Subgroups — #360749

Order 512.

1750 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 378 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×#106	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1852	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1846	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1807	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×C₈×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#13881	C₂	1	2	yes	maximal
7	#11325	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10861	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×#107	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂²×#106	—	2	8	no	—
13	C₂²×#106	—	2	4	no	—
14	C₂²×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#382	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#380	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1852	—	2	8	no	—
24	#1846	—	2	8	no	—
25	#1807	—	2	4	no	—
26	C₈×C₂²⋊C₄	C₄	1	8	yes	complemented
27	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
30	#1442	—	2	4	no	—
31	C₄⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂²⋊#95	—	2	4	no	—
33	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
34	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
35	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
36	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
37	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
38	C₂³×C₈	D₄	1	4	yes	—
39	C₂³×C₈	Q₈	1	4	yes	—
40	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
44	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
52	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×#107	—	2	8	no	—
55	C₂×#107	—	2	8	no	—
56	C₂×#107	—	4	4	no	—
57	C₂×#106	—	2	32	no	—
58	C₂×#106	—	2	4	no	—
59	C₂×#106	—	2	4	no	—
60	C₂×#106	—	2	4	no	—
61	C₂×#106	—	2	8	no	—
62	C₂×#106	—	2	2	no	—
63	C₂×#106	—	2	2	no	—
64	C₂×#106	—	2	4	no	—
65	C₂×#106	—	2	4	no	—
66	C₂×#106	D₄	1	8	yes	—
67	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
68	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
69	C₂×C₂²⋊C₈	Q₈	1	4	yes	—
70	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
71	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
72	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
73	#382	—	2	8	no	—
74	#382	—	4	4	no	—
75	#380	—	2	4	no	—
76	#380	—	2	4	no	—
77	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
78	C₄×C₂²⋊C₄	Q₈	1	4	yes	—
79	C₂×#95	—	2	8	no	—
80	C₂×#95	—	2	2	no	—
81	C₂×#95	—	2	8	no	—
82	C₂×#95	D₄	1	2	yes	—
83	#340	—	2	4	no	—
84	#340	—	2	8	no	—
85	#336	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
86	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
88	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
89	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
90	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
91	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
92	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
93	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
94	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
95	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
96	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
97	C₂³×C₄	—	8	4	no	—
98	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
100	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
102	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
104	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
105	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
106	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
107	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
117	C₂²×C₈	C₄⋊C₄	1	16	yes	—
118	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
120	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
121	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
122	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
123	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
124	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
125	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
126	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
127	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
128	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
152	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
158	#107	—	4	16	no	—
159	#106	—	2	16	no	—
160	#106	—	2	16	no	—
161	#106	—	4	4	no	—
162	#106	—	4	4	no	—
163	C₂²⋊C₈	C₄⋊C₄	1	16	yes	—
164	C₄×C₈	—	2	16	no	—
165	#95	—	4	16	no	—
166	#95	—	4	4	no	—
167	#95	—	8	8	no	—
168	#95	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
169	C₂⁴	—	2	2	no	—
170	C₂⁴	—	2	2	no	—
171	C₂⁴	—	2	4	no	—
172	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
173	C₂⁴	#127	1	2	yes	—
174	C₂⁴	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
175	C₂⁴	#135	1	8	yes	—
176	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	8	32	no	—
212	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
213	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
214	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
220	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
221	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
232	C₂×C₈	—	2	4	no	—
233	C₂×C₈	—	2	4	no	—
234	C₂×C₈	—	2	4	no	—
235	C₂×C₈	—	2	2	no	—
236	C₂×C₈	—	2	4	no	—
237	C₂×C₈	—	2	2	no	—
238	C₂×C₈	—	2	4	no	—
239	C₂×C₈	—	2	4	no	—
240	C₂×C₈	—	2	4	no	—
241	C₂×C₈	—	2	4	no	—
242	C₂×C₈	—	2	32	no	—
243	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
244	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
245	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
246	C₂×C₈	C₄×D₄	1	8	yes	—
247	C₂×C₈	#120	1	4	yes	—
248	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
249	C₂×C₈	#123	1	4	yes	—
250	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
263	C₄²	—	2	4	no	—
264	C₄²	—	2	4	no	—
265	C₄²	—	2	4	no	—
266	C₄²	—	2	4	no	—
267	C₂³	—	2	16	no	—
268	C₂³	—	2	4	no	—
269	C₂³	—	2	4	no	—
270	C₂³	—	2	4	no	—
271	C₂³	—	2	4	no	—
272	C₂³	—	2	2	no	—
273	C₂³	—	2	4	no	—
274	C₂³	—	2	2	no	—
275	C₂³	—	2	16	no	—
276	C₂³	#384	1	4	yes	—
277	C₂³	#427	1	8	yes	—
278	C₂³	#495	1	8	yes	—
279	C₂³	#499	1	8	yes	—
280	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
281	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
282	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
283	C₂³	D₄²	1	2	yes	—
284	C₂³	#547	1	2	yes	—
285	C₂³	C₂×#135	1	4	yes	—
286	C₂³	#577	1	4	yes	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	8	no	—
293	C₂×C₄	—	2	4	no	—
294	C₂×C₄	—	2	8	no	—
295	C₂×C₄	—	2	4	no	—
296	C₂×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂×C₄	—	2	8	no	—
298	C₂×C₄	—	2	8	no	—
299	C₂×C₄	—	2	8	no	—
300	C₂×C₄	—	4	8	no	—
301	C₂×C₄	—	4	8	no	—
302	C₂×C₄	—	4	8	no	—
303	C₂×C₄	—	4	16	no	—
304	C₂×C₄	—	8	32	no	—
305	C₂×C₄	—	8	4	no	—
306	C₂×C₄	—	8	4	no	—
307	C₂×C₄	—	8	8	no	—
308	C₂×C₄	—	8	8	no	—
309	C₂×C₄	—	8	2	no	—
310	C₂×C₄	—	8	2	no	—
311	C₂×C₄	—	8	2	no	—
312	C₂×C₄	—	8	2	no	—
313	C₂×C₄	—	8	2	no	—
314	C₂×C₄	—	8	2	no	—
315	C₂×C₄	—	8	8	no	—
316	C₂×C₄	#384	1	4	yes	—
317	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	#520	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
335	C₈	—	2	8	no	—
336	C₈	—	2	4	no	—
337	C₈	#385	1	8	yes	—
338	C₂²	—	2	8	no	—
339	C₂²	—	2	4	no	—
340	C₂²	—	2	4	no	—
341	C₂²	—	2	16	no	—
342	C₂²	—	2	8	no	—
343	C₂²	—	2	16	no	—
344	C₂²	#1846	1	8	yes	complemented
345	C₂²	C₂×#384	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	D₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
347	C₂²	#2433	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	#2440	1	2	yes	—
349	C₂²	#2501	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	C₂×#427	1	2	yes	—
351	C₂²	#2912	1	2	yes	—
352	C₂²	C₂×#495	1	2	yes	—
353	C₂²	#3154	1	2	yes	—
354	C₂²	C₂×#499	1	2	yes	—
355	C₂²	#3163	1	2	yes	—
356	C₂²	#3282	1	8	yes	—
357	C₂²	#3337	1	8	yes	—
358	C₄	—	2	4	no	—
359	C₄	—	4	8	no	—
360	C₄	—	8	8	no	—
361	C₄	—	16	2	no	—
362	C₄	—	16	2	no	—
363	C₄	C₂×#385	1	1	yes	characteristic
364	C₄	#2317	1	1	yes	characteristic
365	C₄	D₄×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
366	C₄	#2434	1	1	yes	characteristic
367	C₄	#2440	1	2	yes	—
368	C₄	#2502	1	1	yes	characteristic
369	C₂	—	2	8	no	—
370	C₂	#13880	1	1	yes	characteristic
371	C₂	C₂×#1846	1	1	yes	characteristic
372	C₂	#20802	1	1	yes	characteristic
373	C₂	#22654	1	4	yes	—
374	C₂	#25776	1	2	yes	—
375	C₂	#26062	1	4	yes	—
376	C₂	#27926	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁵	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄×C₂²⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1846	C₂	semidirect
7. #11325	C₂	semidirect
8. #10861	C₂	semidirect
26. C₈×C₂²⋊C₄	C₄	semidirect
72. C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	semidirect
85. #336	C₂×C₄	semidirect
344. C₂²	#1846	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×#106	2
C₂×#1852	2
C₂×#1846	2
C₂×#1807	2
C₂×C₈×C₂²⋊C₄	2
#13881	2
#11325	2
#10861	2