Subgroups — #360732

Order 512.

1372 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 431 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60099	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1861	C₂	1	4	yes	maximal
3	#20806	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20792	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20654	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂×#1759	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#11341	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10855	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#10840	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#568	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#430	C₂²	1	4	yes	—
13	#2906	—	2	4	no	—
14	#2906	—	2	4	no	—
15	#2905	—	2	2	no	—
16	#2905	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#423	—	2	2	no	—
18	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#423	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#421	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×#104	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1861	—	2	16	no	—
28	#1849	—	2	2	no	—
29	#1848	—	2	2	no	—
30	#1843	—	2	4	no	—
31	#1806	—	2	4	no	—
32	#1759	C₄	1	4	yes	complemented
33	#1759	C₄	1	4	yes	complemented
34	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
35	#1733	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
37	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	#568	—	2	8	no	—
40	#568	—	4	4	no	—
41	C₂×#131	—	2	4	no	—
42	C₂×#131	—	2	4	no	—
43	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
44	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
48	C₄×#41	—	2	2	no	—
49	C₄×#41	—	2	1	no	—
50	C₄×#41	—	2	1	no	—
51	C₄×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₄×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₄×#41	D₄	1	4	yes	—
54	C₂×C₄×Q₈	Q₈	1	2	yes	—
55	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	2	yes	—
57	C₂×#117	—	2	1	no	—
58	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
61	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	#430	—	2	8	no	—
64	#430	—	4	4	no	—
65	C₂×#108	—	2	8	no	—
66	#424	—	2	16	no	—
67	#424	—	2	4	no	—
68	#424	—	2	4	no	—
69	#423	—	2	8	no	—
70	#423	—	2	4	no	—
71	#423	—	2	1	no	—
72	#423	—	2	1	no	—
73	#423	—	2	2	no	—
74	#423	—	2	2	no	—
75	#423	—	2	2	no	—
76	#423	—	2	1	no	—
77	#423	—	2	1	no	—
78	#423	—	2	8	no	—
79	#423	—	4	4	no	—
80	#423	D₄	1	2	yes	—
81	#423	D₄	1	2	yes	—
82	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
83	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
84	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
85	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
86	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
87	#421	—	2	8	no	—
88	C₂×#104	—	2	4	no	—
89	C₂×#104	C₂×C₄	1	8	yes	—
90	C₂×#104	D₄	1	8	yes	—
91	C₂×#104	Q₈	1	8	yes	—
92	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
93	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
94	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
96	C₂×#97	—	2	1	no	—
97	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
98	#384	—	2	1	no	—
99	#382	—	2	1	no	—
100	#380	—	2	2	no	—
101	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
102	#376	—	2	2	no	—
103	#376	C₂×C₄	1	2	yes	—
104	#376	C₂×C₄	1	2	yes	—
105	C₂×#95	—	2	2	no	—
106	#344	—	2	8	no	—
107	#339	—	2	4	no	—
108	#339	—	2	8	no	—
109	#339	C₂×C₄	1	8	yes	—
110	C₂×#41	—	2	1	no	—
111	C₂×#41	—	2	1	no	—
112	C₂×#41	—	2	2	no	—
113	C₂×#41	—	2	2	no	—
114	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
115	C₂×#41	C₂×D₄	1	2	yes	—
116	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
117	C₂×#41	C₂×Q₈	1	4	yes	—
118	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
120	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
121	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
122	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
123	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
124	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
125	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
126	#131	—	4	16	no	—
127	#131	—	4	8	no	—
128	#131	—	4	8	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
144	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
145	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
146	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
147	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
148	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
149	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
151	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
153	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
154	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
155	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
156	C₄×Q₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
157	C₄×Q₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
158	C₄×D₄	—	2	4	no	—
159	C₄×D₄	—	2	4	no	—
160	C₄×D₄	—	2	4	no	—
161	C₄×D₄	—	2	4	no	—
162	C₄×D₄	—	2	2	no	—
163	C₄×D₄	—	2	2	no	—
164	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
165	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
166	#117	—	2	1	no	—
167	#117	—	2	1	no	—
168	#117	—	2	2	no	—
169	#117	—	2	2	no	—
170	#117	—	2	4	no	—
171	#117	—	2	4	no	—
172	#117	—	2	4	no	—
173	#117	C₂²×C₄	1	2	yes	—
174	#117	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
190	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
192	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
195	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
196	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
199	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
200	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
201	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
203	#108	—	4	16	no	—
204	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
205	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
206	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
207	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
208	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
209	C₄⋊C₈	—	4	16	no	—
210	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
211	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
212	#104	—	4	8	no	—
213	#104	C₄⋊C₄	1	32	yes	complemented
214	#97	—	2	2	no	—
215	#97	—	2	2	no	—
216	C₄×C₈	—	2	2	no	—
217	C₄×C₈	—	2	2	no	—
218	#95	—	2	4	no	—
219	#95	—	2	4	no	—
220	#95	—	4	2	no	—
221	C₂⁴	—	2	1	no	—
222	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
223	#41	—	2	4	no	—
224	#41	—	2	2	no	—
225	#41	—	2	2	no	—
226	#41	—	2	4	no	—
227	#41	—	2	4	no	—
228	#41	—	2	4	no	—
229	#41	—	2	4	no	—
230	#41	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
231	#41	#127	1	4	yes	—
232	#41	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
233	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
234	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
235	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
236	C₂×Q₈	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
237	C₂×D₄	—	2	2	no	—
238	C₂×D₄	—	2	2	no	—
239	C₂×D₄	—	2	4	no	—
240	C₂×D₄	—	2	4	no	—
241	C₂×D₄	—	2	1	no	—
242	C₂×D₄	—	2	2	no	—
243	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
244	C₂×D₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
245	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
260	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
267	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
271	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
272	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
273	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
274	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
275	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
276	M₁₆	—	2	4	no	—
277	M₁₆	—	2	4	no	—
278	M₁₆	—	2	4	no	—
279	M₁₆	—	2	8	no	—
280	M₁₆	—	4	16	no	—
281	M₁₆	—	4	2	no	—
282	M₁₆	—	4	2	no	—
283	M₁₆	—	4	4	no	—
284	M₁₆	—	4	4	no	—
285	M₁₆	—	4	2	no	—
286	M₁₆	—	4	2	no	—
287	M₁₆	—	4	4	no	—
288	M₁₆	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
289	C₂×C₈	—	2	4	no	—
290	C₂×C₈	—	2	4	no	—
291	C₂×C₈	—	2	4	no	—
292	C₂×C₈	—	2	4	no	—
293	C₂×C₈	—	2	4	no	—
294	C₂×C₈	—	2	8	no	—
295	C₂×C₈	—	4	16	no	—
296	C₂×C₈	—	4	2	no	—
297	C₂×C₈	—	4	2	no	—
298	C₂×C₈	—	4	2	no	—
299	C₂×C₈	—	4	4	no	—
300	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
301	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
302	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
304	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
305	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
306	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
311	C₄²	—	2	2	no	—
312	C₄²	—	2	4	no	—
313	C₄²	—	2	2	no	—
314	C₄²	—	2	4	no	—
315	C₄²	—	2	4	no	—
316	C₄²	—	2	4	no	—
317	C₄²	—	2	4	no	—
318	C₄²	—	4	2	no	—
319	C₄²	—	4	2	no	—
320	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
321	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
322	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
323	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
324	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
325	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
326	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
327	C₄²	#120	1	2	yes	—
328	C₄²	#120	1	2	yes	—
329	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
330	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
331	C₂³	—	2	2	no	—
332	C₂³	—	2	4	no	—
333	C₂³	—	4	2	no	—
334	C₂³	—	8	2	no	—
335	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
336	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
337	C₂³	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
338	C₂³	#547	1	2	yes	—
339	C₂³	#554	1	2	yes	—
340	Q₈	—	2	2	no	—
341	Q₈	—	2	4	no	—
342	Q₈	#384	1	4	yes	—
343	D₄	—	2	8	no	—
344	D₄	—	2	4	no	—
345	D₄	—	2	4	no	—
346	D₄	—	2	2	no	—
347	D₄	—	2	4	no	—
348	D₄	#384	1	4	yes	—
349	C₂×C₄	—	2	4	no	—
350	C₂×C₄	—	2	2	no	—
351	C₂×C₄	—	2	8	no	—
352	C₂×C₄	—	2	4	no	—
353	C₂×C₄	—	2	4	no	—
354	C₂×C₄	—	2	8	no	—
355	C₂×C₄	—	2	4	no	—
356	C₂×C₄	—	4	2	no	—
357	C₂×C₄	—	4	2	no	—
358	C₂×C₄	—	4	2	no	—
359	C₂×C₄	—	4	2	no	—
360	C₂×C₄	—	4	2	no	—
361	C₂×C₄	—	4	2	no	—
362	C₂×C₄	—	4	8	no	—
363	C₂×C₄	—	4	8	no	—
364	C₂×C₄	—	8	4	no	—
365	C₂×C₄	—	8	2	no	—
366	C₂×C₄	—	8	4	no	—
367	C₂×C₄	—	8	4	no	—
368	C₂×C₄	—	8	4	no	—
369	C₂×C₄	—	8	2	no	—
370	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	#385	1	2	yes	—
374	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
375	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
378	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
379	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
380	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
381	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
382	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
383	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
384	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
385	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
386	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
387	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
388	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
389	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
390	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
391	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
392	C₈	—	2	8	no	—
393	C₈	—	4	4	no	—
394	C₈	—	4	4	no	—
395	C₈	—	8	2	no	—
396	C₂²	—	2	2	no	—
397	C₂²	—	2	2	no	—
398	C₂²	—	2	2	no	—
399	C₂²	—	2	4	no	—
400	C₂²	—	4	2	no	—
401	C₂²	—	4	2	no	—
402	C₂²	—	4	4	no	—
403	C₂²	—	8	4	no	—
404	C₂²	C₂×#385	1	1	yes	characteristic
405	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
406	C₂²	#2440	1	2	yes	—
407	C₂²	#2501	1	1	yes	characteristic
408	C₂²	#2502	1	1	yes	characteristic
409	C₄	—	2	4	no	—
410	C₄	—	2	2	no	—
411	C₄	—	2	2	no	—
412	C₄	—	2	2	no	—
413	C₄	—	2	2	no	—
414	C₄	—	4	8	no	—
415	C₄	—	4	4	no	—
416	C₄	—	16	2	no	—
417	C₄	C₂×#384	1	1	yes	characteristic
418	C₄	#2317	1	1	yes	characteristic
419	C₄	D₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
420	C₄	#2433	1	1	yes	characteristic
421	C₄	#2434	1	1	yes	characteristic
422	C₄	#2440	1	2	yes	—
423	C₂	—	2	2	no	—
424	C₂	—	2	1	no	—
425	C₂	—	2	2	no	—
426	C₂	—	2	1	no	—
427	C₂	—	4	4	no	—
428	C₂	#13880	1	1	yes	characteristic
429	C₂	#20867	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#120
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#385
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20806	C₂	semidirect
4. #20792	C₂	semidirect
7. #11341	C₂	semidirect
8. #10855	C₂	semidirect
9. #10840	C₂	semidirect
32. #1759	C₄	semidirect
33. #1759	C₄	semidirect
213. #104	C₄⋊C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60099	2
C₂×#1861	2
#20806	2
#20792	2
#20654	2
C₂×#1759	2
#11341	2
#10855	2
#10840	2