	—	2	4	no	—
142	C₄×D₄	—	2	4	no	—
143	C₄×D₄	—	2	4	no	—
144	C₄×D₄	—	2	4	no	—
145	C₄×D₄	—	2	2	no	—
146	C₄×D₄	—	2	2	no	—
147	C₄×D₄	—	2	2	no	—
148	C₄×D₄	—	2	2	no	—
149	#117	—	2	2	no	—
150	#117	—	2	2	no	—
151	#117	—	2	4	no	—
152	#117	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
155	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
160	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₄²	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
174	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
175	#108	—	4	32	no	—
176	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
177	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
178	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
179	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
180	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
181	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
182	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
183	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
184	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
185	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
186	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
187	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
188	#101	C₄⋊C₄	1	16	yes	—
189	#100	C₄⋊C₄	1	16	yes	—
190	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
191	#97	—	2	4	no	—
192	#97	—	2	4	no	—
193	C₄×C₈	—	2	4	no	—
194	C₄×C₈	—	2	4	no	—
195	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
196	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
197	#41	—	2	8	no	—
198	#41	—	2	8	no	—
199	#41	—	2	8	no	—
200	#41	—	2	8	no	—
201	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
202	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
203	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
204	C₂×D₄	—	2	4	no	—
205	C₂×D₄	—	2	4	no	—
206	C₂×D₄	—	2	2	no	—
207	C₂×D₄	—	2	2	no	—
208	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
209	C₂×D₄	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
221	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
222	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
234	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
243	M₁₆	—	2	8	no	—
244	M₁₆	—	2	8	no	—
245	M₁₆	—	2	8	no	—
246	M₁₆	—	2	16	no	—
247	M₁₆	—	4	16	no	—
248	M₁₆	—	4	4	no	—
249	M₁₆	—	4	4	no	—
250	M₁₆	—	4	8	no	—
251	M₁₆	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
252	C₂×C₈	—	2	8	no	—
253	C₂×C₈	—	2	8	no	—
254	C₂×C₈	—	2	8	no	—
255	C₂×C₈	—	2	8	no	—
256	C₂×C₈	—	4	16	no	—
257	C₂×C₈	—	4	8	no	—
258	C₂×C₈	—	4	2	no	—
259	C₂×C₈	—	4	2	no	—
260	C₂×C₈	—	4	2	no	—
261	C₂×C₈	—	4	2	no	—
262	C₂×C₈	—	4	2	no	—
263	C₂×C₈	—	4	2	no	—
264	C₂×C₈	—	4	8	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
272	C₄²	—	2	2	no	—
273	C₄²	—	2	2	no	—
274	C₄²	—	2	2	no	—
275	C₄²	—	2	2	no	—
276	C₄²	—	2	2	no	—
277	C₄²	—	2	2	no	—
278	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
279	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
280	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
281	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
282	C₄²	#120	1	1	yes	characteristic
283	C₄²	#120	1	1	yes	characteristic
284	C₄²	#120	1	2	yes	—
285	C₄²	#123	1	1	yes	characteristic
286	C₄²	#123	1	1	yes	characteristic
287	C₄²	#123	1	2	yes	—
288	C₂³	—	2	2	no	—
289	C₂³	—	2	2	no	—
290	C₂³	—	4	1	no	—
291	C₂³	—	4	1	no	—
292	C₂³	—	4	2	no	—
293	C₂³	—	4	2	no	—
294	C₂³	#384	1	4	yes	—
295	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
296	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
297	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
298	C₂³	#544	1	2	yes	—
299	Q₈	—	2	8	no	—
300	D₄	—	2	16	no	—
301	D₄	—	2	8	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	4	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	4	no	—
309	C₂×C₄	—	2	4	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	4	1	no	—
313	C₂×C₄	—	4	2	no	—
314	C₂×C₄	—	4	1	no	—
315	C₂×C₄	—	4	1	no	—
316	C₂×C₄	—	4	2	no	—
317	C₂×C₄	—	4	2	no	—
318	C₂×C₄	—	4	4	no	—
319	C₂×C₄	—	4	4	no	—
320	C₂×C₄	—	4	2	no	—
321	C₂×C₄	—	4	2	no	—
322	C₂×C₄	—	8	2	no	—
323	C₂×C₄	—	8	2	no	—
324	C₂×C₄	#384	1	4	yes	—
325	C₂×C₄	#385	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	#385	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	#385	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	#385	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
341	C₂×C₄	#547	1	4	yes	—
342	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	4	yes	—
343	C₂×C₄	#554	1	4	yes	—
344	C₈	—	2	16	no	—
345	C₈	—	4	8	no	—
346	C₈	—	8	2	no	—
347	C₈	—	8	2	no	—
348	C₂²	—	2	1	no	—
349	C₂²	—	2	2	no	—
350	C₂²	—	2	1	no	—
351	C₂²	—	2	2	no	—
352	C₂²	—	2	4	no	—
353	C₂²	—	4	2	no	—
354	C₂²	—	4	2	no	—
355	C₂²	—	4	4	no	—
356	C₂²	—	4	2	no	—
357	C₂²	—	4	2	no	—
358	C₂²	—	8	2	no	—
359	C₂²	C₂×#384	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	C₂×#385	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	#2317	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	#2440	1	4	yes	—
363	C₄	—	2	4	no	—
364	C₄	—	2	1	no	—
365	C₄	—	2	2	no	—
366	C₄	—	2	1	no	—
367	C₄	—	2	1	no	—
368	C₄	—	2	2	no	—
369	C₄	—	4	2	no	—
370	C₄	—	4	2	no	—
371	C₄	#1858	1	2	yes	complemented
372	C₄	D₄×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
373	C₄	#2433	1	1	yes	characteristic
374	C₄	#2434	1	1	yes	characteristic
375	C₄	#2501	1	1	yes	characteristic
376	C₄	#2502	1	1	yes	characteristic
377	C₂	—	2	1	no	—
378	C₂	—	2	1	no	—
379	C₂	—	2	4	no	—
380	C₂	—	4	4	no	—
381	C₂	#13880	1	1	yes	characteristic
382	C₂	C₂×#1858	1	1	yes	characteristic
383	C₂	#20860	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#120
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#385
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20806	C₂	semidirect
6. #11343	C₂	semidirect
7. #10853	C₂	semidirect
371. C₄	#1858	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60099	2
C₂×#1858	2
#20806	2
#20629	2
C₄×#413	2
#11343	2
#10853	2